Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 33
Аннотация
Данный курсовой проект на тему «Оптимизация многомерной нелинейной функции. Слепой поиск». Необходимо было разработать программную модель числового метода поиска экстремума функции двух переменных. Предусмотреть ввод исходных данных и вывод с сохранением. Исследовать ограничения на вводимую функцию, обусловленные методом поиска и средствами моделирования. Проект содержит 24 листа, включая приложение, листинг программы и таблицу – 1. Введение
Прикладные науки развиваются своим путем, используя существующий математический аппарат для решения возникающих проблем, и даже своими потребностями стимулируют в развитие некоторых разделов математики. Но в них нередко царят своя терминология, свои частные приемы решения задач, свои исходные предпосылки и цели. Имеют место ситуации, когда некорректно примененные прикладниками методы, тем не менее, позволяют получать полезные практические результаты. Дисциплина «Математическое моделирование» давно сформировалась, как прикладная наука и включена в подготовку специалистов почти по всем экономическим техническим направлениям. Математическое моделирование как инструмент познания завоевывает все новые и новые позиции в различных областях деятельности человека. Эта наука широко проникла в различные области науки: экономические, социальные, биологические и многие другие, на первый взгляд, далекие от математики. Основная задача моделирования различного рода процессов и систем с целью исследования объектов, прогнозирования их поведения или поиска наилучших условий функционирования сводится к расчету анализируемых показателей по математической модели при тех или иных значениях (функциях) входных величин. Важное значение при этом приобретают вычислительные алгоритмы, с помощью которых можно получить при моделировании решение конкретной математической задачи. Знакомству с идеями и алгоритмами решения наиболее распространенных задач вычислительной математики, применяющихся при математическом моделировании, получению практических навыков их применения. Оно включает в себя следующие основные темы. · Интерполяция · Аппроксимация · Решение нелинейных уравнений и их систем · Решение систем линейных уравнений · Вычисление интегралов · Основы решения дифференциальных уравнений · Метод оптимизации. 1. Постановка задачи
1.1 Теоретическое приложение
Концепция методов
В методах случайного поиска величина шага В данном разделе рассматриваются следующие методы: · Слепой поиск · Метод случайных направлений · Метод поиска с «наказанием случайностью» · Блуждающий поиск В целом случайные методы поиска предпочтительнее регулярных в задачах высокой размерности 1.2 Основные методы
1.
Метод случайных направлений. Из текущей (или заданной начальной) точки делается шаг в случайном направлении Поиск заканчивают, когда за заданное число попыток Существуют модификации метода, в одной из которых после серии неудачных попыток Существует также модификация метода с обратным шагом. Отличительной ее особенностью является то, что при неудачном шаге 2. Метод поиска с «наказанием случайностью». Метод является аналогом метода наискорейшего спуска, только направление локального поиска не градиентное, а случайное. Как и в предыдущем методе, из текущей точки делают случайные шаги до тех пор, пока не будет найдена точка с лучшим значением критерия оптимальности. Затем в этом направлении регулярным методом одномерного поиска ищут оптимум. В точке оптимума по направлению опять случайным образом ищут новое направление и т.д. Условием окончания обычно является невозможность получения лучшей точки из текущей за предварительно заданное число попыток 3. Метод с «блуждающим поиском». Данный метод является статистическим расширением градиентного метода и реализуется в соответствии с алгоритмом где Чаще в формуле для Теоретически доказывается, что данный алгоритм наиболее вероятно приведет к глобальному экстремуму. В алгоритме могут использоваться алгоритмы коррекции шага Стратегия поиска может предусматривать не постоянное, а периодическое добавление случайного вектора к градиентному шагу. Частота случайных «скачков» должна уменьшаться по мере приближения к оптимуму и увеличиваться вдали от него. Для этого существуют специальные алгоритмы самообучения, например: где Обратно пропорционально частоте «скачков» меняется и доля случайной составляющей в шаге, т.е. Математическое описание Идея метода очень проста и наглядна. Случайным образом в допустимой области берется точка, и сравнивается значение критерия в ней с текущим наилучшим. Если новая случайно взятая точка хуже хранящейся в качестве текущей лучшей, то берут другую точку. Если же нашли точку, в которой критерий лучше, то ее запоминают в качестве текущей лучшей. Гарантируется, что при неограниченном возрастании числа попыток мы будем приближаться к глобальному оптимуму, т.е. найденное текущее наилучшее значение будет столь угодно близко к точному решению. На практике поиск прекращают, когда число неуспешных попыток превышает наперед заданное число Данный поиск можно применять для поиска начального приближения, задав сравнительно небольшое число попыток. Метод прост в алгоритмическом плане и не требует примера с конкретными значениями. Для получения случайных чисел если нужны целые числа, используют 2. Блок – схема алгоритма моделирования
1 – вводим выбранную нами функцию; 2 – ввод выбранного нами интервала. 3 – вводим число итераций; 4 – основной цикл для вычислений; 5 – реализация случайной величины для получения значений координат точки; 6 – вычисляем значение функции; 7 – первая итерация; 8 – первое вычисляемое значение оптимально; 9 – выбираем следующее более оптимальное значение; 11 – текущее значение является оптимальным; 12 – выводим X1, X2, Y оптимальные, т.е. выводим минимум функции 3. Инструментальные программные средства
Программирование по Windows всегда было достаточно сложной задачей. Интерфейс прикладного программирования (ApplicationProgrammingInterface– API) Windows предоставляет в распоряжение набор мощных, но не всегда безопасных инструментов для разработки приложений. С появлением Delphi ситуация изменилась. С помощью интерфейса для быстрой разработки приложений (RapidApplicationdevelopment– RAD) Delphi позволяет быстро и легко разработать приложение очень высокого уровня. Используя Delphi, можно создавать и тестировать приложения со сложным пользовательским интерфейсом без прямого использования функций API. Освобождая программиста от проблем, связанных с применением API, Delphi позволяет сконцентрироваться непосредственно на написании кода программы. Delphi – наиболее мной изученная мощнейшая среда разработки, имеющая все необходимые функции для разработки программной модели численного метода поиска экстремума функции. 4. Операционная среда моделирования
WindowsXP – новая операционная система фирмы Microsoft, непосредственно преемница Windows2000. В основном повторяя архитектуру своей предшественницы, она делает свою работу на компьютере более эффективно и предоставляет пользователю много дополнительных возможностей, кроме того появился новый интерфейс Основные задачи, связанные с работой в среде Windows 98: · Загрузка WindowsXP и завершение работы на компьютере · Получение помощи по ходу работы · Выбор типа пользовательского интерфейса · Использование стандартных панелей · Смена языка · Управление загрузкой WindowsXP Обладая вытесняющей многозадачностью, способностью исполнять несколько программ одновременно и перераспределять ресурсы компьютера между ними по собственной инициативе. Имеет высокий уровень совместимости с ранее накопленном программным обеспечением, которое разрабатывалось для MS-DOS и предыдущих версий Windows Требования WindowsXP к компьютеру: · Микропроцессор работающий с тактовой частотой 400МГц (Pentium, PentiumPro, Pentium 3,4) · Мышью MicrosoftMouse или другими, подобными по функциям устройствам · Оперативная память не менее 64 Мбайт 5. Контрольная задача
Пример: 1. Требуется найти минимум функции 2. Интервал поиска 3. Начальная точка: 4. Параметры поиска: коэффициент шага Результаты вычислений представлены в таблице 1. Последнюю точку (17) можно считать решением, так как за заданное число попыток (17), не удалось найти лучшую точку. Возможно увеличив число таких попыток, можно найти лучшее решение. Вывод можно сделать такой: данная программа удачно справляется с возложенными на неё задачами Заключение
Данная программа может быть использована в качестве наглядного пособия для изучения оптимизации многомерной нелинейной функции методом слепого поиска. Обеспечивает корректную работу и вывод результатов. Программа также может применяться для оптимального проектирования (выбор наилучших технологических режимов, структуры технологических цепочек, условий экономической деятельности), оптимального управления, построение нелинейных математических модулей, объектов управления (минимизации различных структуры модели и реального объекта). Недостатком данной программы является отсутствие графического представления моделирования, однако для его осуществления, необходимо ограничивать диапазона выбираемого для подсчёта интервала, что напрямую сказывается на полезность программы. Список используемой литературы
1.Ю.В. Васильков, Н.Н. Василькова «Компьютерные технологии вычислений в математическом моделировании» 2.Род Стивенс «Delphi. Готовые алгоритмы», М., 2004 3.А.Я. Архангельский «Delphi 7. Справочное пособие», М., 2004 4.А.Я. Архангельский «Программирование в Delphi 7», М., 2004 Приложение
Листинг программы
unitUnit1; interface uses Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms, Dialogs, StdCtrls, Spin, Grids, Buttons, Menus; type TForm1 = class(TForm) GroupBox1: TGroupBox; Label1: TLabel; Label2: TLabel; Label3: TLabel; Label4: TLabel; Label5: TLabel; Label6: TLabel; ComboBox1: TComboBox; Label7: TLabel; Label8: TLabel; Label9: TLabel; ComboBox2: TComboBox; Label10: TLabel; Label11: TLabel; ComboBox3: TComboBox; Label12: TLabel; Label13: TLabel; GroupBox2: TGroupBox; Label14: TLabel; Label15: TLabel; Label16: TLabel; Label17: TLabel; Label18: TLabel; Label19: TLabel; Label20: TLabel; Label21: TLabel; GroupBox3: TGroupBox; SpinEdit9: TSpinEdit; StringGrid1: TStringGrid; GroupBox4: TGroupBox; Label22: TLabel; Label23: TLabel; Label24: TLabel; Label25: TLabel; GroupBox5: TGroupBox; SpinEdit10: TSpinEdit; Edit1: TEdit; Edit2: TEdit; Edit3: TEdit; Edit4: TEdit; Edit5: TEdit; Edit6: TEdit; Edit7: TEdit; Edit8: TEdit; Edit9: TEdit; Edit10: TEdit; Edit11: TEdit; MainMenu1: TMainMenu; File1: TMenuItem; Close1: TMenuItem; N1: TMenuItem; Label26: TLabel; GroupBox6: TGroupBox; SpeedButton1: TSpeedButton; procedure FormCreate (Sender: TObject); procedure SpeedButton1Click (Sender: TObject); procedure Close1Click (Sender: TObject); procedure N1Click (Sender: TObject); private {Private declarations} public {Public declarations} end; var Form1: TForm1; implementation uses Math, Unit2; {$R *.dfm} procedure TForm1. FormCreate (Sender: TObject); begin StringGrid1. Cols[0].Text:='№ итер.'; StringGrid1. Cols[1].Text:='X1'; StringGrid1. Cols[2].Text:='X2'; StringGrid1. Cols[3].Text:='Значение функции'; StringGrid1. Cols[4].Text:='Попытка'; end; procedure TForm1. SpeedButton1Click (Sender: TObject); var I: Integer; A, B, C, D, x11, x12, x21, x22, x1, x2, x1opt, x2opt, y, Yopt:real; begin // присваиваем для удобства значения переменных A:=StrToFloat (Edit1. Text); B:=StrToFloat (Edit2. Text); C:=StrToFloat (Edit3. Text); D:=StrToFloat (Edit4. Text); x11:=StrToFloat (Edit5. Text); x12:=StrToFloat (Edit6. Text); x21:=StrToFloat (Edit7. Text); x22:=StrToFloat (Edit8. Text); StringGrid1. RowCount:=SpinEdit9. Value+1; for I:=1 to SpinEdit9. Valuedo BEGIN // получение случайных значений координат точки {**************************************} randomize; x1:= (x12 – x11) *random+ x11; x2:= (x22 – x21) *random+ x21; {**************************************} if (ComboBox1. Text='-') and (ComboBox2. Text='-') and (ComboBox3. Text='-') then y:=A*(x1*x1*x1) – B*(x2*x2) – C*x1 – D*x2; if (ComboBox1. Text='-') and (ComboBox2. Text='-') and (ComboBox3. Text='+') then y:=A*(x1*x1*x1) – B*(x2*x2) – C*x1 + D*x2; if (ComboBox1. Text='-') and (ComboBox2. Text='+') and (ComboBox3. Text='-') then y:=A*(x1*x1*x1) – B*(x2*x2) + C*x1 – D*x2; if (ComboBox1. Text='+') and (ComboBox2. Text='-') and (ComboBox3. Text='-') then y:=A*(x1*x1*x1) + B*(x2*x2) – C*x1 – D*x2; if (ComboBox1. Text='+') and (ComboBox2. Text='+') and (ComboBox3. Text='-') then y:=A*(x1*x1*x1) + B*(x2*x2) + C*x1 – D*x2; if (ComboBox1. Text='-') and (ComboBox2. Text='+') and (ComboBox3. Text='+') then y:=A*(x1*x1*x1) – B*(x2*x2) + C*x1 + D*x2; if (ComboBox1. Text='+') and (ComboBox2. Text='+') and (ComboBox3. Text='+') then y:=A*(x1*x1*x1) + B*(x2*x2) + C*x1 + D*x2; if (ComboBox1. Text='+') and (ComboBox2. Text='-') and (ComboBox3. Text='+') then y:=A*(x1*x1*x1) + B*(x2*x2) – C*x1 + D*x2; ifi=1 then begin x1opt:=x1; x2opt:=x2; Yopt:=y; end else begin if Yopt>y then begin x1opt:=x1; x2opt:=x2; Yopt:=y; StringGrid1. Cells [4, i]:='УДАЧНАЯ'; end else StringGrid1. Cells [4, i]:='неудачная'; end; StringGrid1. Cells [0, i]:=inttostr(i); StringGrid1. Cells [1, i]:=FloatToStrF (x1, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); StringGrid1. Cells [2, i]:=FloatToStrF (x2, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); StringGrid1. Cells [3, i]:=FloatToStrF (y, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); END; Edit9. Text:=FloatToStrF (x1opt, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); Edit10. Text:=FloatToStrF (x2opt, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); Edit11. Text:=FloatToStrF (Yopt, ffFixed, 15, SpinEdit10. Value); end; procedure TForm1. Close1Click (Sender: TObject); begin close; end; procedure TForm1.N1Click (Sender: TObject); begin Beep; // показываем модально какое-нибудь окно о проге form2. ShowModal; end;
|