Інженерні розрахунки в MathCad Вступ Тема контрольної роботи "Інженерні розрахунки в MathCad" з дисципліни "Інформатика". Мета роботи - придбання навичок роботи з системою MathCad. Завданні 1 передбачає розв’язання системи лінійних рівнянь у програмі MathCAD. Завданні 2 передбачає розв’язання нелінійного рівняння за допомогою програми MathCAD. Завданні 3 потребує знайти дійсні розв’язки системи нелінійних рівнянь із заданим ступенем точності в середовищі MathCAD. Завдання Завдання 1. Задана система трьох лінійних рівнянь. Знайти розв’язок системи матричним методом в середовищі MathCAD. Розв’язання: Розв’язання системи рівнянь у матричному виді проводиться за формулою X=A-1 ×B, деA - матриця, що складається з коефіцієнтів при невідомих, А-1 - обернена матриця до матриці А, B - вектор вільних членів, X - вектор розв'язків системи. Для реалізації розрахунків в системі MathCAD необхідно скористатися панеллю інструментів Математика (Math): яка визивається командою View ® Toolbars ® Math : mathcad інженерний розрахунок рівняння Кнопками панелі Математика необхідно визвати панелі: Калькулятор (кнопкою ): Матриця ( кнопкою ): А потім виконати наступні дії: 1. Створимо матрицю А: Пояснення до виконуваних дій: Використавши кнопку панелі Matrix: Задаємо 4 рядки і 4 стовпці. А потім заповнюємо шаблон матриці коефіцієнтами системи: 2. Створюємо вектор В: Задаємо 4 рядки 1 стовпець: Після чого заповнюємо маркери шаблону значеннями вільних членів системи: 3. Обраховуємо вектор Х: Знак присвоєння: = вибираємо на панелі Calculator , обернену матрицю до матриці А створюємо за допомогою кнопки на панелі Matrix . 4. Виводимо результат розрахунків: Результати рішення системи: x = 0.091 y = - 0.243 z = - 0,601 t = 0.210 5. Робимо перевірку: Розв’язок вірний, оскільки результат перемноження матриці А на вектор Х дорівнює вектору В. Завдання 2 Знайти корінь нелінійного рівняння x3 + sin (x - 3) +1 = 0 з точністю e =0.0001 Розв’язання: Всяке рівняння з одним невідомим може бути записане у вигляді f (x) = 0. Знаходження наближеного значення дійсних коренів рівняння складається з двох етапів: 1 етап - відділення коренів - виділення відрізка, що належить області існування функції f (x), на якому розташований один і тільки один корінь. Для відділення коріння будують графік функції f (x ). Абсциси точок перетину графіка функції y = f (x) з віссю ОХ і будуть наближеними значеннями коренів. По графіку легко вказати відрізки, на яких знаходиться один і тільки один корінь. 2 етап - уточнення наближених корінь, тобто обчислення їх із заданою точністю e. 1 етап. Графічне відділення коренів рівняння. Побудуємо графік функції f (x) = x3 + sin (x - 3) +1. Опишемо функцію в видіфункції користувача : Вставимо в документ графічну область командою Insert ® Graph ® XY- Plot : Маркери (-) отриманого шаблону заповнимо відповідно іменем аргументу х і іменем функції f (x): Відформатуємо графік командою F ormat ® Graph ® XY-Plot : Виберемо опцію Grossed (показувати осі координат): Як видно із графіка функція f (x) перетинає вісь абсцис на інтервалі [-2; - 1]. Для подальших розрахунків приймемо наближене значення кореня x = - 1 2 етап - уточнення кореня до точністі e =0.0001. Уточнення кореня, тобто доведення його до заданого ступеню точності проведемо за допомогою функції root ( f ( x), x ). Функція реалізує обчислення ітераційним методом, причому спочатку необхідно задати: точність обчислень за допомогою системної змінної TOL; початкове значення змінної х (будь-яке значення з відрізку визначеного на графіку). Порядок дій: TOL: =0.0001 Пояснення: TOL - системна змінна, за допомогою якої задається точність обчислень в системі MathCAD. x: = - 1 Початкова умова, знайдена із графіка. x: = root (f (x), x) x= - 1.2361 Застосування функції root для уточнення кореня. Вивід значенння уточненого кореня х . В установленому режимі MathCAD як правило виводить 3 десяткові знаки після коми. Оскільки задана точність e потребує 4 знаки, необхідно командою F ormat ®Result … в вікні ResultFormatзадати необхідне число знаків: Отже корінь рівняння х = - 1,2361. Завдання 3 Розв’язати систему нелінійних рівнянь: sin (x) + sin (y) - 1.3 = 0 y2 - x2 +x = 0 с точністю e=0.00001. Розв’язання: Відомо, що розв’язком системи є такі значення х і у , які перетворюють одночасно обидва рівняння в тотожності. Для знаходження розв’язку системи необхідно спочатку графічно знайти грубе наближення цих значень для х і у . Очевидно, що потрібно побудувати криві, які описуються рівняннями системи. Координати точки перетину цих кривих (як спільна їх точка) і являтимуть розв’язком системи. Щоб побудувати ці криві необхідно рівняння системи привести до виду: y= f1 ( x) y= f2 ( x), тобто в нашому випадку: . Після цього побудувати графіки функцій: . Порядок дій: Пояснення: Описуємо дві функції користувача Функції asin , sin і Öвибрати з панелі Calculator. Будуємо графіки функцій: y1 (x) і y2 (x) Довільно вибираємо відрізок [a,b], на якому будуємо графік функцій. Задаємо розбиття відрізку точками, описавши х як ранжовану змінну, яка змінюватиметься від а до b з кроком h . Якщо на вибраному відрізку [a,b] криві не перетнуться змінюмо до тих пір а і b поки не віднайдемо точку перетину. Із графіка приблизно знайти значення: х =1,2 і у = 0,4 координати точки перетинання графіків Задаємо початкові значення розвязку: x: =1.2 y: = 0.4 Задаємо початкові значення для х і у . Задаємо точність обчислень Уточнюємо розвязок до задоного ступеня точності. Для уточнення розв’язку використовуємо блок рішення, який відкривається директивою G iven , а закривається функцією Find . В самому блоці записуються рівняння системи, в яких знак = вставляється з панелі . Вектору R присвоюється рішення системи. Отже х = 1,1413 і у = 0,4015. Проводимо перевірку розв’язку: Перевірка розв’язку: Замість х і у підставляємо в рівняння R 0 і R1 , які являються елементами вектора R ( нумерація елементів починається з нуля). Оскільки справа отримали нулі - розв’язок задовольняє обидва рівняння. Література 1. Симонович С. Информатика: базовый курс. - СПб.: Питер, 1999, 640 с.