Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad На тему: «Решение математических задач с использованием программного пакета MathCad » Екатеринбург 2010 1. Краткие теоретические сведения Дифференциальными уравнениями называются уравнения, в которых неизвестными являются функции одного или нескольких переменных, причем в уравнения входят не только сами функции, но и их производные. Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение n-го порядка: y( n ) = f (x, y, y’ , y’’ … y( n -1) ) Общее решение этого уравнения зависит от n-произвольных постоянных. Точное решение дифференциального уравнения может быть найдено вручную, либо операторным методом в пакете MathCad. Также есть приближенные методы решения: решение с помощью рядов, численные методы и др.Каждый из этих методов определяет один или несколько бесконечных процессов, с помощью которых при выполнении определённых условий можно получить точное решение задачи. Для получения приближенного решения останавливаются на некотором шаге процесса. Принцип операторного метода состоит в том, что при переводе функции дифференциального уравнения y( n ) = f (x, y, y’ , y’’ … y( n -1) ) в пространство Лапласа мы получаем изображение F(s), которое зависит только от одной переменной s. Отсюда, по теореме о единственности мы можем найти точное решение дифференциального уравнения. Если решение ищется в виде бесконечного ряда, то за приближенное решение принимают конечный отрезок ряда. Например, пусть требуется найти решение дифференциального уравнения y' = f (x, у), удовлетворяющее начальным условиям у (х0 ) = y0 , причём известно, что f (x, у) – аналитическая функция х, у в некоторой окрестности точки (х0 , y0 ). Тогда решение можно искать в виде степенного ряда: y (x) – y (x0 ) = Коэффициенты Ak ряда могут быть найдены либо последовательным дифференцированием, либо с помощью метода неопределенных коэффициентов, который применяется в курсовой работе. Метод рядов позволяет находить решение лишь при малых значениях величины х – х0 . К численным методам относятся методы, позволяющие находить приближенное решение при некоторых значениях аргумента (т.е. получать таблицу приближённых значений искомого решения), пользуясь известными значениями решения в одной или нескольких точках. Такими методами являются, например, метод Эйлера, метод Рунге и целый ряд разностных методов (метод Рунге-Кутты). Если a – точное решение, то абсолютной погрешностью приближенного значения a* называют величину Д(а* ), которая определяется следующим образом: |a* -a| ≤ Д(a* ) Относительной погрешностью Дa приближенного значения называют некоторую величину, которая определяется следующим образом: |(a* -a)/ a* | ≤ д(a* ) Таким образом, эти две погрешности связаны между собой: д(a* ) = Д(a* ) / |a* | Относительную погрешность часто выражают в процентах. Числа a* и Дa принято записывать с одинаковым количеством знаков после запятой. 2. Дифференциальное уравнение Получить точное решение дифференциального уравнения вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента ряда) на интервале [0,1], численное решение методами Эйлера и Рунге-Кутты, представить совместное графическое решение ДУ всеми способами. Рассчитать локальную погрешность методов Эйлера и Рунге-Кутты. Рассчитать относительную и абсолютную погрешность всех методов с использованием точного решения. Дано: 2x''+5x'=29cost x(0)= -1 x'(0)=0 2.1 Точное решение операторным методом Пусть X(s) изображение, а х(t) оригинал. Продифференцируем левую часть уравнения: 2x''+5x'=5*(s2 *X-s*x(0) – x'(0))+5*(s*X-x(0)) Подставим данные значения x(0) и x'(0) в уравнение и получим: x''-3x'+2x= 2*(s2 *X+s)+5*(s*X+1)=X*(2s2 +5s)+s*2+5 Преобразуем правую часть уравнения в пространство Лапласа Найдем значение изображения: Given Сопоставим изображению оригинал: Найдем значения функции, построим её график: дифференциальный уравнение эйлер операторный 2.2 Приближенное решение с помощью рядов Запишем функцию в виде ряда: Найдем производные первого и второго порядков от этой функции: Разложим в ряд правую часть уравнения: Полученные ряды подставим в исходное уравнение: Найдем значения коэффициентов Подставим найденные значения в разложение функции в ряд и построим график функции: 2.3 Численное решение методом Эйлера Перепишем условие следующим образом: x'=z z'+ 5z=29cos t z'=29cos t – 5z Задаём начальные данные: Находим значение x и x' Для сравнения решим это дифференциальное уравнение с шагом 0,01. Построим график. 2.4 Численное решение методом Рунге-Кутты четвертого порядка Определяем функцию D, задающую производные и находим значения функции. Строим график функции: 2.5 Расчет погрешности приближенного и численных методов Таблица 1 – Значения функции Заданный интервал Точное решение Приближенное с помощью рядов Метод Эйлера (шаг 0,1) Метод Эйлера (шаг 0,01) Метод Рунге Кутты 0 -1,000000 -1,000000 -1,000000 -1,000000 -1,000000 0,1 -0,933240 -0,933240 -1,000000 -0,938953 -0,933221 0,2 -0,753725 -0,753766 -0,855000 -0,762488 -0,753695 0,3 -0,488339 -0,488787 -0,601974 -0,498255 -0,488302 0,4 -0,159271 -0,161707 -0,270096 -0,168991 -0,159232 0,5 0,214972 0,205973 0,117337 0,206412 0,215012 0,6 0,618801 0,592753 0,541466 0,612091 0,618840 0,7 1,038952 0,975227 0,986812 1,034588 1,038989 0,8 1,464038 1,326187 1,440495 1,462384 1,464072 0,9 1,884213 1,612712 1,891659 1,885536 1,884245 1 2,290920 1,794271 2,331055 2,295416 2,290950 Таблица 2 – Локальная, абсолютная и относительная погрешность Абсолютная погрешность Относительная погрешность Решения с помощью рядов метода Эйлера (шаг 0,1) метода Эйлера (шаг 0,01) метода Рунге Кутты Решения с помощью рядов метода Эйлера (шаг 0,1) метода Эйлера (шаг 0,01) метода Рунге Кутты Локальная погрешность 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,0 0,0 0,0 0,000 0,000000 0,066760 0,005713 -0,000019 0,0 -6,7 -0,6 0,002 0,000041 0,101275 0,008763 -0,000030 0,0 -11,8 -1,1 0,004 0,000448 0,113635 0,009916 -0,000037 -0,1 -18,9 -2,0 0,008 0,002436 0,110825 0,009720 -0,000039 -1,5 -41,0 -5,8 0,024 0,008999 0,097635 0,008560 -0,000040 4,4 83,2 4,1 -0,019 0,026048 0,077335 0,006710 -0,000039 4,4 14,3 1,1 -0,006 0,063725 0,052140 0,004364 -0,000037 6,5 5,3 0,4 -0,004 0,137851 0,023543 0,001654 -0,000034 10,4 1,6 0,1 -0,002 0,271501 -0,007446 -0,001323 -0,000032 16,8 -0,4 -0,1 -0,002 0,496649 -0,040135 -0,004496 -0,000030 27,7 -1,7 -0,2 -0,001 2.6 Совместное графическое решение Рисунок 1 – Совместное графическое решение Из всех методов наиболее точным оказался метод Рунге-Кутты, его максимальная относительная погрешность 0,024%, относительная погрешность приближенного метода составила 27,7%. Метод Эйлера с шагом 0,1 имеет наибольшую погрешность 83,2%, однако при уменьшении шага в до 0,01 его погрешность составляет всего 5,8%. Это подтверждает то, что погрешность метода Эйлера сильно зависит от принятого шага. Проанализировав графическое решение делаем вывод о том, что методы Эйлера и Рунге-Кутты повторяют форму кривой точного решения, а график приближенного решения с увеличением аргумента всё сильнее отклоняется от искомого графика – свидетельство того, что погрешность решения с помощью рядов зависит от количества членов ряда. Характер кривой также говорит о том, что точность приближенного решения с помощью рядов удовлетворительна только вблизи некоторой точки. 3. Система дифференциальных уравнений Решить систему дифференциальных уравнений, получить точное решение вручную, операторным методом, приближенное решение с помощью рядов (до 5 элемента), численное решение методом Эйлера, Рунге-Кутты. Представить графическое совместное решение, рассчитать локальную, относительную и абсолютную погрешность решения. Дано: dx/dt=3x + y dy/dt=5/2x – y + 2 x(0)=0 y(0)=1 3.1 Точное решение операторным методом Пусть X(s) изображение, для оригинала x(t), Y(s) изображение для оригинала y(t). Перейдем от оригинала к изображению: Найдем значения изображений: Найдем значения функции и построим её график: 3.2 Приближенное решение с помощью рядов Преобразуем систему таким образом что, получим дифференциальное уравнение второго порядка, зависящее только от x: x''-2x'-11/2x-2=0 Алгоритм решения такой же, как и при решении дифференциального уравнения с правой частью специального вида, но без необходимости раскладывать правую часть. Выводы Наименьшую погрешность имеет метод Рунге-Кутты четвертого порядка – для функции x(t) относительная погрешность на десятом шаге составляет 0,036%, для функции y(t) 0,0297%. Наибольшая погрешность у метода Эйлера с шагом 0,1 – для функции x(t) 70,8%, для функции y(t) 51,4%. При изменении шага до 0,01 погрешность существенно уменьшается до 6,6% и 5,3% соответственно. Вывод о влиянии шага на погрешность в методе Эйлера совпадает с выводами решения дифференциального уравнения – большую роль в точности этого метода играет шаг. Можно еще раз подтвердить вывод о том, что точность приближенного метода решения сильно зависит от того, на сколько членов будет разложена дифференциальная функция.