Распределение ресурсов по трем отраслям ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "САРОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ" ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КУРСОВОЙ РАБОТЕ На тему: СТУДЕНТ (группа ИС-45Д) РУКОВОДИТЕЛЬБеляев С.П. г. Саров 2008 г Оглавление ВВЕДЕНИЕ. 3 ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. 4 Исходные параметры.. 5 Искомые параметры.. 6 МЕТОД РЕШЕНИЯ.. 6 ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ.. 9 ОПИСАНИЕ ИНТЕРФЕЙСА ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ.. 10 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ.. 11 ВВЕДЕНИЕ Основная часть данной работы направлена на практическое освоение метода динамического программирования на примере решения хорошо изученных задач, а именно: простейшей задачи оптимального распределения ресурсов и задачи управления запасами продукта при случайном спросе на него. Кроме теоретических основ и практических рекомендаций, необходимых для численного решения указанных задач, связанных с простым классом одномерных процессов распределения [1], дополнительно рассматриваются задачи оптимального распределения при наличии двух типов ресурсов и двух типов ограничений, в рамках которых возможны не только постановка и решение большого числа прикладных задач [1, 5], но также выявление существенных и качественных особенностей, связанных с применением метода динамического программирования, при переходе к задачам с многомерными процессами распределения. Цель работы: знакомство с постановкой задачи оптимального распределения ограниченного ресурса и методом множителей Лагранжа в задачах условной оптимизации, изучение принципа оптимальности Беллмана и вычислительной схемы решения задачи оптимального распределения ограниченного ресурса методом динамического программирования, разработка программы для численного решения задачи и проведение расчетов. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ Постановка простейшей задачи оптимального распределения ограниченного ресурса В различных производственно-экономических системах значительное число решаемых задач тесно связано с эффективным использованием и распределением ограниченных ресурсов, необходимых для нормального функционирования таких систем. Переходя к формулировке одной из простейшей задач такого класса, вначале опишем кратко процессы, обусловливающие возникновение этого типа задач. Пусть некоторая производственно-экономическая система располагает заданным количеством какого-либо экономического ресурса, под которым подразумеваются материальные, трудовые, финансовые либо иные ресурсы, необходимые для функционирования системы. В случае нескольких потребителей указанного ресурса или далее соответствующих технологических процессов возникает следующая задача: разделить имеющееся количество ресурса между ними так, чтобы максимизировать их суммарную эффективность или получаемый доход от этих процессов [1]. Для математической постановки этой задачи требуется принять следующие основные предположения [1]: 1) эффективности каждого из рассматриваемых технологических процессов, например в виде соответствующих доходов, могут быть измерены общей единицей: либо в виде валового выпуска однородного продукта, либо в стоимостной форме; 2) эффективность каждого технологического процесса не зависит от того, какие количества ресурсов были выделены для других технологических процессов; 3) общая эффективность или, что то же самое, суммарный доход от всех технологических процессов – аддитивная величина, то есть величина, равная сумме доходов, получаемых от каждого процесса в отдельности. Тогда математическая постановка задачи оптимального распреде ления ограниченного ресурса формулируется следующим образом [1]. Предположим, что имеется N технологических процессов, занумерованных в определенном порядке числами 1, 2, ... , N , и каждому такому процессу поставлена в соответствие некоторая функция, оценивающая его эффективность, а именно: величина дохода в зависимости от количества выделенного ресурса для этого процесса. Пусть x i – количество выделенного ресурса i -му процессу (i = 1, 2, ... , N ), а величина дохода, получаемого в этом процессе, задается функцией g i = g i (x i ) . Отметим, что в качестве таких функций можно выбирать, например, производственные функции или функции полезности неоклассического типа [2, 3]. С учетом второго и третьего предположения – о независимости процессов и аддитивности их общей эффективности – для суммарного дохода от распределения ограниченного ресурса между указанными N технологическими процессами получим следующее выражение: В силу ограниченности распределяемого ресурса, располагаемое количество которого здесь обозначим через z , для переменных задачи x i , i = 1, 2, ... , N , имеет место следующее ограничение: которое вместе с условиям неотрицательности для этих же переменных задает допустимую область определения для функции (1.1). Таким образом, задача оптимального распределения ограниченного ресурса заключается в том, чтобы определить значения переменных x i , i = 1, 2, ... , N , которые доставляют максимальное значение функции R (x 1, x 2 , ... , x N ) (1.1), удовлетворяя при этом ограничениям (1.2), (1.3). Задача (1.1) - (1.3) относится к классу задач условной оптимизации. Ограничения, задающие в этих задачах допустимые множества, обычно в математической экономике разделяют на две группы, а именно: ограничения вида (1.2) относят к функциональным ограничениям, а ограничения вида (1.3) – к прямым ограничениям [2]. Значения x i , i = 1, 2, ... , N , для которых доставляется максимальное значение функции (1.1) с учетом (1.2), (1.3), называют решением задачи , а соответствующие значения функции (1.1), то есть max R (x 1, x 2 , ... , x N ) , – значением задачи . Если ограничения задачи, заданные в виде нестрогих неравенств, для ее решения обращаются в равенства, то такие ограничения тогда называют эффективными ; иначе эти ограничения являются неэффективными , и в связи с этим их можно в процессе решения задачи отбрасывать. Исходные параметры 1. z – располагаемое количество ресурса, 2. n – мера квантования z 3. 4. 5. Искомые параметры 1. fN (z ) = fN (n Δ ) - искомый максимум функции R 2. xN (z ) – искомое оптимальное количество ресурса МЕТОД РЕШЕНИЯ Переходя к изложению вычислительной схемы решения задачи с применением основного функционального уравнения (1.15), предположим (а это существенно для дальнейшего изложения), что переменные задачи N i x i , ... 2, 1, , = , а также количества распределяемого ресурса как в (1.10), так и в (1.15) могут принимать только дискретные значения с некоторым выбранным шагом Δ >0. То есть имеет место: где n Δ = z . Соответственно, функции (1.10) в рекуррентном соотношении (1.15) будут вычисляться только для указанных в (1.16) значений или, что то же самое, только для таких точек: Указанный подход позволяет избежать процедуры интерполирования при вычислении значений , исходя из вычисленных значений f m −1( y ) в точках y = 0, Δ , 2Δ , ... , z . Действительно, для вычисления под знаком максимума в (1.15) значения − интерполирования не требуется, так как здесь с учетом (1.16) и (1.17) имеет место: . Согласно (1.15), для вычисления вначале следует найти значения для всех значений из (1.16) с помощью соотношений (1.12) или (1.13), которые доставляют множество всех требуемых значений . Затем для всех (1.16) с учетом (1.15) вычисляются значения: где .Процедура максимизации (1.18) заключается в том, чтобы вначале для каждого z ~ последовательно вычислить значения: а затем выбрать из них максимальное, то есть искомое значение ; при этом определяется и соответствующее ему оптимальное значение . Получив множество значений для , можно приступить к вычислению функции исходя из (1.15) при m =3: и т.д. для остальных m = 4, 5, ... , N . Таким образом, в процессе решения уравнения (1.15) для m = 2, 3, ... , N последовательно заполняется таблица, подобная табл. 1.1. Таблица 1.1 Оптимальные доходы в зависимости от количества процессов и выделенного ресурса С заполнением последних двух столбцов указанной таблицы решение задачи фактически получено. Действительно, поскольку функция по построению монотонно неубывающая по , постольку f N (z ) = f N (n Δ ) - искомый максимум функции R (1.1), а x N (z ) – искомое оптимальное количество ресурса, выделенное для N -го процесса. Стало быть, оставшееся количество ресурса, равное z − x N (z ) , должно быть распределено оптимальным образом между остальными процессами. Соответствующее решение, то есть оптимальный доход (1.10) для первых N −1 процессов, находится в столбце с заголовком − , а именно: в строке, отвечающей значению . В этой же строке в столбце с заголовком − находится величина оптимального количества ресурса, который выделяется для (N −1)-го процесса. Таким образом, перемещаясь по столбцам табл. 1.1 справа налево (это т.н. обратный ход [1, 3]), можно последовательно определить все значения , которые доставляют абсолютный максимум функции R (x 1, x 2 , ... , x N ) (1.1) в области (1.2), (1.3) для заданного количества распределяемого ресурса – z , конечно же, с учетом дополнительных ограничений (1.16), (1.17) ОБОСНОВАНИЕ ВЫБОРА ПРОГРАММНЫХ СРЕДСТВ выполнена с помощью программы Microsoft Office Excel, одной из наиболее передовых, мощных и современных сред разработки Windows-приложений и электронных таблиц. Встроенное средство поиска решений позволяет быстро справиться с задачей о распределения ресурсов. ОПИСАНИЕ ИНТЕРФЕЙСА ПОЛЬЗОВАТЕЛ Я Для начала работы с программой следует задать n и z и нажать кнопку определить После этого программа создаст таблицы. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Беллман, Р. Прикладные задачи динамического программирования /Р. Беллман, С. Дрейфус. – М.: Наука, 1965. – 460 с. 2. Ланкастер, К. Математическая экономика / К. Ланкастер. – М.: Советское радио, 1972. – 464 с. 3. Колемаев, В.А. Математическая экономика / В.А. Колемаев. – М.: ЮНИТИ, 1998. – 240 с. 4. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией / Р. Беллман. – М.: Наука, 1964. – 360 с. 5. Первозванский, А.А. Математические модели в управлении производством / А.А. Первозванский. – М.: Наука, 1975. – 616 с. 6. Калихман, И.Л. Динамическое программирование в примерах и задачах / И. Л. Калихман, М. А. Войтенко. – М.: Высшая школа, 1979. – 125 с. ТЕКСТ ПРОГРАММЫ Public Function f_g1(x As Double) As Double f_g1 = 2.5 * Sqr(x) / (Sqr(x) + 1) End Function Public Function f_g2(x As Double) As Double f_g2 = 6 * x * (1 - Exp(-x / 4)) / (x + 4) End Function Public Function f_g3(x As Double) As Double f_g3 = 2 * x / (x + 0.5) End Function Private Sub CommandButton1_Click() Dim i As Integer Dim n As Integer Dim z As Double Dim d As Double Dim m_str As String Range("A1").Select n = Val(TextBox1.Text) z = Val(TextBox2.Text) d = z / n ActiveCell.Cells(1, 2) = n ActiveCell.Cells(2, 2) = z Range("A11").Select For i = 1 To 100 For j = 1 To 10 ActiveCell.Cells(i, j) = "" Next Next For i = 1 To 10 ActiveCell.Cells(0, i) = 0 Next For i = 1 To n ActiveCell.Cells(i, 1) = i * d ActiveCell.Cells(i, 2) = f_g1(i + 0#) ActiveCell.Cells(i, 3) = f_g2(i + 0#) ActiveCell.Cells(i, 4) = f_g3(i + 0#) ActiveCell.Cells(i, 5) = f_g1(i + 0#) Next For i = 1 To n ActiveCell.Cells(i + 0, 7) = GetF2Val(i + 0, d) ActiveCell.Cells(i + 0, 8) = Int(GetF2Pos(i + 0, d) * d) ActiveCell.Cells(i + 0, 9) = GetF3Val(i + 0, d) ActiveCell.Cells(i + 0, 10) = Int(GetF3Pos(i + 0, d) * d) ActiveCell.Cells(i + 0, 6) = Abs(z - ActiveCell.Cells(i + 0, 8) - ActiveCell.Cells(i + 0, 10)) Next ListBox1.Clear For i = 1 To 3 m_str = Str(i) + ": X = " + Str(ActiveCell.Cells(n + 0, 4 + i * 2)) + " F = " + Str(ActiveCell.Cells(n + 0, 3 + i * 2)) ListBox1.AddItem (m_str) Next Range("A10:J10").Select End Sub Private Sub CommandButton2_Click() Hide End Sub Public Function GetF2Val(n As Integer, d As Double) As Double Dim maxs As Double maxs = f_g2(0) + f_g1(n * d) For i = 1 To n If f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) >= maxs Then maxs = f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) End If Next GetF2Val = maxs End Function Public Function GetF2Pos(n As Integer, d As Double) As Integer Dim maxs As Double Dim maxp As Integer Range("A11").Select maxs = f_g2(0) + f_g1(n * d) max_p = 0 For i = 1 To n If f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) >= maxs Then maxs = f_g2(i * d) + f_g1((n - i) * d) maxp = i End If Next GetF2Pos = maxp End Function Public Function GetF3Val(n As Integer, d As Double) As Double Dim maxs As Double maxs = f_g3(0) + f_g2(n * d) For i = 1 To n If f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) >= maxs Then maxs = f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) End If Next GetF3Val = maxs End Function Public Function GetF3Pos(n As Integer, d As Double) As Integer Dim maxs As Double Dim maxp As Integer Range("A11").Select maxs = f_g3(0) + f_g2(n * d) max_p = 0 For i = 1 To n If f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) >= maxs Then maxs = f_g3(i * d) + f_g2((n - i) * d) maxp = i End If Next GetF3Pos = maxp