Вещественные числа. Способы представления и хранения в ЭВМ Контрольная работа «Вещественные числа: способы представления и хранения в ЭВМ» Рязань, 2006 г. 1. Цель работы 1. Изучение основных типов данных с плавающей точкой, принятых стандартов и их представление в современных ЭВМ. 2. Наработка практических навыков обращения с вещественными числами на компьютере (запись, считывание, хранение). 2. Теоретическая часть 2.1 Вещественные числа Вещественные числа (REAL) – числа, имеющие дробную часть. Для их представления в компьютере используется так называемое представление с плавающей точкой (ПТ), основанное на алгебраической записи чисел в виде: X = ±Mx q±Пх плавающий вещественный число компьютер где q – основание системы счисления; Пх – порядок числа (целое); Мх – мантисса (значащая часть числа), обычно представляется дробью: Mx= ±0.d1 d2 … dn . Условие di ≠0 является характерным признаком нормализованного числа в ФПТ. Нормализованное представление используется для однозначной записи вещественных чисел. Для нормализованной двоичной мантиссы (q=2) диапазон определяется неравенством 2-1 ≤ |Мх| <1. Знак числа определяется знаком мантиссы. Мантисса числа X в общем виде записывается соответственно как а) Мх =.d0 d1 d2 d3 d4 , где di {0,1}; б) Мх = d0 .d1 d2 d3 d4 , где di {0,1}. Разряд d0 в нормализованных числах всегда равен «1» и в памяти компьютера не хранится («скрытый бит»). Таким образом, мантисса, хранящаяся в памяти компьютера всегда число дробное. (Рис. 1) d1 d2 d3 d4… ↑ ↑ «скрытый» бит место точки Рис. 1. Представление n-разрядной мантиссы Форма представления чисел с ПТ позволяет значительно увеличить диапазон и точность представления чисел при той же длине разрядной сетки что и для чисел с ФТ. 2.2 Представление в памяти Вещественные числа в отличие от целых представляются и хранятся в памяти в прямом коде, их представление стандартизовано. Согласно стандарту IEЕЕ – 754 для ПК IBМ PC вводят три машинных формата: – одинарной точности (4 байта); – двойной точности (8 байт); – расширенной точности (10 байт). Некоторые фирмы разработчики ПО используют нестандартные форматы (в компиляторе языка Pascal фирмы Borland используется формат длиной б байтов). Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате Представление вещественных чисел в классическом двоичном формате имеет четыре поля используется в старых ЭВМ. Задание 1. Считать из памяти (найти Х10 ) число, представленное в классическом двоичном формате. X= -0.10100*2-3 = -19/32*2-3 = -19/256. Задание 2 Х= +7 представить в классическом двоичном формате (n=5, m=3). X= +7 = 111.1012 = 0.111101*2+3 0 11110 0 0112 2.3 Машинные форматы вещественных данных В различных алгоритмических языках принятые стандарты описываются разными ключевыми словами. В языке Turbo-Pascal определены следующие типы вещественных чисел: single, Real, double, extended и comp. Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal приведены в таблице 1. Таблица 1. Типы вещественных чисел в языке Turbo-Pascal Название типа Длина в байтах Мантисса (десятичных значащих цифр) Диапазон десятичного порядка single 4 7… 8 -45..+38 real б 11…12 -39..+38 double 8 15…16 -324..+308 Во всех типах мантисса хранится в прямом коде (ПК). Порядок (или экспонента е) задается в так называемой смещенной форме. Смещение выбирается так, чтобы характеристика была целым положительным числом (тогда знак характеристики хранить не требуется). Смещение для типа real =129, для типа single =127, для типа double =1023. Смещенный порядок (характеристика Е) равен истинному порядку П, увеличенному на величину смещения, т.е. Е=П+смещение. Если 0<Е<255, то значение числа X определяется по правилу: дляформат single: X = f (S, E, M) = (-l)S -2(E -l27) (1.M); дляформата real: X = f (S, M, E) = (-l)S -2(E -l29) (1.M), где S=0 или 1. 2.4 Внутреннее представление вещественных данных Формат Single (4 байта) 31 30 23 22 0 S E (8 бит) M(23 бита) если 0<E<255, то (-1)s *2( E -127) *(1.M) если E=0 и M≠255, то (-1)s *2( E -127) *(1.M) 1. X= f (S, E, M) = если E=0 и M=0, то (-1)s *0 если E=255 и M=0, то (-1)s *∞ если E=255 и M≠0, то X-нечисло (NAN, Not-a-Number). Формат real (6 байт) 47 46 8 7 0 S M (39 бит) Е (8 бит) 0, если е=0 Х = f(S, M, E) = (-1)S *2( E -129) *(1.М), если 0<Е<255 Формат double (8 байтов) 63 62 52 51 0 S E (11 бит) M(52 бита) Х = (-1)s *2( E -01023) *(1.M). 3. Практическая часть Считывание вещественных чисел из памяти ЭВМ. Регистрация: – выбрать пункт меню «Информатика»; – в появившемся подменю выбрать пункт GR440; – после появления приглашения D:\INFORM\GR440 запустить рабочую среду, набрав на клавиатуре Lab6 и нажав [Enter]. Задание 1. Число -23 представить в ФПТ в форматах single, real и double и разместить в памяти ПК, начиная с адреса ds: OOCOh. Результаты преобразования и перехода от значения числа к представлению его в памяти занести в таблицу 2. Таблица 2. Переход от X10 к отображению в памяти Число Алгебраическая запись Формат 16-ричное представление числа Адрес Отображение в памяти -23 -1.0111*2+4 single С1 B8 00 00 ds:00C0h 00 00 B8 C1 -23 -1.0111*2+4 real B800 00 00 00 85 ds:00C8h 85 00 00 00 00 B8 -23 -1.0111*2+4 double C0 37 00 00 00 00 00 00 ds:00D0h 00 00 00 00 00 00 37 C0 Комментарии к таблице 2: Х=-23=-1.01112 =-1.0111*2+4 В формате single: порядок Е=4+127=131=83h=100000112 SgEM Х: 1 10000011 01110000000000000000000 Х: 1100 0001 1011 1000 0000 0000 0000 0000 Х: C1 B8 0 0 0 0 Число Х=-23 в формате single в 16-ричной СС представляется как Х:С1В80000h и отображается в памяти в обратном порядке Х:00 00 В8 С1. В формате real: порядок Е=4+129=133=85h=100001012 SgME Х: 1 011100000000000000000000000000000000000 10000101 Х: 1011 1000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1000 0101 Х: B8 0 0 0 0 0 0 0 0 8 5 Число Х=-23 в формате real в 16-ричной СС представляется как Х:В80000000085h и отображается в памяти в обратном порядке Х:85 00 00 00 00 В8. В формате double: порядок E=4+1023=1027=403h=100000000112 SgEM Х: 1 10000000011 0111000000000000000000000000000000000000000000000000 Х: 1100 0000 0011 0111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 Х: C0 3 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Число Х=-23 в формате double в 16-ричной СС представляется как Х:С037000000000000h и отображается в памяти в обратном порядке Х:00 00 00 00 00 00 37 С0. Задание 2. По адресам ds:2h, ds:2ah, ds:66h считать из памяти числа, в режиме отображения byte, представленные в форматах single, real и double, и найти их десятичный эквивалент. Результаты представить в виде таблицы 3. Вариант 8 (адреса: ds :1 Eh , ds :54 h , ds :9 Eh ) Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:1Eh: – Ctrl+G; – В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:1Eh и нажать <Enter>; Установить режим отображения byte, после чего нажать <Enter>; – ALT+F10; – Переместите курсор на пункт Displayas и нажмите <Enter>; – Выберите требуемый режим отображения (byte) и нажмите <Enter>; – Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 2. Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:54h: – Ctrl+G; – В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:54h и нажать <Enter>; – Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 2. Установить подокно с отображением оперативной памяти (ОП) на область, начинающуюся с адреса ds:9Eh: – Ctrl+G; – В открывшемся диалоговом окне набрать адрес ds:9Eh и нажать <Enter>; – Перенести представление числа в памяти, расположенного по адресу ds:1Eh, в Таблицу 3. Таблица 3. Переход от отображения в памяти к Х10 Адрес Формат ds:0002h single ds:002аh real ds:0066h double Список литературы 1. Информатика, ч.I: Методические указания к лабораторным работам / Сост. Н.И. Иопа. – Рязань: РГРТА 2002. 2. Информатика. Базовый курс / С.В. Симонович и др. СПб.: Питер, 2001, с. 114–120. 3. Шафрин Ю.А. Информационные технологии. М.: Лаборатория Базовых знаний, 1998, с. 164–179.