Лабораторная - Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения Министерство Образования Республики Таджикистан Таджикский Технический Университет имени М.С. Осими Кафедра «АСОИиУ» Лабораторная работа №1 На тему:Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения Выполнила: ст-т. 3-го курса гр. 2202 Б2 Принял: преподаватель кафедры Ли И.Р. Душанбе-2010 Лабораторная работа № 2 Моделирование датчиков случайных чисел с заданным законом распределения I Цель работы Целью работы является: 1. Практическое освоение методов моделирования случайных чисел с заданным законом распределения 2. Разработка и моделирование на ПЭВМ датчика случайных чисел с конкретным законом распределения 3. Проверка адекватности полученного датчика II Теоретические сведения 1. Основные методы моделирования случайных последовательностей с заданным законом распределения При исследовании и моделировании различных сложных систем в условиях действия помех возникает необходимость в использовании датчиков случайных чисел с заданным законом распределения. Исходным материалом для этого является последовательность x 1, x 2…. xn с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Обозначим случайную величину, распределенную равномерно через ζ(кси). Тогда равномерно-распределенные случайные числа будут представлять собой независимые реализации случайной величины ζ, которые можно получить с помощью стандартной функции RND (ζ)– программно реализованной на ПЭВМ в виде генератора случайных чисел с равномерным законом распределения в интервале [0,1] . Требуется получить последовательность y 1, y 2,.. yn независимых реализаций случайной величины η, распределенных по заданному закону распределения. При этом закон распределения непрерывной случайной величины может быть задан интегральной функцией распределения: F ( y )= P ( ksi y ) (1) или плотностью вероятности f ( y )= F ’( y ) (2) Функцииf ( y ) и F ( y ) могут быть заданы графически или аналитически. Для получения случайной величины η с функцией распределения F ( y ) из случайной величины ζ, равномерно-распределенной в интервале [0,1] , используются различные методы. К основным методам моделирования случайных чисел с заданным законом распределения относятся: - метод обратной функции - метод отбора или исключения - метод композиции. 2. Метод обратной функции Если ζ- равномерно-распределенная на интервале [0,1] случайная величина, то искомая случайная величина может быть получена с помощью преобразования: η=F-1 ( ζ) (3) Где F-1 ( ζ) - обратная функция по отношению к функции распределения F( ζ) F ( y ) 1 ζ 0 η y Рис 1 Функция распределения F (ζ) Действительно, при таком определении случайной величины η имеем: P (η y )= P { F -1 (ζ) y }= P { ζ F ( y ) }= F ( y ) (4) В данной цепочке равенств первое равенство следует из (3) , второе из неубывающего характера функций F( ζ) и F-1 ( ζ) и третье из равномерного в интервале [0,1] распределения величин ζ. Таким образом, если задана функция распределения F( y ) , то для получения случайной последовательности с таким распределением необходимо найти ее обратную функцию. Для нахождения обратной функции можно использовать два метода: аналитический и графический . 3.Метод отбора или исключения Данный метод удобнее использовать, если требуемый закон распределения задан плотностью вероятности f ( y ). В отличии от метода обратной функции метод отбора или исключения для получения одного требуемого случайного числа требует не одного равномерно- распределенного случайного числа, а двух, четырех, шести или более случайных чисел. В этом случае область возможных значений η представляет конечный отрезок ( a , b ), а плотность вероятности f ( y ) ограничена сверху значением fmax (Рис.7). Тогда область значений η* и ζ* можно ограничить ступенчатой кривой: 0, если y<a g(y)= fmax, если a y b (25) 0, если y > b Затем берутся с помощью генератора случайных чисел ( RND (ζ)) два равномерно-распределенных числа ζ1 и ζ2 , по которым определяются равномерные на интервале [ a , b ] независимые величины: η ’ =a + (b-a)* ζ 1 ζ ’=fmax* ζ 2 (26) Где a , b – границы возможных значений случайной величины η , fmax - максимальное значение функции f ( y ) (Рис.7) f(y) g(y) fmax f(y) ζ a η ’ b Рис.7 Заданная плотность вероятности Если ζ’ f (η ’) , то η ’ принимается в качестве очередной реализации случайной величиныη . В противном случае η ’ отбрасывается и берется следующая пара равномерно- распределенных случайных чисел ζ1 и ζ2 . Такая процедура повторяется до тех пор, пока мы не получим требуемого количества случайных чисел с заданной плотностью вероятности. 4. Метод композиции Метод композиции основывается на представлении плотности вероятности fη ( x ) по формуле полной вероятности: f η ( x )= (27) Где H ( z )= P (ζ z )– интегральная функция распределения случайной величины ζ ; P(x / z )- условная плотность вероятности. Переходя к дискретной форме, интеграл заменяется на сумму и тогда получаем f η (x )= Pj *fj (x ) (28) где Pj =1(29) fj ( x ) -условная плотность вероятности Таким образом, для любой заданной плотности вероятности ее фигура единичной площади, ограниченной осью x и кривой f η (x), разбивается на произвольное число простых не пересекающихся частей gj ( i =1, k ), с площадями Pj ( j =1, k ), (Рис.8) Рис.8Разбивка плотности вероятности на отдельном участке f η (x) g1 (Р1 ) g2 (Р2 ) g3 (Р3 ) x g1 (Р1 ) x Рис. 9 Условные плотности вероятности g2 (Р2 ) x g3 (Р3 ) x Условные плотности вероятности имеют вид (Рис.9) Для полученных условных плотностей вероятности одним из предыдущих методов определяются случайные последовательности, которые в сумме дадут требуемую случайную последовательность с заданной плотностью вероятности. 5. Оценка закона распределения Для полученной случайной последовательности y 1, y 2,… , yn с заданным законом распределения необходимо провести оценку соответствия заданного закона распределения, который реализует смоделированный датчик случайных чисел. Поэтому для последовательности y 1, y 2,… , yn строится статистическая функция распределения F * ( y ) (Рис. 10). На этом же графике строится интегральная функция распределения F ( y ) для заданного закона распределения и производится сопоставление F *( y ) и F ( y ). Согласие закона проверяется по критерию Колмогорова . Для этого вычисляется статистика: Ди= max F *( y ) - F ( y ) (30) Для конечных решений и распределения статистики Ди получены пороговые значения в форме таблиц (Таблица 1.). По этой таблице для заданных объемов последовательности и и значению статистики Ди определяется уровень значимости . Если гипотеза верна то статистика Ди* имеет в пределе при n распределение Колмогорова и квантили уровня P = (1-2) близки к 1. Это значит, что полученный генератор случайных чисел вырабатывает последовательность с заданным законом распределения. Если значения статистики Ди не попадают в пороговые значения, то такой генератор не годится для пользования. F(y) F(y) 1 F*(y) 0.5 Dn { y y1 y2 y3 y4 …….yn-1 yn Рис.10Оценка распределения III Содержание исследования Исследование, проводимое в данной работе, заключается в получении программного датчика случайных чисел, пригодного для моделирования случайной последовательности с заданным законом распределения. При этом необходимо разработать алгоритм и программу датчика, а затем исследовать свойства выработанной им последовательности. При проведении исследований необходимо: 1 .По двадцати числам (n =20 ) выведенным на печать построить статистическую функцию распределения F *( y )(рис.10) На этом же графике построить интегральную функцию распределения F ( y ) для заданного преподавателем закона распределения. Сопоставив значения F *( y )и F ( y ), вычислить статистику Ди (30). 2. Составить блок- схему и программу для ПЭВМ , в которой следует предусмотреть построение статистического ряда и вычисление статистики Ди по критерию Колмогорова. 3 .По таблице пороговых значений статистики Ди произвести оценку распределения. 4. Для полученной последовательности произвести оценку математического ожидания, дисперсии, среднеквадратического отклонения. Блок- схема генератора Интерфейс программы: Листинг программы : Private Sub Command1_Click() Dim n As Integer Dim p1, p2 As Integer Dim Y() As Variant, X As Double p1 = 0: p2 = 0: m = 0: d = 0 List1.Clear Randomize X = 0.5 n = Val(Text1.Text) ReDim Y(n) As Variant For i = 1 To n X = Rnd(X) List1.AddItem ("x(" + Str(i) + ")=" + Str(X)) If X < 0.7 Then p1 = p1 + 1 Y(i) = 2 m = m + Y(i) List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i))) Else p2 = p2 + 1 Y(i) = 10 * X - 5 m = m + Y(i) List1.AddItem ("y(" + Str(i) + ")=" + Str(Y(i))) End If Next i List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.7: p1=" + Str(p1)) List1.AddItem ("кол. точек с вер-ю 0.3: p2=" + Str(p2)) List1.AddItem ("ВЕРОЯТНОСТИ:") List1.AddItem (" 0.4<=x<0.7 --- 0" + Str(p1 / n)) List1.AddItem (" 0.7<=x<=1 --- 0" + Str(p2 / n)) m = m / n List1.AddItem ("мат ожидание = " + Str(m)) For i = 1 To n d = d + (Y(i) - m) ^ 2 Next i d = d / (n - 1) b = Sqr(d) List1.AddItem ("диссперсия = " + Str(d)) List1.AddItem ("сререднекв откл = " + Str(b)) 'построение интегральной функции Picture1.Scale (-2, 11)-(11, -2) Picture1.Line (0, -2)-(0, 11) Picture1.Line (-2, 0)-(11, 0) Picture1.PSet (-1, 11) Picture1.Print ("f(x)") Picture1.PSet (10.5, -0.3) Picture1.Print ("x") Picture1.PSet (-0.7, 4) Picture1.Print ("0.4") Picture1.PSet (-0.7, 7) Picture1.Print ("0.7") Picture1.PSet (-0.7, 10) Picture1.Print ("1") Picture1.PSet (2, -0.3) Picture1.Print ("2") Picture1.PSet (5, -0.3) Picture1.Print ("5") For i = 0 To 11 Step 0.001 If i < 2 Then l = 4 Else If i < 5 Then l = (0.1 * i + 0.5) * 10 Else l = 10 End If End If Picture1.PSet (i, l) Next i Picture1.Line (2, 4)-(2, 7) 'построение обратной функции Picture2.Scale (-2, 11)-(11, -2) Picture2.Line (0, -2)-(0, 11) Picture2.Line (-2, 0)-(11, 0) Picture2.PSet (-1, 11) Picture2.Print ("x") Picture2.PSet (10.5, -0.3) Picture2.Print ("f(x)") Picture2.PSet (-0.7, 2) Picture2.Print ("2") Picture2.PSet (-0.7, 5) Picture2.Print ("5") Picture2.PSet (4, -0.3) Picture2.Print ("0.4") Picture2.PSet (7, -0.3) Picture2.Print ("0.7") Picture2.PSet (10, -0.3) Picture2.Print ("1") For i = 4 To 10 Step 0.001 If i < 7 Then l = 2 Else l = i - 5 End If Picture2.PSet (i, l), vbRed Next i Picture2.Line (4, 0)-(4, 2), vbRed Picture2.Line (10, 5)-(10, 11), vbRed