Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 33
Министерство образования РФ Южно-Уральский государственный университет Кафедра Автоматики и управления
по математическим основам теории систем
на тему
Линейное программирование
Выполнил: Группа: ПС-263 Проверил: Разнополов О. А. Челябинск 2003 При постановке задачи организационного управления, прежде всего, важно 1. Определить цель, преследуемую субъектом управления. 2. Установить, значениями каких переменных исследуемой системы можно варьировать. Под целью будем понимать тот конечный результат, который необходимо получить путём выбора и реализации тех или иных управляющих воздействий на исследуемую систему. В производственно-коммерческой сфере цель заключается в том, чтобы либо максимизировать прибыль, либо минимизировать расходы. Когда цель определена, оптимальным считается такой способ действий, который в наибольшей степени способствует достижению этой цели. Однако «качество» реализации процедуры выбора зависит от того, насколько полно известны допустимые альтернативы управляющих воздействий. Требуется выявить полное множество так называемых управляемых переменных. Важным моментом при принятии управляющих решений является идентификация неуправляемых переменных, то есть субъекта управления. Для построения математической модели необходимо иметь строгое представление о цели функционирования исследуемой системы и располагать информацией об ограничениях, которые определяют область допустимых значений управляемых переменных. Как цель, так и ограничения должны быть представлены в виде функций от управляемых переменных. Анализ модели должен привести к определению наилучшего управляющего воздействия на объект управления при выполнении всех установленных ограничений. При упрощённом описании реальных систем, на основе которого будет строиться та или иная модель, прежде всего следует идентифицировать доминирующие переменные, параметры и ограничения. Модель, будучи дальнейшим упрощением образа системы-оригинала, представляет собой наиболее существенные для описания системы соотношения в виде целевой функции и совокупности ограничений. Наиболее важным типом моделей являются математические модели. В основе их построения лежит допущение о том, что все релевантные переменные, параметры и ограничения, а также целевая фукция количественно измеримы. Поэтому если представляет собой Найти оптимум (целевая функция) при ограничениях Ограничения 2. Основные понятия теории оптимизации
2.1. Общая постановка задачи оптимизации
В общей задаче требуется найти вектор из допустимой области Если (2) – необходимое, но не достаточное условие. Достаточным условием существования в стационарной точке относительного минимума является положительная определённость квадратичной формы. 2.2. Ограничения на допустимое множество
Теорема Вейерштрасса: непрерывная функция, определённая на непустом замкнутом ограниченном множестве, достигает минимума (максимума) по крайней мере в одной из точек этого множества. 2.3. Классическая задача оптимизации
Состоит в нахождении минимума целевой функции Если (3) имеют место, то минимум q(x) называется условным минимумом. Если ограничения (3) отсутствуют, то говорят о безусловном минимуме. Классический способ решения данной задачи состоит в том, что (3) используют для исключения из рассмотрения ,где через 2.4. Функция Лагранж
а
Введём в рассмотрение вектор Рассмотрим стационарные точки функции Если в стационарной точке (x*, y*) функция Задача на условный минимум целевой функции q(x) при наличии ограничений типа равенств сводится к задаче на определение стационарных точек функции Лагранжа 3. Линейное программирование: формулировка задач и их графическое решение
Рассмотрим на примере задачи фирмы Reddy Mikks. Небольшая фабрик изготовляет два вида красок: для наружных (E) и внутренних (I) работ. Продукция поступает в оптовую продажу. Для производства красок используется два исходных продукта – A и B. Максимально возможные суточные запасы этих продуктов составляют 6т и 8т соответственно. Расходы A и B на производство 1т соответствующих красок приведены в таблице. Суточный спрос на краску I никогда не превышает спроса на краску E более чем на 1т. Спрос на I не превышает 2т. Оптовая цена за 1т краски E – 3000$, I – 2000$. Какое количество краски каждого вида фабрика должна производить, чтобы доход от реализации продуктов был максимальным? Так как нужно определить объём производства каждого вида краски, переменными в модели являются: x
E – суточный объём производства краски E (в тоннах); xI
– суточный объём производства краски I (в тоннах). Обозначив доход (в тыс. $) через Ограничения на расход исходных продуктов: Ограничения на величину спроса на продукцию: Потребуем выполнения условия неотрицательности переменных: Получили математическую модель: Определить суточные объёмы производства (в т.) краски I и E, при которых достигается при ограничениях 3.2. Графическое решение задачи ЛП
Построим область допустимых решений, в которой одновременно выполняются все ограничения. Искомое пространство решений – многоугольник ABCDEF. Пространство решений содержит бесконечное число точек, являющихся допустимыми решениями, но, несмотря на это, можно найти оптимальное решение, если выяснить, в каком направлении возрастает целевая функция модели z=3xE+2xI. На график наносят ряд параллельных линий, соответствующих уравнению целевой функции при нескольких произвольно выбранных и последовательно возрастающих значениях Решив систему, получим Тогда получаемый доход Оптимальному решению всегда соответствует одна из допустимых угловых точек пространства решений. Какая из этих точек окажется оптимальной, зависит от наклона прямой, представляющей целевую функцию (т.е. от коэффициентов целевой функции). 4. Алгебраический метод решения задач
Использование графического метода удобно при решении задач ЛП с двумя переменными. При большем их числе необходимо применение алгебраичского аппарата. Процесс решения задачи ЛП симплекс-методом носит итерационный характер: однотипные вычислительные процедуры в определённой последовательности выполняются до тех пор, пока не будет получено оптимальное решение. 4.1. Стандартная форма линейных оптимизационных моделей
1. Все ограничения записываются в виде равенств с неотрицательной правой частью. Исходное ограничение можно представить в виде равенства, прибавляя остаточную переменную к левой части ограничения (вычитая избыточную переменную из левой части). Например, Введём остаточную переменную s1>0, тогда Правую часть равенства можно сделать неотрицательной, умножив обе части на –1. 2. Значения всех переменных модели неотрицательны. При любом допустимом решении только одна из этих переменных может принимать положительное значение, т.к. если 3. Целевая функция подлежит максимизации или минимизации. 4.2. Симплекс-метод
Общую идею симплекс-метода проиллюстрируем на примере модели для задачи фирмы Reddy Mikks. На исходная точка алгоритма – начало координат (т. A) – начальное решение. От исходной точки осуществляется переход к некоторой смежной угловой точке (т. B или т. F). Её выбор зависит от коэффициентов целевой функции. Т.к. коэффициент при xE больше коэффициента при xI, а целевая функция подлежит максимизации, требуемое направление перехода соответствует увеличению xE (т. B). Далее указанный процесс повторяется для выяснения, существует ли другая экстремальная точка, соответствующая лучшему допустимому решению. Правила выбора экстремальной точки: 1. Каждая последующая угловая точка должна быть смежной с предыдущей. 2. Обратный переход к предшествующей экстремальной точке не может производиться. Чтобы описать рассмотренные процедуры формальными способами, необходимо определить пространство решений и угловые точки алгебраически. Требуемые соотношения устанавливаются по таблице: 4.2.1. Представление пространства решений стандартной задачи ЛП.
Модель: максимизировать целевую функцию при ограничениях На – пространство решений. Каждую точку можно определить с помощью Для идентификации нужной точки воспользуемся тем, что при Анализируя , заметим, что можно упорядочить, исходя из того, какое значение (нулевое или ненулевое) имеет данная переменная в экстремальной точке. Из таблицы выделим закономерности: 1. Стандартная модель содержит четыре уравнения и шесть неизвестных, поэтому в каждой из экстремальных точек (6–4) переменные должны иметь нулевые значения. 2. Смежные экстремальные точки отличаются только одной переменной в каждой группе (нулевых и ненулевых переменных). Если линейная модель стандартной формы содержит Включаемая переменная – небазисная в данный момент переменная, которая будет включена в множество базисных переменных на следующей итерации. Исключаемая переменная – базисная в данный момент переменная, которая на следующей итерации подлежит исключению из множества базисных переменных. 4.2.2 Вычислительные процедуры симплекс-метода
Симплекс-алгоритм: Шаг 0: Используя линейную модель стандартной формы, определяют НДБР путём приравнивания к нулю n-m (небазисных) переменных. Шаг 1: Из числа текущих небазисных переменных выбирается включаемая в новый базис переменная, увеличение которой обеспечивает улучшение значения целевой функции. Если её нет -- текущее базисное решение оптимально, иначе переход к Шагу 2. Шаг 2: Из числа переменных текущего базиса выбирается исключаемая переменная, которая должна стать небазисной при введении в состав базиса новой переменной. Шаг 3: Находится новое базисное решение, соответствующее новым составам базисных и небазисных переменных. Переход к Шагу 1. Если xE=xI=0, то (соответствует точке A Ha ) Если в задаче максимизации все небазисные переменные в Процедура выбора подключаемой переменной предполагает проверку условия допустимости, требующего, чтобы в качестве исключаемой переменной выбиралась та (из текущего базиса), которая первой обращается в нуль при увеличении включаемой переменной вплоть до значения, соответствующего смежной экстремальной точке. Отношение, идентифицирующее исключаемую переменную, можно определить из симплекс-таблице. Для этого в столбце вводимой переменной вычёркиваются отрицательные и нулевые элементы ограничений. Затем вычисляются отношения постоянных из правых частей ограничений к оставшимся элементам столбца. Исключаемая переменная – та, для которой это отношение минимально. Столбец, ассоциированный с вводимой переменной – ведущий столбец; строка, соответствующая исключаемой переменной – ведущая строка; на их пересечении – ведущий элемент. Поиск нового базисного решения осуществляется методом исключения переменных (метод Жордана-Гаусса). Этот процесс включает в себя вычислительные процедуры двух типов. Тип 1. Формирование ведущего уравнения Новая ведущая строка = предыдущая ведущая строка/ведущий элемент Тип 2. Формирование остальных уравнений Новое уравнение = предыдущее уравнение – (коэффициент ведущего столбца предыдущего уравнения)*(новая ведущая строка) Новая симплекс-таблица, полученная после проведения рассмотренных операций: xI – вводимая переменная (т.к. коэффициент в В случае минимизации целевой функции в этом алгоритме необходимо изменить только условие оптимальности: в качестве новой базисной переменной следует выбирать переменную, которая в 4.2.3. Искусственное начальное решение
Для получения начального базисного решения мы использовали остаточные переменные. Однако когда исходное ограничение записано в виде равенства или имеет знак, нельзя сразу же получить НДБР. Поэтому были разработаны два метода, в которых используется «штрафование» искусственных переменных. 1. Метод больших штрафов (М-метод) Рассмотрим линейную модель, приведённую к стандартной форме: минимизировать при ограничениях В первом и втором уравнениях нет переменных, исполняющих роль остаточных. Поэтому введём в каждое из этих уравнений по одной из искусственных переменных R1 и R2: За использование этих переменных в составе целевой функции можно ввести штраф, приписывая им достаточно большой положительный коэфффициент минимизировать при ограничениях Теперь если ,то начальное допустимое решение: Метод оптимизации, направленный на нахождение минимального значения Необходимо переформулировать условие задачи, чтобы представить процесс решения в удобной табличной форме. Подставив в целевую функцию полученные из соответствующих ограничений выражения для искусственных переменных получим выражение для Решение представлено в сводной таблице: 2. Т.к. целевая функция минимизируется, переменные, включаемые в базис, должны иметь наибольшие положительные коэффициенты в Т.к. в оптимальном решении отсутствуют искусственные переменные, имеющие положительное значение, то данное решение – допустимое оптимальное решение задачи в её стандартной постановке. 3. Двухэтапный метод Этап 1. Вводятся искусственные переменные, необходимые для получения стартовой точки. Записывается новая целевая функция, предусматривающая минимизацию суммы искусственных переменных при исходных ограничениях, видоизменённых за счёт искусственных переменных. Если минимальное значение новой целевой функции равно нулю (т.е. все искусственные переменные в оптимуме равны нулю), то исходная задача имеет допустимое решение и переходим к Этапу 2. Этап 2. Оптимальное базисное решение, полученное на Этапе 1, используется в качестве начального условия исходной задачи. Рассмотрим на примере. Этап 1. Минимизация при ограничениях Т.к. Этап 2. Исходную задачу сформулируем следующим образом: минимизировать при ограничениях Теперь, приравняв x3=0, получим НДБР Для решения задачи необходимо подставить в целевую функцию выражения для базисных переменных x1 и x2: Двойственная задача – вспомогательная задача ЛП, формулируемая с помощью определённых правил непосредственно из исходной, или прямой задачи. Прямая задача ЛП в стандартной форме: максимизировать (минимизировать) при ограничениях В состав включаются избыточные и остаточные переменные. Для формулировки двойственной задачи расположим коэффициенты прямой задачи согласно схеме: · каждому ограничению прямой задачи соответствует переменная двойственной задачи; · каждому переменной прямой задачи соответствует ограничение двойственной задачи; · коэффициенты при некоторой переменной, фигурирующие в ограничения прямой задачи, становятся коэффициентами левой части соответствующего ограничения двойственной задачи, а коэффициент, фигурирующий при той же переменной в выражении для целевой функции прямой задачи, становится постоянной правой части этого же ограничения двойственной задачи. Информация о других условиях двойственной задачи (направление оптимизации, ограничения и знаки двойственных переменных) представлена в таблице: Рассмотрим пример: Прямая задача: максимизировать при ограничениях Прямая задача в стандартной форме: максимизировать при ограничениях Двойственная задача: минимизировать при ограничениях: (означает, что y1>0). y1, y2 не ограничены в знаке.
|