Системи числення МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ УКРАЇНИ Бердичівський політехнічний коледж Контрольна робота «Комп’ютерна схемотехніка» (варіант №21) студента групи Пзс-503 Михайлуса Михайла Геннадійовича 2008 р. 1. Принципи побудови систем числення, основні поняття У числової інформації в персональних комп’ютерах є такі характеристики: 1. система числення - двійкова, десяткова та інші; 2. вид числа - дійсні, комплексні та масиви; 3. тип числа - змішані, цілі та дробові; 4. форма представлення числа (місце розташування коми) - з природною (змінною), з фіксованою та з плаваючою комами; 5. розрядна сітка та формат числа; 6. діапазон і точність подання числа; 7. спосіб кодування від’ємних чисел - прямий, обернений чи доповняльний код; 8. алгоритм виконання арифметичних операцій. Системи числення — це сукупність прийомів та правил запису чисел за допомогою цифр чи інших символів. Запис числа у деякій системі числення називається його кодом. Усі системи числення поділяють на позиційні та непозиційні . Непозиційна система числення має необмежену кількість символів. Кількісний еквівалент кожного символу постійний і не залежить від позиції. Найвідомішою непозиційною системою числення є римська. В якій використовується сім знаків: I -1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000. Недоліки непозиційної системи числення: відсутність нуля, складність виконання арифметичних операцій. Хоча римськими числами часто користуються при нумерації розділів у книгах, віків в історії та інше. Позиційна система числення має обмежену кількість символів і значення кожного символу чітко залежить від її позиції у числі. Кількість таких символів q, називають основою позиційної системи числення. Головна перевага позиційної системи числення - це зручність виконання арифметичних операцій. У системах числення з основою меншою 10 використовують десяткові цифри, а для основи більшої 10 добавляють букви латинського алфавіту. У позиційних системах числення значення кожного символу (цифри чи букви) визначається її зображенням і позицією у числі. Окремі позиції в записі числа. називають розрядами , а номер позиції - номером розряду. Число розрядів у записі числа, називається його розрядністю і зберігається з довжиною числа. Позиційні системи числення діляться на однорідні та неоднорідні . Неоднорідні системи числення - це такі позиційні системи числення, де для кожного розряду числа основа системи числення не залежить одна від одної і може мати будь-яке значення. Прикладом є двійково-п’ятиркова система числення (система зі змішаними основами). Вони використовуються у спеціалізованих ЕОМ ранніх поколінь. Однорідна позиційна система числення - це така система числення, для якої множина допустимих символів для всіх розрядів однакова. Причому, якщо вага в розряді числа складає ряд геометричної прогресії з знаменником (основою р ), то це однорідна позиційна система числення з природною порядковою вагою. У даній позиційній системі числення з природною порядковою вагою число може бути представлене у вигляді поліному: де - основа системи числення; - вага позиції; - цифри в позиціях числа; - номер розрядів цілої частини; - номер розрядів дробової частини. Система числення з основою 10 - десяткова система . Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Число десять є складеним. Кожне десяткове число можна розкласти по ступенях основи десяткової системи числення. Наприклад, число 5213,6 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені: 5213,6=5·103 +2·102 +1·101 +3·100 +6·10-1 Система числення з основою 2 - двійкова система . Для її зображення використовують цифри: 0, 1. Кожне двійкове число можна розкласти по ступенях основи двійкової системи числення. Наприклад, число 111,01 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені: 111,012 =1·22 +1·21 +1·20 +0·2-1 +1·2-2 =7,2510 Система числення з основою 8 - вісімкова система . Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Кожне вісімкове число можна розкласти по ступенях основи вісімкової системи числення. Наприклад, число 45,21 можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені: 45,218 =4·81 +5·80 +2·8-1 +1·8-21 =37,265110 Система числення з основою 16 - шістнадцяткова система . Для її зображення використовують цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 та літери: A, B, C, D, E, F. Кожне шістнадцяткове число можна розкласти по ступенях основи шістнадцяткової системи числення. Наприклад, число DE,1B можна представити як поліном, кожен член якого є добутком коефіцієнта на основу системи числення в деякій степені: DE,1B16 =D·161 ·+E·160 +1·16-1 ·B·16-2 =222,105110 Ці записи показують один із способів переведення не десяткових чисел у десяткові. При однаковій розрядності у системах числення з більшою основою можна записати більше різних чисел. Перевагою двійкової системи числення є: простота виконання арифметичних операцій, наявність надійних мікроелектронних схем з двома стійкими станами (тригерами), призначеними для зберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1. Для переведення цілого числа з однієї системи в іншу необхідно поділити перевідне число на нову основу за правилом початкової системи. Одержана перша остача є значенням молодшого розряду в новій системі, п першу частку необхідно знову ділити. Цей процес продовжується аж до появи неподільної частки. Результат записують у порядку оберненому їхньому одержанню: Наприклад: переведемо число 118 з десяткової системи у війкову 11810 =11101102 118 2 118 59 2 0 58 29 2 1 28 14 2 1 14 7 2 0 6 3 2 1 2 1 2 1 0 0 1 Для переведення правильного дробу з однієї системи числення в іншу необхідно діючи за правилами початкової системи помножити перевідне число на основу нової системи. Від результату відокремити цілу частину, а дробову частину, яка залишилася знов помножити на цю основу. Процес такого множення повторюється до одержання заданої кількості цифр. Результат записують як цілі частин добутку у порядку їхнього одержання. Наприклад: переведемо число 0,625 з десяткової системи у двійкову 0,62510 =0,10102 0,625 2 1 ,250 2 0 ,500 2 1 ,000 2 0 ,000 Для переведення змішаних чисел у двікову систему потрібно окремо переводити цілу та дробову частини. У вісімкових і шістнадцятькових чисел основа кратна степеню 2, тому переведення цих чисел у двійкову реалізується наступним чином: кожну цифру записують трьома двійковими цифрами (тріадами) для вісімкових чисел і чотирма - для шістнадцяткових чисел в напрямках вліво та вправо від коми. При цьому крайні незначущі нулі опускаються. 3 0 5, 4 2 Наприклад: 305,428 =11 000 101,100 012 7 2 А, E F 72А,EF16 =111 0010 1010,1110 11112 Для переведення двійкового числа у вісімкове початкове число розбивають на тріади вліво та вправо від коми, відсутні крайні цифри доповнюють нулями, кожну тріаду записують вісімковою цифрою. Аналогічно здійснюється переведення двійкового числа у шістнадцяткове, при цьому виділяють, які заміняють шістнадцятковими цифрами. 6 3, 4 2 Наприклад: 110 011,100 0102 =63,42 3 А С 7 0011 1010,1100 01112 =3А,С716 Критерії вибору На відміну від аналогових машин, де будь-яка фізична чи математична величина може бути представлена у виді напруги, переміщення і т. п., у цифрових обчислювальних машинах дані задаються у виді цифрових чи буквених символів. При цьому використовується не будь-який набір символів, а визначена система. В електронних обчислювальних машин застосовуються позиційні системи числення. Така система числення, як римська, непозиційна, в обчислювальній техніці не використовується через свою громіздкість і складні правила утворення. Від вибору системи числення залежить швидкодія ЕОМ та об’єм пам’яті. При виборі враховують такі нюанси: 1) наявність фізичних елементів; 2) економічність системи числення (чим більша основа системи числення, тим потрібна менша кількість розрядів, але більша кількість відображуючих елементів). Найбільш ефективна це трійкова система числення, але двійкова система і системи числення з основою 4 - не гірша; 3) важкість виконання операцій (чим менше цифр, тим простіше); 4) швидкодія (чим більше цифр, тим менша швидкодія); 5) наявність формального математичного апарату для аналізу і синтезу обчислювальних пристроїв. Класична двійкова система числення - це така система числення, в якій для зображення чисел використовують тільки два символи: 0 та 1, а вага розрядів змінюється по закону 2k , де к —довільне число. Правило виконання операцій у класичній двійковій системі числення У загальному вигляді двійкові числа можна представити у вигляді поліному: А2 = r n *2n + r n-1 * 2n-1 + … + r1 * 21 + r0 *20 + r-1 * 2-1 , Додавання у двійковій системі числення проводиться по правилу додавання поліномів, тобто j-тий розряд суми чисел a та b визначається за формулою. Двійкова арифметика, чи дії над двіковими числами, використовують наступні правила, задані таблицями додавання, віднімання, множення. Додавання Віднімання Множення 0 + 0 = 0 0 – 0 = 0 0 * 0 = 0 0 + 1 = 1 1 – 0 = 1 0 * 1 = 0 1 + 0 = 1 1 – 1 = 0 1 * 0 = 0 1 + 1 = 10 10 – 1 = 1 1 * 1 = 1 Логічне додавання 0 1 0 0 1 1 1 1 Додавання по модулю 2 0 1 0 0 1 1 1 0 Додавання двох багаторозрядних двійкових чисел проводиться порозрядно з урахуванням одиниць переповнення від попередніх розрядів. Приклад: + 1011 1011 10110 Віднімання багаторозрядних двійкових чисел, аналогічно додаванню, починається з молодших розрядів. Якщо зайняти одиницю в старшому розряді, утвориться дві одиниці в молодшому розряді. Приклад. - 1010 0110 0100 Множення являє собою багаторазове додавання проміжних сум і зсувів. Приклад. x 10011 101 + 10011 00000 10011 1011111 Перевірка за вагами розрядів числа 1011111(2) дає 64 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 95(10). Процес ділення складається з операцій віднімання, що повторюють. Приклад. 101010 111 111 110 0111 111 0000 Позиційні системи числення з непостійною штучною вагою Для ЦОМ розроблені допоміжні системи числення, що одержали назву "двійково-кодовані десяткові системи" (ДКДС). У цій системі кожна десяткова цифра представляється двійковим еквівалентом. Чотирьохрозрядне двійкове число може мати ваги розрядів: 2, 4, 2, 1 чи 8, 4, 2, 1, і ін. Десяткове число 7 у залежності від прийнятої системи ваги війкового розряду буде зображено у виді: А) 1101 і Б) 0111 2421 8421(2-10) Недоліком ДКДС є використання зайвих двійкових розрядів для десяткових чисел від 0 до 7. Більш раціональне застосування вісімкової системи, але вісімкові числа доводиться переводити в десяткові, а числа в ДКДС відразу читаються в десятковому коді. Такі системи числення найчастіше використовуються в спеціалізованих ЕОМ як коди. Прикладом є двійково-десяткова системи числення. Щоб перекласти десяткове число у двйково-десяткову систему числення, необхідно кожну цифру десяткового числа замінити. Щоб перекласти число з двійково-десяткової системи числення необхідно спочатку перекласти його у десяткову систему числення, а потім за загальним правилом в іншу систему числення. Щоб перекласти двійково-десяткове число у десяткову систему числення, необхідно кожні чотири цифри двійкової системи числення замінити однією цифрою десяткової системи числення, для цілої частини, починаючи з молодшого розряду, для дробової - з старшого. Таблиця кодів (10) 8-4-2-12 8-4-2-1 (спеціалізована) 8-4-2-1+”3” 8-4-2-1+”6” Грея 0 0000 0000 0011 0110 0000 1 0001 0001 0100 0111 0001 2 0010 0010 0110 1000 0011 3 0011 0011 0111 1001 0010 4 0100 0100 1000 1010 0110 5 0101 1011 1001 1011 0111 6 0110 1100 1001 1100 0101 7 0111 1101 1010 1101 0100 8 1000 1110 1011 1110 1100 9 1001 1111 1100 1111 1101 2. Визначення та призначення тригерів. Класифікація тригерів Тригери - це мікроелектроні схеми з двома стійкими станами. Вони призначені для зберігання значень двійкового розряду цифр 0 або 1. Тригери мають динамічне і потенційне керування. Кожен компонент може містити один чи кілька тригерів у корпусі, у яких загальними є сигнали установки, скидання і тактової синхронізації (дивись малюнок). Перелік тригерів приведений нижче у таблиці. а) б) в) г) Мал.- Тригери: а) - JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналів установки і скидання; б) - D-тригер з позитивним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналів установки і скидання; в) - синхронний двотактний RS-тригер; г) -синхронний однотактний D-тригер Таблиця. Перелік тригерів Тип Параметри Порядок перерахування виводів Функціональне призначення Тригери з динамічним керуванням JKFF Кількість тригерів S,R,C,J,J,...,K,K,...,Q,Q,..., Q, Q,... JK-тригер з негативним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання DFF Кількість тригерів S, R, C, D, D,..., Q, Q,..., Q, Q,... D-тригер з позитивним фронтом спрацьовування і низьким рівнем сигналу установки і скидання Тригери з потенційним управлінням SRFF Кількість тригерів S, R, G, S, S,..., R, R,...,Q,Q,..., Q,Q,... Двотактний синхронний RS‑тригер DLTCH Кількість тригерів S,R,G,D,D,..., Q, Q,..., Q, Q,... Однотактний синхронний D‑тригер Моделі динаміки тригерів з динамічним керуванням мають формат: MODEL <ім'я моделі > UEFF [(параметри)] Параметри моделі тригерів з динамічним керуванням типу UEFF приведені нижче в таблиці (значення за замовчуванням - 0, одиниця виміру - c). Коса риса "/" означає "чи"; наприклад, запис S/R означає сигнал S чи R. Моделі динаміки тригерів з потенційним керуванням має формат: MODEL <ім'я моделі > UGFF [(параметри)] Параметри моделі тригерів з потенційним керуванням типу UGFF приведені в таблиці 5 (значення за замовчуванням - 0, одиниця виміру ‑ с). За замовчуванням у початковий момент часу вихідні стани тригерів прийняті невизначеними (стани X). Вони залишаються такими до подачі сигналів чи установки чи скидання переходу тригера у визначений стан. У МС5 мається можливість установити визначений початковий стан за допомогою параметра DIGINITSTATE діалогового вікна Global Settings. У моделях тригерів маються параметри, що характеризують мінімальні тривалості сигналів установки і скидання і мінімальну тривалість імпульсів. Якщо ці параметри більше нуля, то в процесі моделювання обмірювані значення длительностей імпульсів порівнюються з заданими даними і при наявності занадто коротких імпульсів на екран видаються попереджуючі повідомлення. Завдання №1 1. Перевести 121,37 з десяткової системи числення у двійкову: 121,3710 =1111001,01012 121 2 0,37 120 60 2 2 1 60 30 2 0 ,74 0 30 15 2 2 0 14 7 2 1 ,48 1 6 3 2 2 1 2 1 2 0 ,96 1 0 0 2 1 1 ,92 вісімкову: 121,3710 =171,27538 121 8 0,37 120 15 8 8 1 8 1 8 2 ,96 7 0 0 8 1 7 ,68 8 5 ,44 8 3 ,52 шістнадцяткову: 121,3710 =79,5ЕВ816 121 16 0,37 112 7 16 16 9 0 0 5 ,92 7 16 14 ,72 16 11 ,52 16 8 ,32 двійково-десяткову: 121,3710 =1 0010 0001,0011 01112-10 2. Перевести з двійкової системи числення у десяткову: 110111002 =1·27 +1·26 +0·25 +1·24 +1·23 +1·22 +0·21 +0·20 = +1·128+1·64+0·32+1·16+1·8+1·4+0·2+0·1=128+64+0+16+8+4+0+0=22010 вісімкову: 110111002 =011 011 1002 =3348 шістнадцяткову: 110111002 =1101 11002 =DC16 Завдання №2 1. записати всі константи одиниці; 2. записати всі константи нуля; 3. записати досконалу диз’юнктивну нормальну форму; 4. записати досконалу кон’юктивну нормальну форму; 5. мінімізувати функцію за допомогою карт Карно; 6. побудувати комбінаційну схему заданої функції у базисі "І-ЧИ-НЕ" Х1 Х2 Х3 Х4 f константа 1 константа 0 0 0 0 0 1 x1 x2 x3 x4 0 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 0 0 1 0 1 x1 x2 x3 x4 0 0 1 1 1 x1 x2 x3 x4 0 1 0 0 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 0 1 0 1 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 0 1 1 0 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 0 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 1 0 0 0 1 x1 x2 x3 x4 1 0 0 1 1 x1 x2 x3 x4 1 0 1 0 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 1 0 1 1 1 x1 x2 x3 x4 1 1 0 0 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 1 1 0 1 1 x1 x2 x3 x4 1 1 1 0 0 x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 1 1 1 1 1 x1 x2 x3 x4 ДДНФ: F = x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 Ú x1 x2 x3 x4 ДДКНФ: F = (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) Ù (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) Ù (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) Ù Ù (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) Ù (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) Ù (x1 Ú x2 Ú x3 Ú x4 ) x3 x4 х1 х2 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 11 1 1 10 1 1 1 МДНФ: F = x1 x2 Ú x3 x4 Ú x1 x3 x4 Ú x1 x2 x3 Комбінаційна схема: x1 x2 x3 x4 Список використаної літератури 1. "Комп’ютерна схемотехніка". М.П.Бабич, І.А.Жуков. МК-Прес. 2004 рік. 2. Конспект лекцій.