Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 33
НАЦИОНАЛЬНИЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ УКРАИНЫ “КИЕВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ” ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ Лабораторная работа по предметуОбработка широкополосных сигналов Представление сигналов в базисе несинусоидальных ортогональных функций Киев 2008 Цель работы: Изучение особенностей кусочно-постоянных ортогональных функций Радемахера и Хаара. Получение практических навыков расчета спектров сложных сигналов, используя преобразование Хаара. Обобщенный ряд Фурье Обобщенный ряд Фурье сигнала может быть представлен в виде ряда где Коэффициенты разложения Для минимизации времени вычислений необходимо выбирать систему базисных функций по возможности более согласованную по форме с исследуемым сигналом. Причем необходимо также учитывать возможность более простой аппаратной или программной реализации базиса. Для импульсных сигналов представляет интерес разложение Спектральная плотность где n – номер дискретного отсчета непрерывной функции; Согласно выражению (1.1) спектр дискретного сигнала сплошной. Но таковым он бывает только лишь при условии, что объем выборки дискретного сигнала бесконечен. В приложениях выборка отсчетов сигнала всегда конечномерна. Кроме того, по многим причинам желательно вычислять преобразование Фурье на ЭВМ. Это означает, что конечномерной является не только выборка дискретных отсчетов сигнала, но и соответствующее этой выборке число гармоник спектра дискретного сигнала. Каждая спектральная линия состоит из амплитудной и фазовой составляющих. Следовательно, из N данных отсчетов можно получить амплитуды и фазы для N/2 дискретных частот, которые находятся в интервале от Соответствующие спектральные линии повторяются в интервале от где k = 0, 1, …, N –1. Если в уравнении (1.1) заменить где k = 0, 1, …, N –1. Выражение для обратного ДПФ следующее: где n = 0, 1, …, N –1. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) Классические формы прямого и обратного ДПФ просты и легко реализуемы на ЭВМ. Однако их практическое применение ограничивается большими объемами вычислений, которые растут в квадратичной зависимости от объема выборки Допустим, что нужно рассчитать число А А = ac + ad + bc + bd В записанном виде расчет содержит четыре операции умножения и три сложения. Если число А нужно считать много раз для разных множеств данных, то его представляют в эквивалентной форме: А = (a+b) (c+d) которая требует выполнения лишь одной операции умножения и двух операций сложения. Основная идея БПФ заключается в разделении исходной Функции Радемахера составляют неполную систему ортонормированных функций, что ограничивает их применение. Но их широкое использование обусловлено тем, что на их основе можно получить полные функций, например, Хаара и Уолша. Непрерывная Функция Радемахера с индексом m, которая обозначается как rad(m,x), имеет вид последовательности прямоугольных импульсов, содержит Получить функции Радемахера можно также с помощью следующего соотношения: а) б) Рис. 1.1. Первые четыре непрерывные функции Радемахера: a) на интервале [0; 1); б) на интервале [-0.5; 0.5); Пример разложения функции f(x) в базисе функций Радемахера, используя общую формулу (1.2) представлен на рис 1.2. где Рис.1.2. Пример разложения в базисе функций Радемахера. Дискретные функции Радемахера Дискретные функции Радемахера являются отсчетами непрерывных функций Радемахера. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Радемахера как Rad(m,x). Для дискретных функций Радемахера удобно использовать матрицу, каждая строка которой является дискретной функцией Радемахера. Например, для третьей диады (m=3) имеем: (для удобства обозначим “+1” как “+”, а “–1” как “–” ) Rad(0,x) Rad(1,x) Rad(2,x) Rad(3,x) Множество непрерывных функций Хаара где Рис.1.3. Первые восемь непрерывных функции Хаара. Дискретные функции Хаара По аналогии с дискретными функциями Радемахера дискретные функции Хаара являются отсчетами непрерывных функций Хаара. Каждый отсчет расположен в середине связанного с ним элемента непрерывной функции. Обозначаются дискретные функции Хаара как Нar(0,0,x) Har(0,1,x) Har(1,1,x) Har(1,2,x) Har(2,1,x) Har(2,2,x) Har(2,3,x) Har(2,4,x) При цифровой обработке сигналов, вэйвлет-анализе, сжатии изображений, анализе и синтезе логических функций, часто применяются ненормированные функции Хаара, которые на отдельных участках принимают одно из трех значений +1; 0; –1. Преобразование Хаара Любую интегрируемую на интервале с коэффициентами Домашнее задание 1. Выражения для непрерывных функций Радемахера 2.Матрица для системы дискретных функций Радемахера при N = 5. 3. Графики функций от 4. Выражение для нормированных функций Хаара. 5. Графики нормированных функций от 6. Графики ненормированных функций от 1. Используя преобразование Хаара рассчитаем амплитудный и фазовый спектр заданного сигнала А. Используем нормированные функции Хаара. Б. Используем ненормированные функции Хаара 2. Синтезируем заданный сигнал и построим графики для обоих случаев А. Используем нормированные функции Хаара Б. Используем ненормированные функции Хаара Выводы по работе
|