Нейрокомпьютерные системы Введение. ПОЧЕМУ ИМЕННО ИСКУССТВЕННЫЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ? После двух десятилетий почти полного забвения интерес к искусственным нейронным сетям быстро вырос за последние несколько лет. Специалисты из таких далеких областей, как техническое конструирование, философия, физиология и психология, заинтригованы возможностями, предоставляемыми этой технологией, и ищут приложения им внутри своих дисциплин. Это возрождение интереса было вызвано как теорети­ческими, так и прикладными достижениями. Неожиданно открылись возможности использования вычислений в сфе­рах, до этого относящихся лишь к области человеческого интеллекта, возможности создания машин, способность которых учиться и запоминать удивительным образом напо­минает мыслительные процессы человека, и наполнения новым значительным содержанием критиковавшегося термина «искусственный интеллект». СВОЙСТВА ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ Искусственные нейронные сети индуцированы биоло­гией, так как они состоят из элементов, функциональные возможности которых аналогичны большинству элементарных функций биологического нейрона. Эти элементы затем организуются по способу, который может соответствовать (или не соответствовать) анатомии мозга. Несмотря на такое поверхностное сходство, искусственные нейронные сети демонстрируют удивительное число свойств присущих мозгу. Например, они обучаются на основе опыта, обобща­ют предыдущие прецеденты на новые случаи и извлекают существенные свойства из поступающей информации, содер­жащей излишние данные. Несмотря на такое функциональное сходство, даже самый оптимистичный их защитник не предположит, что в скором будущем искусственные нейронные сети будут дуб­лировать функции человеческого мозга. Реальный «интел­лект», демонстрируемый самыми сложными нейронными сетя ми. Книга имеет практическую направленность. Если главы внимательно изучены, то большую часть сетей ока­зывается возможным реализовать на обычном компьютере общего назначения. Читателю настоятельно рекомендуется так и поступать. Никакой другой метод не позволит до­биться столь же глубокого понимания. Предисловие Что такое искусственные нейронные сети? Что они могут делать? Как они работают? Как их можно использо­вать? Эти и множество подобных вопросов задают специа­листы из разных областей. Найти вразумительный ответ нелегко. Университетских курсов мало, семинары слишком дороги, а соответствующая литература слишком обширна и специализированна. Готовящиеся к печати превосходные книги могут обескуражить начинающих. Часто написанные на техническом жаргоне, многие из них предполагают свобод­ное владение разделами высшей математики, редко исполь­зуемыми в других областях. Эта книга является систематизированным вводным курсом для профессионалов, не специализирующихся в математике. Все важные понятия формулируются сначала обычным языком. Математические выкладки используются, если они делают изложение более ясным. В конце глав помещены сложные выводы и доказательства, а также при­водятся ссылки на другие работы. Эти ссылки составляют обширную библиографию важнейших работ в областях, свя­занных с искусственными нейронными сетями. Такой много­уровневый подход не только предоставляет читателю обзор по искусственным нейронным сетям, но также позволяет заинтересованным лицам серьезнее и глубже изучить пред­мет. Значительные усилия были приложены, чтобы сделать книгу понятной и без чрезмерного упрощения материала. Читателям, пожелавшим продолжить более углубленное теоретическое изучение, не придется переучиваться. При упрощенном изложении даются ссылки на более подробные работы. Книгу не обязательно читать от начала до конца. Каждая глава предполагается замкнутой, поэтому для понимания достаточно лишь знакомства с содержанием гл. 1 и 2. Хотя некоторое повторение материала неизбеж­но, большинству читателей это не будет обременительно. Обучение Искусственные нейронные сети могут менять свое поведение в зависимости от внешней среды. Этот фактор в большей степени, чем любой другой, ответствен за тот интерес, который они вызывают. После предъявления вход­ных сигналов (возможно, вместе с требуемыми выходами) они самонастраиваются, чтобы обеспечивать требуемую реакцию. Было разработано множество обучающих алгорит­мов, каждый со своими сильными и слабыми сторонами. Как будет указано в этой книге позднее, все еще существуют проблемы относительно того, чему сеть может обучиться и как обучение должно проводиться. Обобщение Отклик сети после обучения может быть до некоторой степени нечувствителен к небольшим изменениям входных сигналов. Эта внутренне присущая способность видеть образ сквозь шум и искажения жизненно важна для распоз­навания образов в реальном мире. Она позволяет преодо­леть требование строгой точности, предъявляемое обычным компьютером, и открывает путь к системе, которая может иметь дело с тем несовершенным миром, в котором мы живем. Важно отметить, что искусств енная нейронная сеть делает обобщения автоматически благодаря своей структу­ре, а не с помощью использования «человеческого интел­лекта» в форме специально написанных компьютерных прог­рамм. Введение Абстрагирование Некоторые из искусственных нейронных сетей облада­ют способностью извлекать сущность из входных сигналов. Например, сеть может быть обучена на последовательность искаженных версий буквы А. После соответствующего обу­чения предъявление такого искаженного примера приведет к тому, что сеть породит букву совершенной формы. В некотором смысле она научится порождать то, что никогда не видела. Эта способность извлекать идеальное из несовершен­ных входов ставит интересные философские вопросы. Она напоминает концепцию идеалов, выдвинутую Платоном в его «Республике». Во всяком случае, способность извлекать идеальные прототипы является у людей весьма ценным качеством. Применимость Искусственные нейронные сети не являются панацеей. Они, очевидно, не годятся для выполнения таких задач, как начисление заработной платы. Похоже, однако, что им будет отдаваться предпочтение в большом классе задач распознавания образов, с которыми плохо или вообще не справляются обычные компьютеры. ИСТОРИЧЕСКИЙ АСПЕКТ Людей всегда интересовало их собственное мышление. Это самовопрошение, думание мозга о себе самом являет­ся, возможно, отличительной чертой человека. Имеется множество размышлений о природе мышления, простирающих­ся от духовных до анатомических. Обсуждение этого воп­роса, протекавшее в горячих спорах философов и теологов с физиологами и анатомами, принесло мало пользы, так как сам предмет весьма труден для изучения. Те, кто опирался на самоанализ и размышление, пришли к выводам, не отвечающим уровню строгости физических наук. Экспе­риментаторы же нашли, что мозг труден для наблюдения и ставит в тупик своей организацией. Короче говоря, мощ­ные методы научного исследования, изменившие наш взгляд на физическую реальность, оказались бессильными в пони­мании самого человека. Нейробиологи и нейроанатомы достигли значительного прогресса. Усердно изучая структуру и функции нервной системы человека, они многое поняли в « электропроводке» мозга , но мало узнали о его функционировании. В про­цессе накопления ими знаний выяснилось, что мозг имеет ошеломляющую сложность. Сотни миллиардов нейронов, каждый из которых соединен с сотнями или тысячами Дру­гих, образуют систему, далеко превосходящую наши самые смелые мечты о суперкомпьютерах. Тем не менее, мозг постепенно выдает свои секреты в процессе одного из самых напряженных и честолюбивых исследований в истории человечества. Лучшее понимание функционирования нейрона и карти­ны его связей позволило исследователям создать матема­тические модели для проверки своих теорий. Эксперименты теперь могут проводиться на цифровых компьютерах без привлечения человека или животных, что решает многие практические и морально-этические проблемы. В первых же работах выяснилось, что эти модели не только повторяют функции мозга, но и способны выполнять функции, имеющие свою собственную ценность. Поэтому возникли и остаются в настоящее время две взаимно обогащающие друг друга цели нейронного моделирования: первая - понять функци­онирование нервной системы человека на уровне физиоло­гии и психологии и вторая - создать вычислительные системы (искусственные нейронные сети), выполняющие функции, сходные с функциями мозга. Именно эта послед­няя цель и находится в центре внимания этой книги. Параллельно с прогрессом в нейроанатомии и нейро­физиологии психологами были созданы модели человеческо­го обучения. Одной из таких моделей, оказавшейся наибо­лее плодотворной, была модель Д.Хэбба, который в 1949г. предложил закон обучения, явившийся стартовой точкой для алгоритмов обучения искусственных нейронных сетей. Дополненный сегодня множеством других методов он продемонстрировал ученым того в ремени, как сеть нейронов может обучаться. В пятидесятые и шестидесятые годы группа исследо­вателей, объединив эти биологические и физиологические подходы, создала первые искусственные нейронные сети. Выполненные первоначально как электронные сети, они были позднее перенесены в более гибкую среду компьютер­ного моделирования, сохранившуюся и в настоящее время. Первые успехи вызвали взрыв активности и оптимизма. Минский, Розенблатт, Уидроу и другие разработали сети, состоящие из одного слоя искусственных нейронов. Часто называемые персептронами, они были использованы для такого широкого класса задач, как предсказание погоды, анализ электрокардиограмм и искусственное зрение. В течение некоторого времени казалось, что ключ к интел­лекту найден, и воспроизведение человеческого мозга является лишь вопросом конструирования достаточно боль­шой сети. Но эта иллюзия скоро рассеялась. Сети не могли решать задачи, внешне весьма сходные с теми, которые они успешно решали. С этих необъяснимых неудач начался период интенсивного анализа. Минский, используя точные математические методы, строго доказал ряд теорем, отно­сящихся к функционированию сетей. Его исследования привели к написанию книги [4], в которой он вместе с Пайпертом доказал, что используемые в то время однослойные сети теоретически неспособны решить многие простые задачи, в том числе реализовать функцию «Исключающее ИЛИ». Минский также не был оптими­стичен относительно потенциально возможного здесь прог­ресса: Персептрон показал себя заслуживающим изучения, несмотря на жесткие ограничения (и даже благодаря им). У него много привлекательных свойств: линейность, зани­мательная теорема об обучении, простота модели парал­лельных вычислений. Нет оснований полагать, что эти достоинства сохраняться при переходе к многослойным системам. Тем не менее мы считаем важной задачей для исследования подкрепление (или опровержение) нашего интуитивного убеждения, что такой переход бесплоден. Возможно, будет открыта какая-то мощная теорема о сходимости или найдена глубокая причина неудач дать интересную «теорему обучения» для многослойных машин ([ 4], С.231-232). Блеск и строгость аргументации Минского, а также его престиж породили огромное доверие к книге - ее выводы были неуязвимы. Разочарованные исследователи оставили поле исследований ради более обещающих облас­тей, а правительства перераспределили свои субсидии, и искусственные нейронные сети были забыты почти на два десятилетия. Тем не менее, несколько наиболее настойчивых уче­ных, таких как Кохонен, Гроссберг, Андерсон продолжили исследования. Наряду с плохим финансированием и недос­таточной оценкой ряд исследователей испытывал затрудне­ния с публикациями. Поэтому исследования, опубликован­ные в семидесятые и в начале восьмидесятых годов, разбро­саны в массе различных журналов, некоторые из которых малоизвестны. Постепенно появился теоретический фунда­мент, на основе которого сегодня конструируются наибо­лее мощные многослойные сети. Оценка Минского оказалась излишне пессимистичной, многие из поставленных в его книге задач решаются сейчас сетями с помощью стандарт­ных процедур. За последние несколько лет теория стала применять­ся в прикладных областях, и появились новые корпорации, занимающиеся коммерческим использованием этой техноло­гии. Нарастание научной активности носило взрывной характер. В 1987 г. было проведено четыре крупных сове­щания по искусственным нейронным сетям и опубликовано свыше 500 научных сообщений - феноменальная скорость роста. Урок, который можно извлечь из этой истории, выра­жается законом Кларка, выдвинутым писателем и ученым Артуром Кларком. В нем утверждается, что, если крупный уважаемый ученый говорит, что нечто может быть выполнено, то он (или она) почти всегда прав. Если же ученый говорит, что это не может быть выполнено, то он (или она) почти всегда не прав. История науки является лето­писью ошибок и частичных истин. То, что сегодня не подвергается сомнениям, завтра отвергается. Некритичес­кое восприятие « фактов» независимо от их источника может парализовать научный поиск. С одной стороны, блестящая научная работа Минского задержала развитие искусственных нейронных сетей. Нет сомнений, однако, в том, что область пострадала вследствие необоснованного оптимизма и отсутствия достаточной теоретической базы. И возможно, что шок, вызванный книгой «Персептроны», обеспечил необходимый для созревания этой научной обла­сти период. ИСКУССТВЕННЫЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ СЕГОДНЯ Имеется много впечатляющих демонстраций возможнос­тей искусственных нейронных сетей: сеть научили превра­щать текст в фонетическое представление, которое затем с помощью уже иных методов превращалось в речь [7]; другая сеть может распознавать рукописные буквы [1]; сконструирована система сжатия изображений, основанная на нейронной сети [2]. Все они используют сеть обратно­го распространения - наиболее успешный, по-видимому, из современных алгоритмов. Обратное распространение, неза­висимо предложенное в трех различных работах [8, 5, 6,], является систематическим методом для обучения многослойных сетей, и тем самым преодолевает ограниче­ния, указанные Минским. Как подчеркивается в следующих главах, обратное распространение не свободно от проблем. Прежде всего, нет гарантии, что сеть может быть обучена за конечное время. Много усилий, израсходованных на обучение, про­падает напрасно после затрат большого количества машин­ного времени. Когда это происходит, попытка обучения повторяется - без всякой уверенности, что результат окажется лучше. Нет также уверенности, что сеть обучи т­ся возможным наилучшим образом. Алгоритм обучения может попасть в «ловушку» так называемого локального минимума и будет получено худшее решение. Разработано много других сетевых алгоритмов обуче­ния, имеющих свои специфические преимущества. Некоторые из них обсуждаются в последующих главах. Следует подче­ркнуть, что никакая из сегодняшних сетей не является панацеей, все они страдают от ограничений в своих воз­можностях обучаться и вспоминать. Мы имеем дело с областью, продемонстрировавшей свою работоспособность, имеющей уникальные потенциаль­ные возможности, много ограничений и множество открытых вопросов. Такая ситуация настраивает на умеренный опти­мизм. Авторы склонны публиковать свои успехи, но не неудачи, создавая тем самым впечатление, которое может оказаться нереалистичным. Те, кто ищет капитал, чтобы рискнуть и основать новые фирмы, должны представить убедительный проект последующего осуществления и прибы­ли. Существует, следовательно, опасность, что искусст­венные нейронные сети начнут продавать раньше, чем придет их время, обещая функциональные возможности, которых пока невозможно достигнуть. Если это произой­дет, то область в целом может пострадать от потери кредита доверия и вернется к застойному периоду семиде­сятых годов. Для улучшения существующих сетей требуется много основательной работы. Должны быть развиты новые технологии, улучшены существующие методы и расширены теоретические основы, прежде чем данная область сможет полностью реализовать свои потенциальные возможности. ПЕРСПЕКТИВЫ НА БУДУЩЕЕ Искусственные нейронные сети предложены для задач, простирающихся от управления боем до присмотра за ребе­нком, Потенциальными приложениями являются те, где человеческий интеллект малоэффективен, а обычные вычис­ления трудоемки или неадекватны. Этот класс приложений, во всяком случае, не меньше класса, обслуживаемого обыч­ными вычислениями, и можно предполагать, что искусстве­нные нейронные сети займут свое место наряду с обычными вычислениями в качестве дополнения такого же объема и важности. Искусственные нейронные сети и экспертные системы В последние годы над искусственными нейронными сетями доминировали логические и символьно-операционные дисциплины. Например, широко пропагандировались экспер­тные системы, у которых имеется много заметных успехов, так же, как и неудач. Кое-кто говорит, что искусствен­ные нейронные сети заменят собой современный искусстве­нный интеллект, но многое свидетельствует о том, что они будут существовать, объединяясь в системах, где каждый подход используется для решения тех задач, с которыми он лучше справляется. Эта точка зрения подкрепляется тем, как люди функ­ционируют в нашем мире. Распознавание образов отвечает за активность, требующую быстрой реакции. Так как дейс­твия совершаются быстро и бессознательно, то этот спо­соб функционирования важен для выживания во враждебном окружении. Вообразите только, что было бы, если бы наши предки вынуждены были обдумывать свою реакцию на прыг­нувшего хищника? Когда наша система распознавания образов не в состоянии дать адекватную интерпретацию, вопрос переда­ется в высшие отделы мозга. Они могут запросить добаво­чную информацию и займут больше времени, но качество полученных в результате решений может быть выше. Можно представить себе искусственную систему, подражающую такому разделению труда. Искусственная нейронная сеть реагировала бы в большинстве случаев подходящим образом на внешнюю среду. Так как такие сети способны указывать доверительный уровень каждого реше­ния, то сеть «знает, что она не знает» и передает дан­ный случай для разрешения экспертной системе. Решения, принимаемые на этом более высоком уровне, были бы конк­ретными и логичными, но они могут нуждаться в сборе дополнительных фактов для получения окончательного заключения. Комбинация двух систем была бы более мощ ной, чем каждая из систем в отдельности, следуя при этом высокоэффективной модели, даваемой биологической эволюцией. Соображения надежности Прежде чем искусственные нейронные сети можно будет использовать там, где поставлены на карту челове­ческая жизнь или ценное имущество, должны быть решены вопросы, относящиеся к их надежности. Подобно людям, структуру мозга которых они копиру­ют, искусственные нейронные сети сохраняют в определен­ной мере непредсказуемость. Единственный способ точно знать выход состоит в испытании всех возможных входных сигналов. В большой сети такая полная проверка практи­чески неосуществима и должны использоваться статистиче­ские методы для оценки функционирования. В некоторых случаях это недопустимо. Например, что является допус­тимым уровнем ошибок для сети, управляющей системой космической обороны? Большинство людей скажет, любая ошибка недопустима, так как ведет к огромному числу жертв и разрушений. Это отношение не меняется от того обстоятельства, что человек в подобной ситуации также может допускать ошибки. Проблема возникает из-за допущения полной безоши­бочности компьютеров. Так как искусственные нейронные сети иногда будут совершать ошибки даже при правильном функционировании, то, как ощущается многими, это ведет к ненадежности - качеству, которое мы считаем недопус­тимым для наших машин. Сходная трудность заключается в неспособности традиционных искусственных нейронных сетей "объяснить", как они решают задачу. Внутреннее представление, полу­ чающееся в результате обучения, часто настолько сложно, что его невозможно проанализировать, за исключением самых простых случаев. Это напоминает нашу неспособ­ность объяснить, как мы узнаем человека, несмотря на различие в расстоянии, угле, освещении и на прошедшие годы. Экспертная система может проследить процесс своих рассуждений в обратном порядке, так что человек может проверить ее на разумность. Сообщалось о встраивании этой способности в искусственные нейронные сети [3], что может существенно повлиять на приемлемость этих систем. ВЫВОДЫ Искусственные нейронные сет и являются важным расши­рением понятия вычисления. Они обещают создание автома­тов, выполняющих функции, бывшие ранее исключительной прерогативой человека. Машины могут выполнять скучные, монотонные и опасные задания, и с развитием технологии возникнут совершенно новые приложения. Теория искусственных нейронных сетей развивается стремительно, но в настоящее время она недостаточна, чтобы быть опорой для наиболее оптимистических проек­тов. В ретроспективе видно, что теория развивалась быстрее, чем предсказывали пессимисты, но медленнее, чем надеялись оптимисты, - типичная ситуация. Сегодняш­ний взрыв интереса привлек к нейронным сетям тысячи исследователей. Резонно ожидать быстрого роста нашего понимания искусственных нейронных сетей, ведущего к более совершенным сетевым парадигмам и множеству прик­ладных возможностей. Глава I Основы искусственных нейронных сетей Искусственные нейронные сети чрезвычайно разнооб­разны по своим конфигурациям. Несмотря на такое разно­образие, сетевые парадигмы имеют много общего. В этой главе подобные вопросы затрагиваются для того, чтобы читатель был знаком с ними к тому моменту, когда позд­нее они снова встретятся в книге. Используемые здесь обозначения и графические пред­ставления были выбраны как наиболее широко используемые в настоящее время (опубликованных стандартов не имеет­ся), они сохраняются на протяжении всей книги. БИОЛОГИЧЕСКИЙ ПРОТОТИП Развитие искусственных нейронных сетей вдохновля­ется биологией. То есть, рассматривая сетевые конфигура­ции и алгоритмы, исследователи мыслят их в терминах организации мозговой деятельности. Но на этом аналогия может и закончиться. Наши знания о работе мозга столь ограничены, что мало бы нашлось руководящих ориентиров для тех, кто стал бы ему подражать. Поэтому разработчи­кам сетей приходится выходить за пределы современных биологических знаний в поисках структур, способных выполнять полезные функции. Во многих случаях это при­водит к необходимости отказа от биологического правдо­подобия, мозг становится просто метафорой, и создаются сети, невозможные в живой материи или требующие неправ­доподобно больших допущений об анатомии и функциониро­вании мозга. Несмотря на то, что связь с биологией слаба и зача­стую несущественна, искусственные нейронные сети про­должают сравниваться с мозгом. Их функционирование часто напоминает человеческое познание, поэтому трудно избежать этой аналогии. К сожалению, такие сравнения неплодотворны и создают неоправданные ожидания, неизбе­жно ведущие к разочарованию. Исследовательский энтузи­азм, основанный на ложных надеждах, может испариться, столкнувшись с суровой действительностью, как это уже однажды было в шестидесятые годы, и многообещающая область снова придет в упадок, если не будет соблюдать­ся необходимая сдержанность. Несмотря на сделанные предупреждения, полезно все же знать кое-что о нервной системе млекопитающих, так как она успешно решает задачи, к выполнению которых лишь стремятся искусственные системы. Последующее обсу­ждение весьма кратко. Нервная система человека, построенная из элемен­тов, называемых нейронами, имеет ошеломляющую слож­ность. Около 10 нейронов участвуют в примерно 1 0 передающих связях, имеющих длину метр и более. Каждый нейрон обла дает многими качествами, общими с другими элементами тела, но его уникальной способностью являет­ся прием, обработка и передача электрохимических сигна­лов по нервным путям, которые образуют коммуникационную систему мозга. Рис. 1.1. Биологический нейрон. На рис. 1.1 показана структура пары типичных био­логических нейронов. Дендриты идут от тела нервной клетки к другим нейронам, где они принимают сигналы в точках соединения, называемых синапсами. Принятые сина­псом входные сигналы подводятся к телу нейрона. Здесь они суммируются, причем одни входы стремятся возбудить нейрон, другие - воспрепятствовать его возбуждению. Когда суммарное возбуждение в теле нейрона превышает некоторый порог, нейрон возбуждается, посылая по аксону сигнал другим нейронам. У этой основной функциональной схемы много усложнений и исключений, тем не менее, боль­шинство искусственных нейронных сетей моделируют лишь эти простые свойства. ИСКУССТВЕННЫЙ НЕЙРОН Искусственный нейрон имитирует в первом приближе­нии свойства биологического нейрона. На вход искусст­венного нейрона поступает некоторое множество сигналов, каждый из которых является выходом другого нейрона. Каждый вход умножается на соответствующий вес, анало­гичный синаптической силе, и все произведения суммиру­ются, определяя уровень активации нейрона. На рис. 1.2 представлена модель, реализующая эту идею. Хотя сетевые парадигмы весьма разнообразны, в основе почти всех их лежит эта конфигурация. Здесь множество входных сигна­лов, обозначенных х 1 , х2 , ... , х n , поступает на искус­ственный нейрон. Эти входные сигналы, в совокупности обозначаемые вектором X, соответствуют сигналам, п рихо­дящим в синапсы биологического нейрона. Каждый сигнал умножается на соответствующий вес w1 , v2 , ..., и n , и поступает на суммирующий блок, обозначенный S . Каждый вес соответствует «силе» одной биологической синапти­ческой связи. (Множество весов в совокупности обознача­ется вектором W.) Суммирующий блок, соответствующий телу биологического элемента, складывает взвешенные входы алгебраически, создавая выход, который мы будем называть NET. В векторных обозначениях это может быть компактно записано следующим образом: Активационные функции Сигнал NET далее, как правило, преобразуется активационной функцией F и дает выходной нейронный сигнал OUT. Активационная функ ция может быть обычной линейной функцией OUT = K(NET). где К - постоянная, пороговой функцией OUT = 1, если NET > Т, OUT = 0 в остальных случаях, где Т - некоторая постоянная пороговая величина, или же функцией, более точно моделирующей нелинейную передато­чную характеристику биологического нейрона и представ­ляющей нейронной сети большие возможности. На рис. 1.3 блок, обозначенный F, принимает сигнал NET и выдает сигнал OUT. Если блок F сужает диапазон изменения величины NET так, что при любых значениях NET значения OUT принадлежат некоторому конечному интерва­лу, то F называется с жимающей функцией. В качестве «сжимающей» функции часто используется логистическая или «сигмоидальная» (S-образная) функция, показанная на рис. 1.4а. Эта функция математически выражается как F(x) = 1/(1 + е -x ). Таким образом, OUT = 1/(1 + е -NET ). По аналогии с электронными системами активационную функцию можно считать нелинейной усилительной характеристикой искусственного нейрона. Коэффициент усиления вычисляется как отношение приращения величины OUT к вызвавшему его небольшому приращению величины NET. Он выражается наклоном кривой при определенном уровне возбуждения и изменяется от малых значений при больших отрицательных возбуждениях (кривая почти горизонтальна) до максимального значения при нулевом возбуждении и снова уменьшается, когда возбуждение становится большим положительным. Гроссберг (1973) обнаружил, что подобная нелинейная характеристика решает поставленную им дилем­му шумового насыщения. Каким образом одна и та же сеть может обрабатывать как слабые, так и сильные сигналы? Слабые сигналы нуждаются в большом сетевом усилении, чтобы дать пригодный к использованию выходной сигнал' Однако усилительные каскады с большими коэффициентами усиления могут привести к насыщению выхода шумами уси­лителей (случайными флуктуациями), которые присутствуют в любой физически реализованной сети. Сильные входные сигналы в свою очередь также будут приводить к насыще­нию усилительных каскадов, исключая возможность полез­ного использования выхода. Центральная область логисти­ческой функции, имеющая большой коэффициент усиления, решает проблему обработки слабых сигналов, в то время как области с падающим усилением на положительном и отрицательном концах подходят для больших возбуждений. Таким образом, нейрон функционирует с большим усилением в широком диапазоне уровня входного сигнала. OU T= 1 / f1+e -NET )= f(NET) Другой широко используемой активационной функцией является гиперболический тангенс. По форме она сходна с логистической функцией и часто используется биологами в качестве математической модели активации нервной клет­ки. В качестве активационной функции искусственной нейронной сети она записывается следующим образом: OUT = th( х). Подобно логистической функции гиперболический тангенс является S-образной функцией, но он симметричен относи­тельно начала координат, и в точке NET = 0 значение выходного сигнала OUT равно нулю (см. рис. 1.46). В отличие от логистической функции гиперболический тан­генс принимает значения различных знаков, что оказыва­ется выгодным для ряда сетей (см. гл. 3). Рассмотренная простая модель искусственного нейро­на игнорирует многие свойства своего биологического двойника. Например, она не принимает во внимание задер­жки во времени, которые воздействуют на динамику систе­мы. Входные сигналы сразу же порождают выходной сигнал. И, что более важно, она не учитывает воздействий функ­ции частотной модуляции или синхронизирующей функции биологического нейрона, которые ряд исследователей считают решающими. Рис. 1.46. Функция гипербол ического тангенса. Несмотря на эти ограничения, сети, построенные из этих нейронов, обнаруживают свойства, сильно напомина­ющие биологическую систему. Только время и исследования смогут ответить на вопрос, являются ли подобные совпа­дения случайными или следствием того, что в модели, верно, схвачены важнейшие черты биологического нейрона. ОДНОСЛОВ НЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ Рис. 1 .5. Однослойная нейронная сеть. Хотя один нейрон и способен выполнять простейшие процедуры распознавания, сила нейронных вычислений проистекает от соединений нейронов в сетях. Простейшая сеть состоит из группы нейронов, образующих слой, как показано в правой части рис. 1.5. Отметим, что вершины-круги слева служат лишь для распределения входных сиг­налов. Они не выполняют каких- либо вычислений, и по­этому не будут считаться слоем. По этой причине они обозначены кругами, чтобы отличать их от вычисляющих нейронов, обозначенных квадратами. Каждый элемент из множества входов Х отдельным весом соединен с каждым искусственным нейроном. А каждый нейрон выдает взвешен­ную сумму входов в сеть. В искусственных и биологичес­ких сетях многие соединения могут отсутствовать, все соединения показаны в целях общности. Могут иметь место также соединения между выходами и входами элементов в слое. Такие конфигурации рассматриваются в гл. 6. Удобно считать веса элементами матрицы W. Матрица имеет т строк и п столбцов, где т. - число входов, а п - число нейронов. Например, w3,2 - это вес, связывающий третий вход со вторым нейроном. Таким образом, вычисле­ние выходного вектора N, компонентами которого являются выходы OUT нейронов, сводится к матричному умножению N = XW, где N и Х- ве кторы-строки. МНОГОСЛОЙНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ НЕЙРОННЫЕ СЕТИ . Более крупные и сложные нейронные сети обладают, как правило, и большими вычислительными возможностями. Хотя созданы сети всех конфигураций, какие только можно себе представить, послойная организация нейронов копи­рует слоистые структуры определенных отделов мозга. Оказалось, что такие многослойные сети обладают большими возможностями, чем однослойные (см. гл. 2), и в послед­ние годы были разработаны алгоритмы для их обучения. Многослойные сети могут образовываться каскадами слоев. Выход одного слоя является входом для последу­ющего слоя. Подобная сеть показана на рис. 1.6 и снова изображена со всеми соединениями. Нелинейная активационная функция Многослойные сети могут привести к увеличению вычислительной мощности по сравнению с однослойной сетью лишь в том случае, если активационная функция между слоями будет нелинейной. Вычисление выхода слоя заключается в умножении входного вектора на первую весовую матрицу с последующим умножением (если отсутст­вует нелинейная активационная функция) результирующего вектора на вторую весовую матрицу. Так как умножение матриц ассоциативно, то X(W1 , W2 ). Это показывает, что двухслойная линейная сеть эквивалентна одному слою с весовой матрицей, равной произведению двух весовых матриц. Следовательно, любая многослойная линейная сеть может быть заменена эквива­лентной однослойной сетью. В гл. 2 показано, что одно­слойные сети весьма ограниченны по своим вычислительным возможностям. Таким образом, для расширения возможнос­тей сетей по сравнению с однослойной сетью необходима нелинейная однослойная функция. Сети с обратными связями. У сетей, рассмотренных до сих пор, не было обратных связей, т.е. соединений, идущих от выходов некото рого слоя к входам этого же слоя или предшествующих слоев. Этот специальный класс сетей, называемых сетями без обратных связей или сетями прямого распространения, представляет интерес и широко используется. Сети более общего вида, имеющие соединения от выходов к входам, называются сетями с обратными связями. У сетей без обратных связей нет памяти, их выход полностью опреде­ляется текущими входами и значениями весов. В некоторых конфигурациях сетей с обратными связями предыдущие значения выходов возвращаются на входы; выход, следова­тельно, определяется как текущим входом, так и предыду­щими выходами. По этой причине сети с обратными связями могут обладать свойствами, сходными с кратковременной человеческой памятью, сетевые выходы частично зависят от предыдущих входов. ТЕРМИНОЛОГИЯ, ОБОЗНАЧЕНИЯ И СХЕМАТИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ. К сожалению, для искусственных нейронных сетей еще нет опубликованных стандартов и устоявшихся терминов, обозначений и графических представлений. Порой идентич­ные сетевые парадигмы, представленные различными авто­рами, покажутся далекими друг от друга. В этой книге выбраны наиболее широко используемые термины. Терминология. Многие авторы избегают термина « нейрон» для обозначения искусственного нейрона, считая его слишком грубой моделью своего биологического прототипа. В этой книге термины «нейрон», «клетка», «элемент» используют­ся взаимозаменяемо для обозначения «искусственного нейрона» как краткие и саморазъясняющие. Дифференциальные уравнения или разностные уравнения. Алгоритмы обучения, как и вообще искусственные нейронные сети, могут быть представлены как в дифферен­циальной, так и в конечно-разностной форме. При исполь зовании дифференциальных уравнений предполагают, что процессы непрерывны и осуществляются подобно большой аналоговой сети. Для биологической системы, рассматри­ваемой на микроскопическом уровне, это не так. Активационный уровень биологического нейрона определяется средней скоростью, с которой он посылает дискретные потенциальные импульсы по своему аксону. Средняя ско­рость обычно рассматривается как аналоговая величина, но важно не забывать о действительном положении вещей. Если моделировать искусственную нейронную сеть на аналоговом компьютере, то весьма желательно использо­вать представление с помощью дифференциальных уравне­ний. Однако сегодня большинство работ выполняется на цифровых компьютерах, что заставляет отдавать предпоч­тение конечно-разностной форме как наиболее легко про­граммируемой. По этой причине на протяжении всей книги используется конечно-разностное представление. Графическое представление Как видно из публикаций, нет общепринятого способа подсчета числа слоев в сети. Многослойная сеть состоит, как показано на рис. 1.6, из чередующихся множеств нейронов и весов. Ранее в связи с рис. 1.5 уже говори­лось, что входной слой не выполняет суммирования. Эти нейроны служат лишь в качестве разветвлений для первого множества весов и не влияют на вычислительные возмож­ности сети. По этой причине первый слой не принимается во внимание при подсчете слоев, и сеть, подобная изо­браженной на рис. 1.6, считается двухслойной, так как только два слоя выполняют вычисления. Далее, веса слоя считаются связанными со следующими за ними нейронами. Следовательно, слой состоит из множества весов со сле­дующими за ними нейронами, суммирующими взвешенные сигналы. Обучение искусственных нейронных сетей. Среди всех интересных свойств искусственных ней­ронных сетей ни одно не захватывает так воображения, как их способность к обучению. Их обучение до такой степени напоминает процесс интеллектуального развития человеческой личности, что может показаться, что достиг­нуто глубокое понимание этого процесса. Но, проявляя осторожность, следует сдерживать эйфорию. Возможности обучения искусственных нейронных сетей ограниченны, и нужно решить много сложных задач, чтобы определить, на правильном ли пути мы находимся. Тем не менее, уже полу­чены убедительные достижения, такие как «говорящая сеть» Сейновского (см. гл. 3), и возникает много других практических применений. Цель обучения. Сеть обучается, чтобы для некоторого множества входов давать желаемое (или, по крайней мере, сообраз­ное с ним) множество выходов. Каждое такое входное (или выходное) множество рассматривается как вектор. Обуче­ние осуществляется путем последовательного предъявления входных векторов с одновременной подстройкой весов в соответствии с определенной процедурой. В процессе обучения веса сети постепенно становятся такими, чтобы каждый входной вектор вырабатывал выходной вектор. Обучение с учителем. Различают алгоритмы обучения с учителем и без учителя. Обучение с учителем предполагает, что для каждого входного вектора существует целевой вектор, представляющий собой требуемый выход. Вместе они назы­ваются обучающей парой. Обычно сеть обучается на неко­тором числе таких обучающих пар. Предъявляется выходной вектор, вычисляется выход сети и сравнивается с соот­ветствующим целевым вектором, разность (ошибка) с по­мощью обратной связи подается в сеть и веса изменяются в соответствии с алгоритмом, стремящимся минимизировать ошибку. Векторы обучающего множества предъявляются последовательно, вычисляются ошибки и веса подстраива­ются для каждого вектора до тех пор, пока ошибка по всему обучающему массиву не достигнет приемлемо низкого уровня. Обучение без учителя. Несмотря на многочисленные прикладные достижения, обучение с учителем критиковалось за свою биологическую неправдоподобность. Трудно вообразить обучающий меха­низм в мозге, который бы сравнивал желаемые и действи­тельные значения выходов, выполняя коррекцию с помощью обратной связи. Если допустить подобный механизм в мозге, то откуда тогда возникают желаемые выходы? Обу­чение без учителя является намного более правдоподобной моделью обучения в биологической системе. Развитая Кохоненом [3] и многими другими, она не нуждается в целевом векторе для выходов и, следовательно, не требу­ ет сравнения с предопределенными идеальными ответами. Обучающее множество состоит лишь из входных векторов. Обучающий алгоритм подстраивает веса сети так, чтобы получались согласованные выходные векторы, т.е. чтобы предъявление достаточно близких входных векторов давало одинаковые выходы. Процесс обучения, следовательно, выделяет статистические свойства обучающего множества и группирует сходные векторы в классы. Предъявление на вход вектора из данного класса даст определенный выход­ной вектор, но до обучения невозможно предсказать, какой выход будет производиться данным классом входных векторов. Следовательно, выходы подобной сети должны трансформироваться в некоторую понятную форму, обуслов­ленную процессом обучения. Это не является серьезной проблемой. Обычно не сложно идентифицировать связь между входом и выходом, установленную сетью. Алгоритмы обучения. Большинство современных алгоритмов обучения вырос­ло из концепций Хэбба [2]. Им предложена модель обуче­ния без учителя, в которой синаптическая сила (вес) возрастает, если активированы оба нейрона, источник и приемник. Таким образом, часто используемые пути в сети усиливаются, и феномен привычки и обучения через повто­рение получает объяснение. В искусственной нейронной сети, использующей обу­чение по Хэббу, наращивание весов определяется произве­дением уровней возбуждения передающего и принимающего нейронов. Это можно записать как W ij ( п + 1) = W ij ( n) + a OUT i OUT j где W ij (n) - значение веса от нейрона i к нейрону j до подстройки, W ij (п + 1) - значение веса от нейрона i к нейрону j после подстройки, a. - коэффициент скорости обучения, OUT i - выход нейрона i и вход нейрона j, OUTj - выход нейрона j. Сети, использующие обучение по Хэббу, конструктив­но развивались, однако за последние 20 лет были развиты более эффективные алгоритмы обучения. В частности, в работах [4-6] и многих других были развиты алгоритмы обучения с учителем, приводящие к сетям с более широким диапазоном характеристик обучающих входных образов и большими скоростями обучения, чем использующие простое обучение по Хэббу. В настоящее время используется огромное разнообра­зие обучающих алгоритмов. Потребовалась бы значительно большая по объему книга, чем эта, для рассмотрения этого предмета полностью. Чтобы рассмотреть этот пред­мет систематически, если и не исчерпывающе, в каждой из последующих глав подробно описаны алгоритмы обучения для рассматриваемой в главе парадигмы. В дополнение в приложении Б представлен общий обзор, в определенной мере более обширный, хотя и не очень глубокий. В нем дан исторический контекст алгоритмов обучения, их общая таксономия, ряд преимущ еств и ограничений. В силу необ­ходимости это приведет к повторению части материала, оправданием ему служит расширение взгляда на предмет. ПРОЛОГ В последующих главах представлены и проанализиро­ваны некоторые наиболее важные сетевые конфигурации и их алгоритмы обучения. Представленные парадигмы дают представление об искусстве конструирования сетей в целом, его прошлом и настоящем. Многие другие парадигмы при тщательном рассмотрении оказываются лишь их модифи­кациями. Сегодняшнее развитие нейронных сетей скорее эволюционно, чем революционно. Поэтому понимание представленных в данной книге парадигм позволит следить за прогрессом в этой быстро развивающейся области. Упор сделан на интуитивные и алгоритмические, а не математические аспекты. Книга адресована скорее пользо­вателю искусственных нейронных сетей, чем теоретику. Сообщается, следовательно, достаточно информации, чтобы дать читателю возможность понимать основные идеи. Те, кто знаком с программированием, смогут реализовать любую из этих сетей. Сложные математические выкладки опущены, если только они не имеют прямого отношения к реализации сети. Для заинтересованного читателя приво­дятся ссылки на более строгие и полные работы. Глава 2 Персептроны ПЕРСЕПТРОНЫ И ЗАРОЖДЕНИЕ ИСКУССТВЕННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ В качестве научного предмета искусственные нейрон­ные сети впервые заявили о себе в 40-е годы. Стремясь воспроизвести функции человеческого мозга, исследовате­ли создали простые аппаратные (а позже программные) модели биологического нейрона и системы его соединений. Когда нейрофизиологи достигли более глубокого понимания нервной системы человека, эти ранние попытки стали восприниматься как весьма грубые аппроксимации. Тем не менее, на этом пути были достигнуты впечатляющие резуль­таты, стимулировавшие дальнейшие исследования, привед­шие к созданию более изощренных сетей. Первое систематическое изучение искусственных нейронных сетей было предпринято Маккалокком и Питтсом в 1943 г. [1]. Позднее в работе [3] они исследовали сетевые парадигмы для распознавания изображений, под­вергаемых сдвигам и поворотам. Простая нейронная мо­дель, показанная на рис. 2.1, использовалась в большей части их работы. Элемент S умножает каждый вход х на вес w и суммирует взвешенные входы. Если эта сумма больше заданного порогового значения, выход равен еди­нице, в противном случае - нулю. Эти системы (и множес­тво им подобных) получили название персептронов. Они состоят из одного слоя искусственных нейронов, соеди­ненных с помощью весовых коэффициентов с множеством входов (см. рис. 2.2), хотя в принципе описываются и более сложные системы. В 60-е годы персептроны вызвали большой интерес и оптимизм. Розенблатт [4] доказал замечательную теорему об обучении персептронов, объясняемую ниже. Уидроу [5-8] дал ряд убедительных демонстраций систем персептронного типа, и исследователи во всем мире стремились исследовать возможности этих систем. Первоначальная эйфория сменилась разочарованием, когда оказалось, что персептроны не способны обучиться решению ряда простых задач. Минский [2] строго проанализировал эту проблему и показал, что имеются жесткие ограничения на то, что могут выполнять однослойные персептроны, и, следова­тельно, на то, чему они могут обучаться. Так как в то время методы обучения многослойных сетей не были извес­тны, исследователи перешли в более многообещающие обла­сти, и исследования в области нейронных сетей пришли в упадок. Недавнее открытие методов обучения многослойных сетей в большей степени, чем какой-либо иной фактор, повлияло на возрождение интереса и исследовательских усилий. Работа Минского, возможно, и охладила пыл энтузи­астов персептрона, но обеспечила время для необходимой консолидации и развития лежащей в основе теории. Важно отметить, что анализ Минского не был опровергнут. Он остается важным исследованием и должен изучаться, чтобы ошибки 60-х годов не повторились. Несмотря на свои ограничения, персептроны широко изучались (хотя не слишком широко использовались). Тео­рия персептронов является основой для многих других типов искусственных нейронных сетей, и персептроны иллюстрируют важные принципы. В силу этих причин они являются логической исходной точкой для изучения искус­ственных нейронных сетей. ПЕРСЕПТРОННАЯ ПРЕДСТАВЛЯЕМОСТЬ Доказательство теоремы обучения персептрона [4] показало, что персептрон способен научиться всему, что он способен представлять. Важно при этом уметь разли­чать представляемость и обучаемость. Понятие представляемости относится к способности персептрона (или дру­гой сети) моделировать определенную функцию. Обучае­мость же требует наличия систематической процедуры настройки весов сети для реализации этой функции. Для иллюстрации проблемы представляемости допус­тим, что у нас есть множество карт, помеченных цифрами от 0 до 9. Допустим также, что мы обладаем гипотетичес­кой машиной, способной отличать карты с нечетным номе­ром от карт с четным номером и зажигающей индикатор на своей панели при предъявлении карты с нечетным номером (см. рис. 2.3). Представима ли такая машина персептроном? То есть, может ли быть сконструирован персептрон и настроены его веса (неважно каким образом) так, чтобы он обладал такой же разделяющей способностью? Если это так, то говорят, что персептрон способен представлять желаемую машину. Мы увидим, что возможности представле­ния однослойными персептронами весьма ограниченны. Имеется много простых машин, которые не могут быть представлены персептроном независимо от того, как на­страиваются его веса. Проблема функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Один из самых пессимистических результатов Минско­го показывает, что однослойный персептрон не может воспроизвести такую простую функцию, как ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Это - функция от двух аргументов, каждый из кото­рых может быть нулем или единицей. Она принимает значе­ние единицы, когда один из аргументов равен единице (но не оба). Проблему можно проиллюстрировать с помощью однослойной однонейронной системы с двумя входами, показанной на рис. 2.4. Обозначим один вход через х, а другой через у, тогда все их возможные комбинации будут состоять из четырех точек на плоскости х - у, как пока­зано на рис. 2.5. Например, точка x = 0 и у=0 обозна­чена на рисунке как точка А . Табл. 2.1 показывает тре­буемую связь между входами и выходом, где входные ком­бинации, которые должны давать нулевой выход, помечены А и А, единичный выход - В и В. В сети на рис. 2.4 функция F является обычным порогом, так что OUT принимает значение ноль, когда NET меньше 0,5, и единица в случае, когда NET больше или равно 0,5. Нейрон выполняет следующее вычисление: xw 1 + yw 2 = 0,5 . Никакая комбинация значений двух весов не может дать соотношения между входом и выходом, задаваемого табл. 2.1. Чтобы понять это ограничение, зафиксируем NET на величине порога 0,5. Сеть в этом случае описыва­ется уравнением (2.2). Это уравнение линейно по х и у, т.е. все значения по х и у, удовлетворяющие этому урав нению, будут лежать на некоторой прямой в плоскости x-y. Таблица 2.1. Таблица истинности для функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ Точки Значения X Значения Y Требуемый выход A0 0 0 0 B0 1 0 1 B1 0 1 1 A1 1 1 0 Любые входные значения для х и у на этой линии будут давать пороговое значение 0,5 для NET. Входные значения с одной стороны прямой обеспечат значения NET больше порога, следовательно, OUT = 1. Входные значения по другую сторону прямой обеспечат значения NET меньше порогового значения, делая OUT равным 0. Изменения значений w 1 , w2 и порога будут менять наклон и положение прямой. Для того чтобы сеть реализовала функцию ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, заданную табл. 2.1, нужно расположить прямую так, чтобы точки А были с одной стороны прямой, а точки В - с другой. Попытавшись нарисовать такую прямую на рис. 2.5, убеждаемся, что это невозможно. Это означает, что какие бы значения ни приписывались весам и порогу, сеть неспособна воспроизвести соотношение между входом и выходом, требуемое для представления функции ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. Взглянув на задачу с другой точки зрения, рассмот­р им NET как поверхность над плоскостью х-у. Каждая то чка этой поверхности находится над соответствующей точкой плоскости х-у на расстоянии, равном значению NET этой точке. Можно показать, что наклон этой N ЕТ-поверхности одинаков для всей поверхности х-у. Все точки, в которых значение NET равно величине порога, проектируются на линию уровня плоскости NET (см. рис. 2.6). Ясно, что все точки по одну сторону порого­в ой прямой спроецируются в значения NET, большие порога, а точки по другую сторону дадут меньшие значения ^ЕТ. Таким образом, пороговая прямая разбивает плос­к ость х-у на две области. Во всех точках по одну сторон у пороговой прямой значение OUT равно единице, по другую сторону - нулю. Линейная разделимость Как мы видели, невозможно нарисовать прямую линию, разделяющую плоскость х-у так, чтобы реализовывалась функция ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ. К сожалению, этот пример не единственный. Имеется обширный класс функций, не реали­зуемых однослойной сетью. Об этих функциях говорят, что они являются линейно неразделимыми, и они накладывают определентные ограничения на возможности однослойных сетей. Линейная разделимость ограничивает однослойные сети задачами классификации, в которых множества точек (соответствующих входным значениям) могут быть разделе­ны геометрически. Для нашего случая с двумя входами разделитель является прямой линией. В случае трех вхо­дов разделение осуществляется плоскостью, рассекающей трехмерное пространство. Для четырех или более входов визуализация невозможна и необходимо мысленно предста­вить n-мерное пространство, рассекаемое «гиперплос­костью» - геометрическим объектом, который рассекает пространство четырех или большего числа измерений. Так как линейная разделимость ограничивает возмож­ности персептронного представления, то важно знать, является ли данная функция разделимой. К сожалению, не существует простого способа определить это, если число переменных велико. Нейрон с п двоичными входами может иметь 2п разли­чных входных образов, состоящих из нулей и единиц. Так как каждый входной образ может соответствовать двум различным бинарным выходам (единица и ноль), то всего 2" имеется 2 функций от п переменных. Таблица 2.2. Линейно разделимые функции (Взято из R.O.Winder, Single-stage logic. Paper presented at the AIEE Fall General Meeting,1960.) Как видно из табл. 2.2, вероятность того, что случайно выбранная функция окажется линейно разделимой, весьма мала даже для умеренного числа переменных. По этой причине однослойные персептроны на практике огра­ничены простыми задачами. Преодоление ограничения линейной разделимости К концу 60-х годов проблема линейной разделимости была хорошо понята. К тому же было известно, что это серьёзное ограничение представляемости однослойными сетями можно преодолеть, добавив дополнительные слои. Например, двухслойные сети можно получить каскадным соединением двух однослойных сетей. Они способны выполнять более общие классификации, отделяя те точки, кото­рые содержатся в выпуклых ограниченных или неограничен­ных областях. Область называется выпуклой, если для любых двух ее точек соединяющий их отрезок целиком лежит в области. Область называется ограниченной, если ее можно заключить в некоторый шар. Неограниченную область невозможно заключить внутрь шара (например, область между двумя параллельными линиями). Примеры выпуклых ограниченных и неограниченных областей пред­ставлены на рис. 2.7. Чтобы уточнить требование выпуклости, рассмотрим простую двухслойную сеть с двумя входами, подведенными к двум нейронам первого слоя, соединенными с единствен­ным нейроном в слое 2 (см. рис. 2.8). Пусть порог выхо­дного нейрона равен 0,75, а оба его веса равны 0,5. В этом случае для того, чтобы порог был превышен и на выходе появилась единица, требуется, чтобы оба нейрона первого уровня на выходе имели единицу. Таким образом, выходной нейрон реализует логическую функцию И. На рис. 2.8 каждый нейрон слоя 1 разбивает плоскость х-у на две полуплоскости, один обеспечивает единичный выход для входов ниже верхней линии, другой - для входов выше нижней линии. На рис. 2.8 показан результат такого двойного разбиения, где выходной сигнал нейрона второго слоя равен единице только внутри V-образной области. Аналогично во втором слое может быть использовано три нейрона с дальнейшим разбиением плоскости и созданием области треугольной формы. Включением достаточного числа нейронов во входной слой может быть образован выпуклый многоугольник любой желаемой формы. Так как они образованы с помощью операции И над областями, задаваемыми линиями, то все такие многогранники выпук­лы, следовательно, только выпуклые области и возникают. Точки, не составляющие выпуклой области, не могут быть отделены от других точек плоскости двухслойной сетью. Нейрон второго слоя не ограничен функцией И. Он может реализовывать многие другие функции при подходя­щем выборе весов и порога. Например, можно сделать так, чтобы единичный выход любого из нейронов первого слоя приводил к появлению единицы на выходе нейрона второго слоя, реализовав тем самым логическое ИЛИ. Имеется 16 двоичных функций от двух переменных. Если выбирать подходящим образом веса и порог, то можно воспроизвести 14 из них (все, кроме ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ и ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ НЕТ). Входы не обязательно должны быть двоичными. Вектор непрерывных входов может представлять собой произволь­ную точку на плоскости х-у. В этом случае мы имеем дело со способностью сети разбивать плоскость на непрерывные области, а не с разделением дискретных множеств точек. Для всех этих функций, однако, линейная разделимость показывает, что выход нейрона второго слоя равен едини­це только в части плоскости х-у, ограниченной много­угольной областью. Поэтому для разделения плоскостей Р и Q необходимо, чтобы все Р лежали внутри выпуклой многоугольной области, не содержащей точек Q (или на­оборот). Трехслойная сеть, однако, является более общей. Ее классифицирующие возможности ограничены лишь числом искусственных нейронов и весов. Ограничения на выпук­лость отсутствуют. Теперь нейрон третьего слоя принима­ет в качестве входа набор выпуклых многоугольников, и их логическая комбинация может быть невыпуклой. На рис. 2.9 иллюстрируется случай, когда два треугольника А и В, скомбинированные с помощью функций « А и не В», задают невыпуклую область. При добавлении нейронов и весов число сторон многоугольников может неограниченно возрастать. Это позволяет аппроксимировать область любой формы с любой точностью. Вдобавок не все выходные области второго слоя должны пересекаться. Возможно, следовательно, объединять различные области, выпуклые и невыпуклые, выдавая на выходе единицу, всякий раз, когда входной вектор принадлежит одной из них. Несмотря на то, что возможности многослойных сетей были известны давно, в течение многих лет не было тео­ретически обоснованного алгоритма для настройки их весов. Эффективность запоминания Серьезные вопросы имеются относительно эффективно­сти запоминания информации в персептроне (или любых других нейронных сетях) по сравнению с обычной компью­терной памятью и методами поиска информации в ней. Например, в компьютерной памяти можно хранить все вход­ные образы вместе с классифицирующими битами. Компьютер должен найти требуемый образ и дать его классификацию. Различные хорошо известные методы могли бы быть исполь­зованы для ускорения поиска. Если точное соответствие не найдено, то для ответа может быть использовано пра­вило ближайшего соседа. Число битов, необходимое для хранения этой же информации в весах персептрона, может быть значительно меньшим по сравнению с методом обычной компьютерной памяти, если образы допускают экономичную запись. Одна­ко Минский [2] построил патологические примеры, в кото­рых число битов, требуемых для представления весов, растет с размерностью задачи быстрее, чем экспоненци­ально. В этих случаях требования к памяти с ростом размерности задачи быстро становятся невыполнимыми. Если, как он предположил, эта ситуация не является исключением, то персептроны часто могут быть ограничены только малыми задачами. Насколько общими являются такие неподатливые множества образов? Это остается открытым вопросом, относящимся ко всем нейронным сетям. Поиски ответа чрезвычайно важны для исследований по нейронным сетям. ОБУЧЕНИЕ ПЕРСЕПТРОНА Способность искусственных нейронных сетей обучать­ся является их наиболее интригующим свойством. Подобно биологическим системам, которые они моделируют, эти нейронные сети сами моделируют себя в результате попы­ток достичь лучшей модели поведения. Используя критерий линейной неделимости, можно решить, способна ли однослойная нейронная сеть реализо­вывать требуемую функцию. Даже в том случае, когда ответ положительный, это принесет мало пользы, если у нас нет способа найти нужные значения для весов и поро­гов. Чтобы сеть представляла практическую ценность, нужен систематический метод (алгоритм) для вычисления этих значений. Розенблатт [4] сделал это в своем алго­ритме обучения персептрона вместе с доказательством того, что персептрон может быть обучен всему, что он может реализовывать. Обучение может быть с учителем или без него. Для обучения с учителем нужен «внешний» учитель, который оценивал бы поведение системы и управлял ее последующи­ми модификациями. При обучении без учителя, рассматри­ваемого в последующих главах, сеть путем самоорганиза­ции делает требуемые изменения. Обучение персептрона является обучением с учителем. Алгоритм обучения персептрона может быть реализо­ван на цифровом компьютере или другом электронном уст­ройстве, и. сеть становится в определенном смысле само подстраивающейся. По этой причине процедуру подстройки весов обычно называют «обучением» и говорят, что сеть «обучается». Доказательство Розенблатта стало основной вехой и дало мощный импульс исследованиям в этой облас­ти. Сегодня в той или иной форме элементы алгоритма обучения персептрона встречаются во многих сетевых парадигмах. АЛГОРИТМ ОБУЧЕНИЯ ПЕРСЕПТРОНА Персептрон обучают, подавая множество образов по одному на его вход и подстраивая веса до тех пор, пока для всех образов не будет достигнут требуемый выход. Допустим, что входные образы нанесены на демонстрацион­ные карты. Каждая карта разбита на квадраты и от каждо­го квадрата на персептрон подается вход. Если в квадра­те имеется линия, то от него подается единица, в проти­вном случае - ноль. Множество квадратов на карте зада­ет, таким образом, множество нулей и единиц, которое и подается на входы персептрона. Цель состоит в том, чтобы научить персептрон включать индикатор при подаче на него множества входов, задающих нечетное число, и не включать в случае четного. На рис. 2.10 показана такая персептронная конфигу­рация. Допустим, что вектор Х является образом распоз­наваемой демонстрационной карты. Каждая компонента (квадрат) Х - (х1 , х2 ,..., х n ) - умножается на соот­ветствующую компоненту вектора весов W ( w 1 , w 2 ,..., wn ). Эти произведения суммируются. Если сумма превышает порог , то выход нейрона Y равен единице (индикатор зажигается), в противном случае он - ноль. Как мы видели в гл. 1, эта операция компактно записывается в векторной форме как Y = XW , а после нее следует пороговая операция. Для обучения сети образ Х подается на вход и вычи­сляется выход Y. Если Y правилен, то ничего не меняет­ся. Однако если выход неправилен, то веса, присоединен­ные к входам, усиливающим ошибочный результат, модифи­цируются, чтобы уменьшить ошибку. Чтобы увидеть, как это осуществляется, допустим, что демонстрационная карта с цифрой 3 подана на вход и выход Y равен 1 (показывая нечетность). Так как это правильный ответ, то веса не изменяются. Если, однако, на вход подается карта с номером 4 и выход Y равен единице (нечетный), то веса, присоединенные к единичным входам, должны быть уменьшены, так как они стремятся дать неверный результат. Аналогично, если карта с номе­ром 3 дает нулевой выход, то веса, присоединенные к единичным входам, должны быть увеличены, чтобы скорре­ктировать ошибку. Этот метод обучения может быть подытожен следующим образом: 1. Подать входной образ и вычислить Y 2. а. Если выход правильный, то перейти на шаг 1; б. Если выход неправильный и равен нулю, то добавить все входы к соответствующим им весам; или в. Если выход неправильный и равен единице, то вычесть каждый вход из соответствующего ему веса. 3. Перейти на шаг 1. За конечное число шагов сеть научится разделять карты на четные и нечетные при условии, что множество цифр линейно разделимо. Это значит, что для всех нечет­ных карт выход будет больше порога, а для всех четных - меньше. Отметим, что это обучение глобально, т.е. сеть обучается на всем множестве карт. Возникает вопрос о том, как это множество должно предъявляться, чтобы минимизировать время обучения. Должны ли элементы мно­жества предъявляться последовательно друг за другом или карты следует выбирать случайно? Несложная теория слу­жит здесь путеводителем. Дельта-правило Важное обобщение алгоритма обучения персептрона, называемое дельта-правилом, переносит этот метод на непрерывные входы и выходы. Чтобы понять, как оно было получено, шаг 2 алгоритма обучения персептрона может быть сформулирован в обобщенной форме с помощью введе­ния величины d, которая равна разности между требуемым или целевым выходом Т и реальным выходом А d = ( T – A ) Случай, когда d = 0, соответствует шагу 2а, когда выход правилен и в сети ничего не изменяется. Шаг 26 соответствует случаю d > 0, а шаг 2в случаю d < 0. В любом из этих случаев персептронный алгоритм обучения сохраняется, если 5 умножается на величину каждого входа х. и это произведение добавляется к соот­ветствующему весу. С целью обобщения вводится коэффици­ент «скорости обучения» h, который умножается на dх i , что позволяет управлять средней величиной изменения весов. В алгебраической форме записи D i = h dх i (2.4) wi ( n + 1) = wi (n)+ D i , (2.5) где D i - коррекция, связанная с i -м входом х i ; wi ( n + 1) - значение веса i после коррекции; wi (n) - значение веса i до коррекции. Дельта-правило модифицирует веса в соответствии с требуемым и действительным значениями выхода каждой полярности как для непрерывных, так и для бинарных входов и выходов. Эти свойства открыли множество новых приложений. Трудности с алгоритмом обучения персептрона Может оказаться затруднительным определить, выпол­нено ли условие разделимости для конкретного обучающего множества. Кроме того, во многих встречающихся на прак­тике ситуациях входы часто меняются во времени и могут быть разделимы в один момент времени и неразделимы в другой. В доказательстве алгоритма обучения персептрона ничего не говорится также о том, сколько шагов требует­ся для обучения сети. Мало утешительного в знании того, что обучение закончится за конечное число шагов, если необходимое для этого время сравнимо с геологической эпохой. Кроме того, не доказано, что персептронный алгоритм обучения более быстр по сравнению с простым перебором всех возможных значений весов, и в некоторых случаях этот примитивный подход может оказаться лучше. На эти вопросы никогда не находилось удовлетвори­тельного ответа, они относятся к природе обучающего материала. В различной форме они возникают в последу­ющих главах, где рассматриваются другие сетевые парадигмы. Ответы для современных сетей как правило не более удовлетворительны, чем для персептрона. Эти проблемы являются важной областью современных исследований. Глава 3 Процедура обратного распространения ВВЕДЕНИЕ В ПРОЦЕДУРУ ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ Долгое время не было теоретически обоснованного алгоритма для обучения многослойных искусственных ней­ронных сетей. А так как возможности представления с помощью однослойных нейронных сетей оказались весьма ограниченными, то и вся область в целом пришла в упа­док. Разработка алгоритма обратного распространения сыграла важную роль в возрождении интереса к искусст­венным нейронным сетям. Обратное распространение - это систематический метод для обучения многослойных искусс­твенных нейронных сетей. Он имеет солидное математичес­кое обоснование. Несмотря на некоторые ограничения, процедура обратного распространения сильно расширила область проблем, в которых могут быть использованы искусственные нейронные сети, и убедительно продемонст­рировала свою мощь. Интересна история разработки процедуры. В [7] было дано ясное и полное описание процедуры. Но как только эта работа была опубликована, оказалось, что она была предвосхищена в [4]. А вскоре выяснилось, что еще рань­ше метод был описан в [12]. Авторы работы [7] сэкономи­ли бы свои усилия, знай они о работе [12]. Хотя подоб­ное дублирование является обычным явлением для каждой научной области, в искусственных нейронных сетях положение с этим намного серьезнее из-за пограничного ха­рактера самого предмета исследования. Исследования по нейронным сетям публикуются в столь различных книгах и журналах, что даже самому квалифицированному исследова­телю требуются значительные усилия, чтобы быть осведом­ленным обо всех важных работах в этой области. ОБУЧАЮЩИЙ АЛГОРИТМ ОБРАТНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ Сетевые конфигурации Нейрон. На рис. 3.1 показан нейрон, используемый в каче­стве основного строительного блока в сетях обратного распространения. Подается множество входов, идущих либо извне, либо от предшествующего слоя. Каждый из них умножается на вес, и произведения суммируются. Эта сумма, обозначаемая NET, должна быть вычислена для каждого нейрона сети. После того, как величина NET вычислена, она модифицируется с помощью активационной функции и получается сигнал OUT. На рис. 3.2 показана активационная функция, обычно используемая для обратного распространения. OUT = 1 / (1 + e –NET ) . (3.1) Как показывает уравнение (3.2), эта функция, назы­ваемая сигмоидом, весьма удобна, так как имеет простую производную, что используется при реализации алгоритма обратного распространения. (3.2) Сигмоид, который иногда называется также логистической, или сжимающей, функцией, сужает диапазон изменения NET так, что значение OUT лежит между нулем и единицей. Как указывалось выше, многослойные нейронные сети обладают большей представляющей мощностью, чем однослойные, только в случае присутствия нелинейности. Сжимающая функция обеспечивает требуемую нелинейность. В действительности имеется множество функций, которые могли бы быть использованы. Для алгоритма обра­тного распространения требуется лишь, чтобы функция была всюду дифференцируема. Сигмоид удовлетворяет этому требованию. Его дополнительное преимущество состоит в автоматическом контроле усиления. Для слабых сигналов (величина NET близка к нулю) кривая вход-выход имеет сильный наклон, дающий большое усиление. Когда величина сигнала становится больше, усиление падает. Таким обра­зом, большие сигналы воспринимаются сетью без насыще­ния, а слабые сигналы проходят по сети без чрезмерного ослабления. Многослойная сеть. На рис. 3.3 изображена многослойная сеть, которая может обучаться с помощью процедуры обра­тного распространения. (Для ясности рисунок упрощен.) Первый слой нейронов (соединенный с входами) служит лишь в качестве распределительных точек, суммирования входов здесь не производится. Входной сигнал просто проходит через них к весам на их выходах. А каждый нейрон последующих слоев выдает сигналы NET и OUT, как описано выше. В литературе нет единообразия относительно того, как считать число слоев в таких сетях. Одни авторы используют число слоев нейронов (включая несуммирующий входной слой), другие - число слоев весов. Так как последнее определение функционально описательнее, то оно будет использоваться на протяжении книги. Согласно этому определению, сеть на рис. 3.3 рассматривается как двухслойная. Нейрон объединен с множеством весов, при­соединенных к его входу. Таким образом, веса первого слоя оканчиваются на нейронах первого слоя. Вход рас­пределительного слоя считается нулевым слоем. Процедура обратного распространения применима к сетям с любым числом слоев. Однако для того, чтобы продемонстрировать алгоритм, достаточно двух слоев. Сейчас будут рассматриваться лишь сети прямого дейст­вия, хотя обратное распространение применимо и к сетям с обратными связями. Эти случаи будут рассмотрены в данной главе позднее. Обзор обучения Целью обучения сети является такая подстройка ее весов, чтобы приложение некоторого множества входов приводило к требуемому множеству выходов. Для краткости эти множества входов и выходов будут называться векторами. При обучении предполагается, что для каждого входного вектора существует парный ему целевой вектор, задающий требуемый выход. Вместе они называются обучающей парой. Как правило, сеть обучается на многих парах. Например, входная часть обучающей пары может состоять из набора нулей и единиц, представляющего двоичный образ некоторой буквы алфавита. На рис. 3.4 показано множество входов для буквы. А, нанесенной на сетке. Если через квадрат проходит линия, то соответст­вующий нейронный вход равен единице, в противном случае он равен нулю. Выход может быть числом, представляющим букву А, или другим набором из нулей и единиц, который может быть использован для получения выходного образа. При необходимости распознавать с помощью сети все буквы алфавита, потребовалось бы 26 обучающих пар. Такая группа обучающих пар называется обучающим множеством. Перед началом обучения всем весам должны быть присвоены небольшие начальные значения, выбранные слу­чайным образом. Это гарантирует, что в сети не произой­дет насыщения большими значениями весов, и предотвраща­ет ряд других патологических случаев. Например, если всем весам придать одинаковые начальные значения, а для требуемого функционирования нужны неравные значения, то сеть не сможет обучиться. Обучение сети обратного распространения требует выполнения следующих операций: 1. Выбрать очередную обучающую пару из обучающего множества; подать входной вектор на вход сети. 2. Вычислить выход сети. 3. Вычислить разность между выходом сети и требуе­мым выходом (целевым вектором обучающей пары). 4. Подкорректировать веса сети так, чтобы миними­зировать ошибку. 5. Повторять шаги с 1 по 4 для каждого вектора обучающего множества до тех пор, пока ошибка на всем множестве не достигнет приемлемого уровня. Операции, выполняемые шагами 1 и 2, сходны с теми, которые выполняются при функционировании уже обученной сети, т.е. подается входной вектор и вычисляется полу­чающийся выход. Вычисления выполняются послойно. На рис. 3.3 сначала вычисляются выходы нейронов слоя j, затем они используются в качестве входов слоя k, вычис­ляются выходы нейронов слоя k, которые и образуют выхо­дной вектор сети. На шаге 3 каждый из выходов сети, которые на рис. 3.3 обозначены OUT, вычитается из соответствующей компоненты целевого вектора, чтобы получить ошибку. Эта ошибка используется на шаге 4 для коррекции весов сети, причем знак и величина изменений весов определяются алгоритмом обучения (см. ниже). После достаточного числа повторений этих четырех шагов разность между действительными выходами и целевы­ми выходами должна уменьшиться до приемлемой величины, при этом говорят, что сеть обучилась. Теперь сеть ис­пользуется для распознавания и веса не изменяются. На шаги 1 и 2 можно смотреть как на « проход впе­ред», так как сигнал распространяется по сети от входа к выходу. Шаги 3, 4 составляют «обратный проход», здесь вычисляемый сигнал ошибки распространяется обратно по сети и используется для подстройки весов. Эти два про­хода теперь будут детализированы и выражены в более математической форме. Проход вперед. Шаги 1 и 2 могут быть выражены в вектор­ной форме следующим образом: подается входной вектор Х и на выходе получается вектор Y. Векторная пара вход-цель Х и Т берется из обучающего множества. Вычисления проводятся над вектором X, чтобы получить выходной вектор Y. Как мы видели, вычисления в многослойных сетях выполняются слой за слоем, начиная с ближайшего к входу слоя. Величина NET каждого нейрона первого слоя вычис­ляется как взвешенная сумма входов нейрона. Затем активационная функция F «сжимает» NET и дает величину OUT для каждого нейрона в этом слое. Когда множество выхо­дов слоя получено, оно является входным множеством для следующего слоя. Процесс повторяется слой за слоем, пока не будет получено заключительное множество выходов сети. Этот процесс может быть выражен в сжатой форме с помощью векторной нотации. Веса между нейронами могут рассматриваться как матрица W. Например, вес от нейрона 8 в слое 2 к нейрону 5 слоя 3 обозначается w 8,5 . Тогда NET-вектор слоя N может быть выражен не как сумма про­изведений, а как произведение Х и W. В векторном обоз­начении N = XW. Покомпонентным применением функции F к NET-вектору N получается выходной вектор О. Таким обра­зом, для данного слоя вычислительный процесс описывает­ся следующим выражением: О = F(XW). (3.3) Выходной вектор одного слоя является входным век тором для следующего, поэтому вычисление выходов после­днего слоя требует применения уравнения (3.3) к каждому слою от входа сети к ее выходу. Обратный проход. Подстройка весов выходного слоя. Так как для каждого нейрона выходного слоя задано целевое значение, то подстройка весов легко осуществляется с использованием модифицированного дельта-правила из гл. 2. Внутренние слои называют «скрытыми слоями», для их выходов не имеется целевых значений для сравнения. Поэтому обучение усложняется. На рис. 3.5 показан процесс обучения для одного веса от нейрона р в скрытом слое j к нейрону в q выход­ном слое k. Выход нейрона слоя k, вычитаясь из целевого значения (Target), дает сигнал ошибки. Он умножается на производную сжимающей функции [OUT(1 - OUT)], вычислен­ную для этого нейрона слоя k, давая, таким образом, величину d. d = OUT(1 - OUT)(Target - OUT). (3.4) Затем d умножается на величину OUT нейрона, из которого выходит для рассматриваемый вес. Это произве­дение в свою очередь умножается на коэффициент скорости обучения h (обычно от 0,01 до 1,0), и результат прибав­ляется к весу. Такая же процедура выполняется каждого веса от нейрона скрытого слоя к нейрону в выходном слое. Следующие уравнения иллюстрируют это вычисление: Dwpq,k =hdq,k OUTp,j , (3.5) wpq,k (n+1) = wpq,k (n) + Dwpq,k , (3.6) где wpq,k {n) - величина веса от нейрона n в скрытом, слое к нейрону q в выходном слое на шаге п (до корре­кции); отметим, что индекс k относится к слою, в котором заканчива ется данный вес, т.е., согласно принятому в этой книге соглашению, с кото рым он объединен; wpq,k (n+ 1)- величина веса на шаге п + 1 (после кор рекции); dq,k - величина d для нейрона q в выходном слое k, OUTp,j - величина OUT для ней рона р в скрытом слое j. Рис.3.5. Настройка веса в выходном слое. Подстройка весов скрытого слоя. Рассмотрим один нейрон в скрытом слое, предшествующем выходному слою. При проходе вперед этот нейрон передает свой выходной сиг­нал нейронам в выходном слое через соединяющие их веса. Во время обучения эти веса функционируют в обратном порядке, пропуская величину d от выходного слоя назад к скрытому слою. Каждый из этих весов умножается на вели­чину d нейрона, к которому он присоединен в выходном слое. Величина d, необходимая для нейрона скрытого слоя, получается суммированием всех таких произведений и умножением на производную сжимающей функции: d p,q = OUTp,j (1 - OUTp,j )( d p,k wpq,k ) (3.7) (см. рис.3.6). Когда значение d получено, веса, питающие первый скрытый уровень, могут быть подкорректированы с помощью уравнений (3.5) и (3.6), где индексы модифици­руются в соответствии со слоем. Рис.З.6. Настройка вес а в скрытом слое. Для каждого нейрона в данном скрытом слое должно быть вычислено d и подстроены все веса, ассоциированные с этим слоем. Этот процесс повторяется слой за слоем по направлению к входу, пока все веса не будут подкорректированы. С помощью векторных обозначений операция обратного распространения ошибки может быть записана значительно компактнее. Обозначим множество величин d выходного слоя через Dk и множество весов выходного слоя как массив W’k . Чтобы получить Dj , d-вектор выходного слоя, достаточно следующих двух операций: 1. Умножить d - вектор выходного слоя Dk на транспо­нированную матрицу весов W’k , соединяющую скрытый уро­вень с выходным уровнем. 2. Умножить каждую компоненту полученного произве­дения на производную сжимающей функции соответствующего нейрона в скрытом слое. В символьной записи Dj = Dk W ‘k $ [Оj $( 1- Oj )], (3.8) где оператор $ в данной книге обозначает покомпонентное произведение векторов. О. - выходной вектор слоя j и 1 - вектор, все компоненты которого равны 1. Добавление нейронного смещения. Во многих случаях жела­тельно наделять каждый нейрон обучаемым смещением. Это позволяет сдвигать начало отсчета логистической функ­ции, давая эффект, аналогичный подстройке порога персептронного нейрона, и приводит к ускорению процесса обучения. Эта возможность может быть легко введена в обучающий алгоритм с помощью добавляемого к каждому нейрону веса, присоединенного к +1. Этот вес обучается так же, как и все остальные веса, за исключением того, что подаваемый на него сигнал всегда равен +1, а не выходу нейрона предыдущего слоя. Импульс. В работе [7] описан метод ускорения обучения для алгоритма обратного распространения, увеличивающий также устойчивость процесса. Этот метод, названный импульсом, заключается в добавлении к коррекции веса члена, пропорционального величине предыдущего изменения веса. Как только происходит коррекция, она «запоминает­ся» и служит для модификации всех последующих коррекций. Уравнения коррекции модифицируются следующим обра­зом: Dwpq,k (n+1) = h ( d q,k OUTp,j ) + a ( Dwpq,k (n)), (3.9) Dwpq,k (n+1) = Dwpq,k (n) + Dwpq,k (n+1)), (3.10) где a - коэффициент импульса, обычно устанавливается около 0,9.Используя метод импульса, сеть стремится идти по дну узких оврагов поверхности ошибки (если таковые имеются), а не двигаться от склона к склону. Этот ме­тод, по-видимому, хорошо работает на некоторых задачах, но дает слабый или даже отрицательный эффект на других. В работе [8] описан сходный метод, основанный на экспоненциальном сглаживании, который может иметь преи­мущество в ряде приложений. Dwpq,k (n+1) = a Dwpq,k (n) + ( 1- a )dq,k OUTp,j . (3.11) Dwpq,k (n+1) = Dwpq,k (n) + h Dwpq,k (n+1)), (3.12) где a коэффициент сглаживания, варьируемый и диапазоне от 0,0 до 1,0. Если a равен 1,0, то новая коррекция игнорируется и повторяется предыдущая. В области между 0 и 1 коррекция веса сглаживается величиной, пропорци­ональной a. По-прежнему, h является коэффициентом ско­рости обучения, служащим для управления средней величи­ной изменения веса. ДАЛЬНЕЙШИЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ РАЗРАБОТКИ Многими исследователями были предложены улучшения и обобщения описанного выше основного алгоритма обрат­ного распространения. Литература в этой области слишком обширна, чтобы ее можно было здесь охватить. Кроме того, сейчас еще слишком рано давать окончательные оценки. Некоторые из этих подходов могут оказаться действительно фундаментальными, другие же со временем исчезнут. Некоторые из наиболее многообещающих разрабо­ток обсуждаются в этом разделе. В [5] описан метод ускорения сходимости алгоритма обратного распространения. Названный обратным распрост­ранением второго порядка, он использует вторые произ­водные для более точной оценки требуемой коррекции весов. В [5] показано, что этот алгоритм оптимален в том смысле, что невозможно улучшить оценку, используя производные более высокого порядка. Метод требует до­полнительных вычислений по сравнению с обратным рас­пространением первого порядка, и необходимы дальнейшие эксперименты для доказательства оправданности этих затрат. В [9] описан привлекательный метод улучшения ха­рактеристик обучения сетей обратного распространения. В работе указывается, что общепринятый от 0 до 1 динами­ческий диапазон входов и выходов скрытых нейронов неоп­тимален. Так как величина коррекции веса Dwpq,k пропорциональна выходному уровню нейрона, порождающего OUTp,q , то нулевой уровень ведет к тому, что вес не меняется. При двоичных входных векторах половина входов в среднем будет равна нулю, и веса, с которыми они связаны, не будут обучаться! Решение состоит в приведе­нии входов к значениям ±1/2 и добавлении смещения к сжимающей функции, чтобы она также принимала значения ±1/2. Новая сжимающая функция выглядит следующим обра­зом: OUT =-1/2 + 1 / (exp(-NET) + 1). (3.13) С помощью таких простых средств время сходимости сокращается в среднем от 30 до 50%. Это является одним из примеров практической модификации, существенно улуч­шающей характеристику алгоритма. В [6] и [1] описана методика применения обратного распространения к сетям с обратными связями, т.е. к таким сетям, у которых выходы подаются через обратную связь на входы. Как показано в этих работах, обучение в подобных системах может быть очень быстрым и критерии устойчивости легко удовлетворяются. ПРИМЕНЕНИЯ Обратное распространение было использовано в широ­кой сфере прикладных исследований. Некоторые из них описываются здесь, чтобы продемонстрировать мощь этого метода. Фирма NEC в Японии объявила недавно, что обратное распространение было ею использовано для визуального распознавания букв, причем точность превысила 99% . Это улучшение было достигнуто с помощью комбинации обычных алгоритмов с сетью обратного распространения, обеспечи­вающей дополнительную проверку. В работе [8] достигнут впечатляющий успех с NetTalk, системой, которая превращает печатный английский текст в высококачественную речь. Магнитофонная запись процесса обучения сильно напоминает звуки ребенка на разных этапах обучения речи. В [2] обратное распространение использовалось в машинном распознавании рукописных английских слов. Буквы, нормализованные по размеру, наносились на сетку, и брались проекции линий, пересекающих квадраты сетки. Эти проекции служили затем входами для сети обратного распространения. Сообщалось о точности 99,7% при использовании словарного фильтра. В [3] сообщалось об успешном применении обратного распространения к сжатию изображений, когда образы представлялись одним битом на пиксель, что было восьми­кратным улучшением по сравнению с входными данными. ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ Несмотря на многочисленные успешные применения обратного распространения, оно не является панацеей. Больше всего неприятностей приносит неопределенно дол­гий процесс обучения. В сложных задачах для обучения сети могут потребоваться дни или даже недели, она может и вообще не обучиться. Длительное время обучения может быть результатом неоптимального выбора длины шага. Неудачи в обучении обычно возникают по двум причинам: паралича сети и попадания в локальный минимум. Паралич сети В процессе обучения сети значения весов могут в результате коррекции стать очень большими величинами. Это может привести к тому, что все или большинство нейронов будут функционировать при очень больших значе­ниях OUT, в области, где производная сжимающей функции очень мала. Так как посылаемая обратно в процессе обу­чения ошибка пропорциональна этой производной, то про­цесс обучения может практически замереть. В теоретичес­ком отношении эта проблема плохо изучена. Обычно этого избегают уменьшением размера шага т ), но это увеличивает время обучения. Различные эвристики использовались для предохранения от паралича или для восстановления после него, но пока что они могут рассматриваться лишь как экспериментальные. Локальные минимумы Обратное распространение использует разновидность градиентного спуска, т.е. осуществляет спуск вниз по поверхности ошибки, непрерывно подстраивая веса в на­правлении к минимуму. Поверхность ошибки сложной сети сильно изрезана и состоит из холмов, долин, складок и оврагов в пространстве высокой размерности. Сеть может попасть в локальный минимум (неглубокую долину), когда рядом имеется гораздо более глубокий минимум. В точке локального минимума все направления ведут вверх, и сеть неспособна из него выбраться. Статистические методы обучения могут помочь избежать этой ловушки, но они медленны. В [10] предложен метод, объединяющий статис­тические методы машины Коши с градиентным спуском об­ратного распространения и приводящий к системе, которая находит глобальный минимум, сохраняя высокую скорость обратного распространения. Это обсуждается в гл. 5. Размер шага Внимательный разбор доказательства сходимости в [7] показывает, что коррекции весов предполагаются бесконечно малыми. Ясно, что это неосуществимо на прак­тике, так как ведет к бесконечному времени обучения. Размер шага должен браться конечным, и в этом вопросе приходится опираться только на опыт. Если размер шага очень мал, то сходимость слишком медленная, если же очень велик, то может возникнуть паралич или постоянная неустойчивость. В [II] описан адаптивный алгоритм выбо­ра шага, автоматически корректирующий размер шага в процессе обучения. Временная неустойчивость Если сеть учится распознавать буквы, то нет смысла учить Б, если при этом забывается А. Процесс обучения должен быть таким, чтобы сеть обучалась на всем обуча­ющем множестве без пропусков того, что уже выучено. В доказательстве сходимости [7] это условие выполнено, но требуется также, чтобы сети предъявлялись все векторы обучающего множества прежде, чем выполняется коррекция весов. Необходимые изменения весов должны вычисляться на всем множестве, а это требует дополнительной памяти; после ряда таких обучающих циклов веса сойдутся к мини­мальной ошибк е. Этот метод может оказаться бесполезным, если сеть находится в постоянно меняющейся внешней среде, так что второй раз один и тот же вектор может уже не повториться. В этом случае процесс обучения может никогда не сойтись, бесцельно блуждая или сильно осциллируя. В этом смысле обратное распространение не похоже на биологические системы. Как будет указано в гл.8 это несоответствие (среди прочих) привело к системе ART , принадлежавшей Гроссбергу. Глава 4 Сети встречного распространения ВВЕДЕНИЕ В СЕТИ ВСТРЕЧНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ Возможности сети встречного распространения, раз­работанной в [5-7], превосходят возможности однослойных сетей. Время же обучения по сравнению с обратным рас­пространением может уменьшаться в сто раз. Встречное распространение не столь общо, как обратное распростра­нение, но оно может давать решение в тех приложениях, где долгая обучающая процедура невозможна. Будет пока­зано, что помимо преодоления ограничений других сетей встречное распространение обладает собственными инте­ресными и полезными свойствами. Во встречном распространении объединены два хорошо известных алгоритма: самоорганизующаяся карта Кохонена [8] и звезда Гроссберга [2-4] (см. приложение Б). Их объединение ведет к свойствам, которых нет ни у одного из них в отдельности. Методы, которые подобно встречному распростране­нию, объединяют различные сетевые парадигмы как строи­тельные блоки, могут привести к сетям, более близким к мозгу по архитектуре, чем любые другие однородные стру­ктуры. Похоже, что в мозгу именно каскадные соединения модулей различной специализации позволяют выполнять требуемые вычисления. Сеть встречного распространения функционирует подобно столу справок, способному к обобщению. В про­цессе обучения входные векторы ассоциируются с соответ­ствующими выходными векторами. Эти векторы могут быть двоичными, состоящими из нулей и единиц, или непрерыв­ными. Когда сеть обучена, приложение входного векторе приводит к требуемому выходному вектору. Обобщающая? способность сети позволяет получать правильный выxoд даже при приложении входного вектора, который являете; неполным или слегка неверным. Это позволяет использо­вать данную сеть для распознавания образов, восстанов­ления образов и усиления сигналов. СТРУКТУРА СЕТИ На рис. 4.1 показана упрощенная версия прямого действия сети встречного распространения. На нем иллюс­трируются функциональные свойства этой парадигмы. Пол­ная двунаправленная сеть осн ована на тех же принципах, она обсуждается в этой главе позднее. Нейроны слоя 0 (показанные кружками) служат лишь точками разветвления и не выполняют вычислений. Каждый нейрон слоя 0 соединен с каждым нейроном слоя 1 (назы­ваемого слоем Кохонена) отдельным весом w mn . Эти веса в целом рассматриваются как матрица весов W. Аналогично, каждый нейрон в слое Кохонена (слое 1) соединен с каж­дым нейроном в слое Гроссберга (слое 2) весом v np . Эти веса образуют матрицу весов V. Все это весьма напоминает другие сети, встречавшиеся в предыдущих главах, различие, однако, состоит в операциях, выполня­емых нейронами Кохонена и Гроссберга. Как и многие другие сети, встречное распростране­ние функционирует в двух режимах: в нормальном режиме, при котором принимается входной вектор Х и выдается выходной вектор Y, и в режиме обучения, при котором подается входной вектор и веса корректируются, чтобы дать требуемый выходной вектор. НОРМАЛЬНОЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЕ Слои Кохоненна В своей простейшей форме слой Кохонена функциони­рует в духе «победитель забирает все», т.е. для данного входного вектора один и только один нейрон Кохонена выдает на выходе логическую единицу, все остальные выдают ноль. Нейроны Кохонена можно воспринимать как набор электрических лампочек, так что для любого вход­ного вектора загорается одна из них. Ассоциированное с каждым нейроном Кохонена множес­тво весов соединяет его с каждым входом. Например, на рис.4.1 нейрон Кохонена К 1 имеет веса w11 , w21 , ...,w m1 составляющие весовой вектор W1 . Они соединяются через входной слой с входными сигналами х 1 , х 2 , ..., х m , составляющими входной вектор X. Подобно нейронам большинства сетей выход NET каждого нейрона Кохонена является просто суммой взвешенных входов. Это может быть выражено следующим образом: NETj = w1j x1 + w2j x2 + … + wm j xm (4.1) где NETj - это выход NET-го нейрона Кохонена j , NETj = (4.2) или в векторной записи N = XW (4.3) где N - вектор выходов NET слоя Кохонена. Нейрон Кохонена с максимальным значением NET явля­ется «победителем». Его выход равен единице, у осталь­ных он равен нулю. Слой Гроссберга Слой Гроссберга функционирует в сходной манере. Его выход NET является взвешенной суммой выходов k1 ,k2 , ..., kn слоя Кохонена, образующих вектор К. Вектор соединяющих весов, обозначенный через V, состоит из весов v11 , v21 , ..., v np . Тогда выход NET каждого ней рона Гроссберга есть (4.4) где NETj - выход j-го нейрона Гроссберга, или в вектор­ной форме Y = KV, (4.5) где Y - выходной вектор слоя Гроссберга, К - выходной вектор слоя Кохонена, V - матрица весов слоя Гроссбер­га. Если слой Кохонена функционирует таким образом, что лишь у одного нейрона величина NET равна единице, а у остальных равна нулю, то лишь один элемент вектора К отличен от нуля, и вычисления очень просты. Фактически каждый нейрон слоя Гроссберга лишь выдает величину веса, который связывает этот нейрон с единственным ненулевым нейроном Кохонена. ОБУЧЕНИЕ СЛОЯ КОХОНЕНА Слой Кохонена классифицирует входные векторы в группы схожих. Это достигается с помощью такой подст­ройки весов слоя Кохонена, что близкие входные векторы активируют один и тот же нейрон данного слоя. Затем задачей слоя Гроссберга является получение требуемых выходов. Обучение Кохонена является самообучением, протека­ющим без учителя. Поэтому трудно (и не нужно) предска­зывать, какой именно нейрон Кохонена будет активиро­ваться для заданного входного вектора. Необходимо лишь гарантировать, чтобы в результате обучения разделялись несхожие входные векторы. Предварительная обработка входных векторов Весьма желательно (хотя и не обязательно) нормали­зовать входные векторы перед тем, как предъявлять их сети. Это выполняется с помощью деления каждой компо­ненты входного вектора на длину вектора. Эта длина находится извлечением квадратного корня из суммы квад­ратов компонент вектора. В алгебраической записи (4.6) Это превращает входной вектор в единичный вектор с тем же самым направлением, т.е. в вектор единичной длины в n -мерном пространстве. Уравнение (4.6) обобщает хорошо известный случай двух измерений, когда длина вектора равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного его х и у компонентами, как это следует из известной теоремы Пифагора. На рис. 4.2а такой двумерный вектор V представлен в координатах х-у, причем координата х равна четырем, а координата х - трем. Квадратный корень из суммы квадратов этих компонент равен пяти. Деление каждой компоненты V на пять дает вектор V' с компонентами 4/5 и 3/5, где V' указывает в том же направлении, что и V, но имеет единичную длину. На рис. 4.26 показано несколько единичных векто­ров. Они оканчиваются в точках единичной окружности (окружности единичного радиуса), что имеет место, когда у сети лишь два входа. В случае трех входов векторы представлялись бы стрелками, оканчивающимися на поверх­ности единичной сферы. Эти представления могут быть перенесены на сети, имеющие произвольное число входов, где каждый входной вектор является стрелкой, оканчива­ющейся на поверхности единичной гиперсферы (полезной абстракцией, хотя и не допускающей непосредственной визуализации). При обучении слоя Кохонена на вход подается вход­ной вектор, и вычисляются его скалярные произведения с векторами весов, связанными со всеми нейронами Кохоне­на. Нейрон с максимальным значением скалярного произве­дения объявляется «победителем» и его веса подстраива­ются. Так как скалярное произведение, используемое для вычисления величин NET, является мерой сходства между входным вектором и вектором весов, то процесс обучения состоит в выборе нейрона Кохонена с весовым вектором, наиболее близким к входному вектору, и дальнейшем при­ближении весового вектора к входному. Снова отметим, что процесс является самообучением, выполняемым без учителя. Сеть самоорганизуется таким образом, что дан­ный нейрон Кохонена имеет максимальный выход для данно­го входного вектора. Уравнение, описывающее процесс обучения имеет следующий вид: W н = W c + a (x – W c ), (4.7) где wH - новое значение веса, соединяющего входную компоненту х c выигравшим нейроном; w c - предыдущее значение этого веса; a - коэффициент скорости обучения, который может варьироваться в процессе обучения. Каждый вес, связанный с выигравшим нейроном Кохонена, изменяется пропорционально разности между его величиной и величиной входа, к которому он присоединен. Направление изменения минимизирует разность между весом и его входом. На рис. 4.3 этот процесс показан геометрически в двумерном виде. Сначала находится вектор X-Wc , для этого проводится отрезок из конца W в конец X. Затем этот вектор укорачивается умножением его на скалярную величину a , меньшую единицы, в результате чего получа­ется вектор изменения d . Окончательно новый весовой вектор W является отрезком, направленным из начала координат в конец вектора d . Отсюда можно видеть, что эффект обучения состоит во вращении весового вектора в направлении входного вектора без существенного измене­ния его длины. Рис.4.3. Вращение весового вектора в процессе обучения (WH – вектор новых весовых коэффициентов, Wc - вектор старых весовых коэффициентов). Переменная a является коэффициентом скорости обу­чения, который вначале обычно равен ~ 0,7 и может по­степенно уменьшаться в процессе обучения. Это позволя­ет делать большие начальные шаги для быстрого грубого обучения и меньшие шаги при подходе к окончательной величине. Если бы с каждым нейроном Кохонена ассоциировался один входной вектор, то слой Кохонена мог бы быть обу­чен с помощью одного вычисления на вес. Веса нейрона-победителя приравнивались бы к компонентам обучающего вектора ( a = 1). Как правило, обучающее множество вклю­чает много сходных между собой входных векторов, и сеть должна быть обучена активировать один и тот же нейрон Кохонена для каждого из них. В этом случае веса этого нейрона должны получаться усреднением входных векторов, которые должны его активировать. Постепенное уменьшение величины « уменьшает воздействие каждого обучающего шага, так что окончательное значение будет средней величиной от входных векторов, на которых происходит обучение. Таким образом, веса, ассоциированные с нейро­ном, примут значение вблизи « центра» входных векторов, для которых данный нейрон является «победителем». Выбор начальных значений весовых векторов Всем весам сети перед началом обучения следует придать начальные значения. Общепринятой практикой при работе с нейронными сетями является присваивание весам небольших случайных значений. При обучении слоя Кохоне­на случайно выбранные весовые векторы следует нормали­зовать. Окончательные значения весовых векторов после обучения совпадают с нормализованными входными вектора­ми. Поэтому нормализация перед началом обучения прибли­жает весовые векторы к их окончательным значениям, сокращая, таким образом, обучающий процесс. Рандомизация весов слоя Кохонена может породить серьезные проблемы при обучении, так как в результате ее весовые векторы распределяются равномерно по поверх­ности гиперсферы. Из-за того, что входные векторы, как правило, распределены неравномерно и имеют тенденцию группироваться на относительно малой части поверхности гиперсферы, большинство весовых векторов будут так удалены от любого входного вектора, что они никогда не будут давать наилучшего соответствия. Эти нейроны Кохонена будут всегда иметь нулевой выход и окажутся беспо­лезными. Более того, оставшихся весов, дающих наилучшие соответствия, может оказаться слишком мало, чтобы раз­делить входные векторы на классы, которые расположены близко друг к другу на поверхности гиперсферы. Допустим, что имеется несколько множеств входных векторов, все множества сходные, но должны быть разде­лены на различные классы. Сеть должна быть обучена активировать отдельный нейрон Кохонена для каждого класса. Если начальная плотность весовых векторов в окрестности обучающих векторов слишком мала, то может оказаться невозможным разделить сходные классы из-за того, что не будет достаточного количества весовых векторов в интересующей нас окрестности, чтобы припи­сать по одному из них каждому классу входных векторов. Наоборот, если несколько входных векторов получены незначительными изменениями из одного и того же образца и должны быть объединены в один класс, то они должны включать один и тот же нейрон Кохонена. Если же плот­ность весовых векторов очень высока вблизи группы слег­ка различных входных векторов, то каждый входной вектор может активировать отдельный нейрон Кохонена. Это не является катастрофой, так как слой Гроссберга может отобразить различные нейроны Кохонена в один и тот же выход, но это расточительная трата нейронов Кохонена. Наиболее желательное решение состоит в том, чтобы распределять весовые векторы в соответствии с плот­ностью входных векторов, которые должны быть разделены, помещая тем самым больше весовых векторов в окрестности большого числа входных векторов. На практике это невы­полнимо, однако существует несколько методов приближен­ного достижения тех же целей. Одно из решен ий, известное под названием метода выпуклой комбинации (convex combination method), состо­ит в том, что все веса приравниваются одной и той же величине 1/ , где п - число входов и, следователь­ но, число компонент каждого весового вектора. Благодаря этому все весовые векторы совпадают и имеют единичную длину. Каждой же компоненте входа Х придается значение ( aхi + {[1/ ](1 - a)}), где п - число входов. В начале, а очень мало, вследствие чего все входные векторы имеют длину, близкую к 1/ , и почти совпадают с векторами весов. В процессе обучения сети a. постепенно возрастает, приближаясь к единице. Это позволяет разде­лять входные векторы и окончательно приписывает им их истинные значения. Весовые векторы отслеживают один или небольшую группу входных векторов и в конце обучения дают требуемую картину выходов. Метод выпуклой комбина­ции хорошо работает, но замедляет процесс обучения, так как весовые векторы подстраиваются к изменяющейся цели. Другой подход состоит в добавлении шума к входным век­ торам. Тем самым они подвергаются случайным изменениям, схватывая в конце концов весовой вектор. Этот метод также работоспособен, но еще более медленен, чем метод выпуклой комбинации. Третий метод начинает со случайных весов, но на начальной стадии обучающего процесса подстраивает все веса, а не только связанные с выигравшим нейроном Кохо­нена. Тем самым весовые векторы перемещаются ближе к области входных векторов. В процессе обучения коррекция весов начинает производиться лишь для ближайших к побе­дителю нейронов Кохонена. Этот радиус коррекции посте­ пенно уменьшается, так что в конце концов корректируют­ся только веса, связанные с выигравшим нейроном Кохоне­на. Еще один метод наделяет каждый нейрон Кохонена «Чувством справедливости». Если он становится победите­лем чаще своей законной доли времени (примерно 1/k, где k - число нейронов Кохонена), он временно увеличивает свой порог, что уменьшает его шансы на выигрыш, давая тем самым возможность обучаться и другим нейронам. Во многих приложениях точность результата сущест­венно зависит от распределения весов. К сожалению, эффективность различных решений исчерпывающим образом не оценена и остается проблемой. Режим интерполяции До сих пор мы обсуждали алгоритм обучения, в кото­ром для каждого входного вектора активировался лишь один нейрон Кохонена. Это называется методом аккредита­ции. Его точность ограничена, так как выход полностью является функцией лишь одного нейрона Кохонена. В методе интерполяции целая группа нейронов Кохо­нена, имеющих наибольшие выходы, может передавать свои выходные сигналы в слой Гроссберга. Число нейронов в такой группе должно выбираться в зависимости от задачи, и убедительных данных относительно оптимального размера группы не имеется. Как только группа определена, ее множество выходов NET рассматривается как вектор, длина которого нормализуется на единицу делением каждого значения NET на корень квадратный из суммы квадратов значений NET в группе. Все нейроны вне группы имеют нулевые выходы. Метод интерполяции способен устанавливать более сложные соответствия и может давать более точные ре­зультаты. По-прежнему, однако, нет убедительных данных, позволяющих сравнить режимы интерполяции и аккредита­ции. Статистические свойства обученной сети Метод обучения Кохонена обладает полезной и инте­ресной способностью извлекать статистические свойства из множества входных данных. Как показано Кохоненом [8], для полностью обученной сети вероятность того, что случайно выбранный входной вектор (в соответствии с функцией плотности вероятности входного множества) будет ближайшим к любому заданному весовому вектору, равна 1/k, где k - число нейронов Кохонена. Это являет­ся оптимальным распределением весов на гиперсфере. (Предполагается, что используются все весовые векторы, что имеет место лишь в том случае, если используется один из обсуждавшихся методов распределения весов.) ОБУЧЕНИЕ СЛОЯ ГРОССБЕРГА Слой Гроссберга обучается относительно просто. Входной вектор, являющийся выходом слоя Кохонена, пода­ется на слой нейронов Гроссберга, и выходы слоя Гросс­берга вычисляются, как при нормальном функционировании. Далее, каждый вес корректируется лишь в том случае, если он соединен с нейроном Кохонена, имеющим ненулевой выход. Величина коррекции веса пропорциональна разности между весом и требуемым выходом нейрона Гроссберга, с которым он соединен. В символьной записи nij н = nijc + b(yj - nijc )ki , (4.8) где k. - выход i-го нейрона Кохонена (только для одного нейрона Кохонена он отличен от нуля); у j - j-ая компо­нента вектора желаемых выходов. Первоначально b берется равным ~0,1 и затем по­степенно уменьшается в процессе обучения. Отсюда видно, что веса слоя Гроссберга будут схо­диться к средним величинам от желаемых выходов, тогда как веса слоя Кохонена обучаются на средних значениях входов. Обучение слоя Гроссберга - это обучение с учи­телем, алгоритм располагает желаемым выходом, по кото­рому он обучается. Обучающийся без учителя, самооргани­зующийся слой Кохонена дает выходы в недетерминирован­ных позициях. Они отображаются в желаемые выходы слоем Гроссберга. Глава 5 Стохастические методы Стохастические методы полезны как для обучения искусственных нейронных сетей, так и для получения выхода от уже обученной сети. Стохастические методы обучения приносят большую пользу, позволяя исключать локальные минимумы в процессе обучения. Но с ними также связан ряд проблем. Использование стохастических методов для получения выхода от уже обученной сети рассматривалось в работе [2] и обсуждается нами в гл. 6. Данная глава посвящена методам обучения сети. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОБУЧЕНИЯ Искусственная нейронная сеть обучается посредством некоторого процесса, модифицирующего ее веса. Если обучение успешно, то предъявление сети множества вход­ных сигналов приводит к появлению желаемого множества выходных сигналов. Имеется два класса обучающих мето­дов: детерминистский и стохастический. Детерминистский метод обучения шаг за шагом осу­ществляет процедуру коррекции весов сети, основанную на использовании их текущих значений, а также величин входов, фактических выходов и желаемых выходов. Обуче­ние персептрона является примером подобного детерминис­тского подхода (см. гл. 2). Стохастические методы обучения выполняют псевдо­случайные изменения величин весов, сохраняя те измене­ния, которые ведут к улучшениям. Чтобы увидеть, как это может быть сделано, рассмотрим рис. 5.1, на котором изображена типичная сеть, в которой нейроны соединены с помощью весов. Выход нейрона является здесь взвешенной суммой его входов, которая преобразована с помощью нелинейной функции (подробности см. гл. 2). Для обуче­ния сети может быть использована следующая процедура: 1. Предъявить множество входов и вычислить получа­ющиеся выходы. 2. Сравнить эти выходы с желаемыми выходами i вычислить величину разности между ними. Общепринятый метод состоит в нахождении разности между фактическим i желаемым выходами для каждого элемента обучаемой пары возведение разностей в квадрат и нахождение суммы этих квадратов. Целью обучения является минимизация это разности, часто называемой целевой функцией. 3. Выбрать вес случайным образом и подкорректировать его на небольшое случайное значение. Если коррек­ция помогает (уменьшает целевую функцию), то сохранит; ее, в противном случае вернуться к первоначальном: значению веса. 4. Повторять шаги с 1 до 3 до тех пор, пока сеть не будет обучена в достаточной степени. Этот процесс стремится минимизировать целевую функцию, но может попасть, как в ловушку, в неудачное решение. На рис. 5.2 показано, как это может иметь место в системе с единственным весом. Допустим, что первоначально вес взят равным значению в точке А. Если случайные шаги по весу малы, то любые отклонения от точки А увеличивают целевую функцию и будут отвергнуты. Лучшее значение веса, принимаемое в точке В, никогда не будет найдено, и система будет поймана в ловушку ло­кальным минимумом, вместо глобального минимума в точке В. Если же случайные коррекции веса очень велики, то как точка А, так и точка В будут часто посещаться, но то же самое будет иметь место и для каждой другой точ­ки. Вес будет меняться так резко, что он никогда не установится в желаемом минимуме. Полезная стратегия для избежания подобных проблем состоит в больших начальных шагах и постепенном умень­шении размера среднего случайного шага. Это позволяет сети вырываться из локальных минимумов и в то же время гарантирует .окончательную стабилизацию сети. Ловушки локальных минимумов досаждают всем алго­ритмам обучения, основанным на поиске минимума, включая персептрон и сети обратного распространения, и пред­ставляют серьезную и широко распространенную трудность, которой часто не замечают. Стохастические методы позво­ляют решить эту проблему. Стратегия коррекции весов, вынуждающая веса принимать значение глобального оптиму­ма в точке В, возможна. В качестве объясняющей аналогии предположим, что на рис. 5.2 изображен шарик на поверхности в коробке. Если коробку сильно потрясти в горизонтальном направле­нии, то шарик будет быстро перекатываться от одного края к другому. Нигде не задерживаясь, в каждый момент шарик будет с равной вероятностью находиться в любой точке поверхности. Если постепенно уменьшать силу встряхивания, то будет достигнуто условие, при котором шарик будет на короткое время «застревать» в точке В. При еще более слабом встряхивании шарик будет на короткое время оста­навливаться как в точке А, так и в точке В. При непре­рывном уменьшении силы встряхивания будет достигнута критическая точка, когда сила встряхивания достаточна для перемещения шарика из точки А в точку В, но недо статочна для того, чтобы шарик мог вскарабкаться из В в А. Таким образом, окончательно шарик остановится в точке глобального минимума, когда амплитуда встряхива­ния уменьшится до нуля. Искусственные нейронные сети могут обучаться по существу тем же самым образом посредством случайной коррекции весов. Вначале делаются большие случайные коррекции с сохранением только тех изменений весов, которые уменьшают целевую функцию. Затем средний размер шага постепенно уменьшается, и глобальный минимум в конце концов достигается. Это сильно напоминает отжиг металла, поэтому для ее описания часто используют термин «имитация отжига». В металле, нагретом до температуры, превышающей его точку плавления, атомы находятся в сильном беспорядоч­ном движении. Как и во всех физических системах, атомы стремятся к состоянию минимума энергии (единому крис­таллу в данном случае), но при высоких температурах энергия атомных движений препятствует этому. В процессе постепенного охлаждения металла возникают все более низкоэнергетические состояния, пока в конце концов не будет достигнуто наинизшее из возможных состояний, глобальный минимум. В процессе отжига распределение энергетических уровней описывается следующим соотноше­нием: P(e) a exp (-e / kT) где Р(е) - вероятность того, что система находится в состоянии с энергией е, k - постоянная Больцмана; Т - температура по шкале Кельвина. При высоких температурах Р(е) приближается к еди­нице для всех энергетических состояний. Таким образом, высокоэнергетическое состояние почти столь же вероятно, как и низкоэнергетическое. По мере уменьшения темпера­туры вероятность высокоэнергетических состояний умень­шается по сравнению с низкоэнергетическими. При прибли­жении температуры к нулю становится весьма маловероят­ным, чтобы система находилась в высокоэнергетическом состоянии. Больцмановское обучение Этот стохастический метод непосредственно применим к обучению искусственных нейронных сетей: 1. Определить переменную Т, представляющую искусс­твенную температуру. Придать Т большое начальное значе­ние. 2. Предъявить сети множество входов и вычислить выходы и целевую функцию. 3. Дать случайное изменение весу и пересчитать выход сети и изменение целевой функции в соответствии со сделанным изменением веса. 4. Если целевая функция уменьшилась (улучшилась), то сохранить изменение веса. Если изменение веса приводит к увеличению целевой функции, то вероятность сохранения этого изменения вычисляется с помощью распределения Больцмана: P(c) = exp (-c / kT) (5.2) где Р(е) - вероятность изменения с в целевой функции; k - константа, аналогичная константе Больцмана, выбира­емая в зависимости от задачи; Т - искусственная темпе­ратура. Выбирается случайное число /• из равномерного рас пределения от нуля до единицы. Если Р(с) больше, чем г, то изменение сохраняется, в противном случае величина веса возвращается к предыдущему значению. Это позволяет системе делать случайный шаг в на­правлении, портящем целевую функцию, позволяя ей тем самым вырываться из локальных минимумов, где любой малый шаг увеличивает целевую функцию. Для завершения больцмановского обучения повторяют шаги 3 и 4 для каждого из весов сети, постепенно умень­шая температуру Т, пока не будет достигнуто допустимо низкое значение целевой функции. В этот момент предъ­является другой входной вектор и процесс обучения пов­торяется. Сеть обучается на всех векторах обучающего множества, с возможным повторением, пока целевая функ­ция не станет допустимой для всех них. Величина случайного изменения веса на шаге 3 может определяться различными способами. Например, подобно тепловой системе весовое изменение w может выбираться в соответствии с гауссовским распределением: P(w) = ехр(- w2 /T2 ), (5.3) где P(w ) - вероятность изменения веса на величину w, Т - искусственная температура. Такой выбор изменения веса приводит к системе, аналогичной [3]. Так как нужна величина изменения веса Dw, а не вероятность изменения веса, имеющего величину w, то метод Монте-Карло может быть использован следующим образом: 1. Найти кумулятивную вероятность, соответствующую P(w ). Это есть интеграл от P(w ) в пределах от 0 до w. Так как в данном случае P(w) не может быть проинтегри­рована аналитически, она должна интегрироваться числен­но, а результат необходимо затабулировать. 2. Выбрать случайное число из равномерного распре­деления на интервале (0,1). Используя эту величину в качестве значения P(w), найти в таблице соответствующее значение для величины изменения веса. Свойства машины Больцмана широко изучались. В работе [1] показано, что скорость уменьшения температу­ры должна быть обратно пропорциональна логарифму време­ни, чтобы была достигнута сходимость к глобальному минимуму. Скорость охлаждения в такой системе выражает­ся следующим образом: T(t) = T0 /log(1 + t), (5.4) где T(t) - искусственная температура как функция вре­мени; Т 0 - начальная искусственная температура; t - искусственное время. Этот разочаровывающий результат предсказывает очень медленную скорость охлаждения (и данные вычисле­ния). Этот вывод подтвердился экспериментально. Машины Больцмана часто требуют для обучения очень большого ресурса времени. Обучение Коши В работе [6] развит метод быстрого обучения подоб­ных систем. В этом методе при вычислении величины шага распределение Больцмана заменяется на распределение Коши. Распределение Коши имеет, как показано на рис. .5.3, более длинные «хвосты», увеличивая тем самым вероятность больших шагов. В действительности распреде­ление Коши имеет бесконечную (неопределенную) диспер­сию. С помощью такого простого изменения максимальная скорость уменьшения температуры становится обратно пропорциональной линейной величине, а не логарифму, как для алгоритма обучения Больцмана. Это резко уменьшает время обучения. Эта связь может быть выражена следующим образом: T(t) = T0 /(1 + t) (5.5) Распределение Коши имеет вид P(x) = T(t) / [T(t)2 + x2 ] , где Р(х) есть вероятность шага величины х. Рис. 5.3. Распределение Коши и распределение Больцмана. В уравнении (5.6) Р(х) может быть проинтегрирована стандартными методами. Решая относительно х, получаем xc = р{ T(t)tg[P (х)]), (5.7) где р - коэффициент скорости обучения; х c - изменение веса. Теперь применение метода Мойте Карло становится очень простым. Для нахождения х в этом случае выбирает­ся случайное число из равномерного распределения на открытом интервале (- p/2, p /2) (необходимо ограничить функцию тангенса). Оно подставляется в формулу (5.7) в качестве Р(х), и с помощью текущей температуры вычисля­ется величина шага. Метод искусственной теплоемкости Несмотря на улучшение, достигаемое с помощью мето­да Коши, время обучения может оказаться все еще слишком большим. Способ, уходящий своими корнями в термодинами­ку, может быть использован для ускорения этого процес­са. В этом методе скорость уменьшения температуры изменяется в соответствии с искусственной «теплоемкостью», вычисляемой в процессе обучения. Во время отжига металла происходят фазовые перехо­ды, связанные с дискретными изменениями уровней энергии. При каждом фазовом переходе может иметь место резкое изменение величины, называемой теплоемкостью. Теплоемкость определяется как скорость изменения темпе­ратуры с энергией. Изменения теплоемкости происходят из-за попадания системы в локальные энергетические минимумы. Искусственные нейронные сети проходят аналогичные фазы в процессе обучения. На границе фазового перехода искусственная теплоемкость может скачкообразно изме­ниться. Эта псевдотеплоемкость определяется как средняя скорость изменения температуры с целевой функцией. В примере шарика в коробке сильная начальная встряска делает среднюю величину целевой функции фактически не зависящей от малых изменений температуры, т.е. теплоем­кость близка к константе. Аналогично при очень низких температурах система замерзает в точке минимума, так что теплоемкость снова близка к константе. Ясно, что в каждой из этих областей допустимы сильные изменения температуры, так как не происходит улучшения целевой функции, При критических температурах небольшое уменьшение температуры приводит к большому изменению средней вели­ чины целевой функции. Возвращаясь к аналогии с шариком, при «температуре», когда шарик обладает достаточной средней энергией, чтобы перейти из А в В, но недоста­точной для перехода из В в А, средняя величина целевой функции испытывает скачкообразное изменение. В этих критических точках алгоритм должен изменять температуру очень медленно, чтобы гарантировать, что система не замерзнет случайно в точке А, оказавшись пойманной в локальный минимум. Критическая температура может быть обнаружена по резкому уменьшению искусственной теплоем­кости, т.е. средней скорости изменения температуры с целевой функцией. При достижении критической температу ры скорость изменения температуры должна замедляться, чтобы гарантировать сходимость к глобальному минимуму. ОБРАТНОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ОБУЧЕНИЕ КОШИ Обратное распространение обладает преимуществом прямого поиска, т.е. веса всегда корректируются в на­правлении, минимизирующем функцию ошибки. Хотя время обучения и велико, оно существенно меньше, чем при случайном поиске, выполняемом машиной Коши, когда нахо­дится глобальный минимум, но многие шаги выполняются в неверном направлении, что отнимает много времени. Соединение этих двух методов дало хорошие резуль­таты [7]. Коррекция весов, равная сумме, вычисленной алгоритмом обратного распространения, и случайный шаг, задаваемый алгоритмом Коши, приводят к системе, которая сходится и находит глобальный минимум быстрее, чем система, обучаемая каждым из методов в отдельности. Простая эвристика используется для избежания паралича сети, который может иметь место как при обратном рас­пространении, так и при обучении по методу Коши. Трудности, связанные с обратным распространением Несмотря на мощь, продемонстрированную методом обратного распространения, при его применении возникает ряд трудностей, часть из которых, однако, облегчается благодаря использованию нового алгоритма. Сходимость. В работе [5] доказательство сходимости дается на языке дифференциальных уравнений в частных производных, что делает его справедливым лишь в том случае, когда коррекция весов выполняется с помощью бесконечно малых шагов. Так как это ведет к бесконечному времени сходимости, то оно теряет силу в практичес­ких применениях. В действительности нет доказательства, что обратное распространение будет сходиться при конеч­ном размере шага. Эксперименты показывают, что сети обычно обучаются, но время обучения велико и непредска­зуемо. Локальные минимумы. В обратном распространении для коррекции весов сети используется градиентный спуск, продвигающийся к минимуму в соответствии с локальным наклоном поверхности ошибки. Он хорошо работает в слу­чае сильно изрезанных невыпуклых поверхностей, которые встречаются в практических задачах. В одних случаях локальный минимум является приемлемым решением, в дру­гих случаях он неприемлем. Даже после того как сеть обучена, невозможно ска­зать, найден ли с помощью - обратного распространения глобальный минимум. Если решение неудовлетворительно, приходится давать весам новые начальные случайные зна­чения и повторно обучать сеть без гарантии, что обуче­ние закончится на этой попытке или что глобальный мини­мум вообще будет когда либо найден. Паралич. При некоторых условиях сеть может при обучении попасть в такое состояние, когда модификация весов не ведет к действительным изменениям сети. Такой «паралич сети» является серьезной проблемой: один раз возникнув, он может увеличить время обучения на несколько поряд­ков. Паралич возникает, когда значительная часть нейро­нов получает веса, достаточно большие, чтобы дать боль­шие значения NET. Это приводит к тому, что величина OUT приближается к своему предельному значению, а производ­ная от сжимающей функции приближается к нулю. Как мы видели, алгоритм обратного распространения при вычисле­нии величины изменения веса использует эту производную в формуле в качестве коэффициента. Для пораженных пара­личом нейронов близость производной к нулю приводит к тому, что изменение веса становится близким к нулю. Если подобные условия возникают во многих нейронах сети, то обучение может замедлиться до почти полной остановки. Нет теории, способной предсказывать, будет ли сеть парализована во время обучения или нет. Эксперименталь­но установлено, что малые размеры шага реже приводят к параличу, но шаг, малый для одной задачи, может ока­заться большим для другой. Цена же паралича может быть высокой. При моделировании многие часы машинного време­ни могут уйти на то, чтобы выйти из паралича. Трудности с алгоритмом обучения Коши Несмотря на улучшение скорости обучения, даваемое машиной Коши по сравнению с машиной Больцмана, время сходимости все еще может в 100 раз превышать время для алгоритма обратного распространения. Отметим, что сете­вой паралич особенно опасен для алгоритма обучения Коши, в особенности для сети с нелинейностью типа логи­стической функции. Бесконечная дисперсия распределения Коши приводит к изменениям весов неограниченной величи­ны. Далее, большие изменения весов будут иногда прини­маться даже в тех случаях, когда они неблагоприятны, часто приводя к сильному насыщению сетевых нейронов с вытекающим отсюда риском паралича. Комбинирование обратного распространения с обучением Коши Коррекция весов в комбинированном алгоритме, ис­пользующем обратное распространение и обучение Коши, состоит из двух компонент: (1) направленной компоненты, вычисляемой с использованием алгоритма обратного рас­пространения, и (2) случайной компоненты, определяемой распределением Коши. Эти компоненты вычисляются для каждого веса, и их сумма является величиной, на которую изменяется вес. Как и в алгоритме Коши, после вычисления изменения веса вычисляется целевая функция. Если имеет место улучше­ние, изменение сохраняется. В противном случае оно сохраняется с вероятностью, определяемой распределением Больцмана. Коррекция веса вычисляется с использованием пред­ставленных ранее уравнений для каждого из алгоритмов: wmn,k (n+1) = wmn,k (n) + h [ a D wmn,k (n) + (1 - a ) d n,k OUTm,i ] + (1 - h )xc , где h- коэффициент, управляющий относительными величи­нами Коши и обратного распространения в компонентах весового шага. Если h приравнивается нулю, система становится полностью машиной Коши. Если h приравнивает­ся единице, система становится машиной обратного рас­пространения. Изменение лишь одного весового коэффициента между вычислениями весовой функции неэффективно. Оказалось, что лучше сразу изменять все веса целого слоя, хотя для некоторых задач может оказаться выгоднее иная страте­гия. Преодоление сетевого паралича комбинированным методом обучения. Как и в машине Коши, если изменение веса ухудшает целевую функцию, - с помощью распределения Больцмана решается, сохранить ли новое значение веса или восстановить предыдущее значение. Таким образом, имеется конечная вероятность того, что ухудшающее мно­жество приращений весов будет сохранено. Так как рас­пределение Коши имеет бесконечную дисперсию (диапазон изменения тангенса простирается от до на облас­ти определения), то весьма вероятно возникновение боль­ших приращений весов, часто приводящих к сетевому пара­личу. Очевидное решение, состоящее в ограничении диапа­зона изменения весовых шагов, ставит вопрос о математи­ческой корректности полученного таким образом алгорит­ма. В работе [6] доказана сходимость системы к глобаль­ному минимуму лишь для исходного алгоритма. Подобного доказательства при искусственном ограничении размера шага не существует. В действительности экспериментально выявлены случаи, когда для реализации некоторой функции требуются большие веса, и два больших веса, вычитаясь, дают малую разность. Другое решение состоит в рандомизации весов тех нейронов, которые оказались в состоянии насыщения. Недостатком его является то, что оно может серьезно нарушить обучающий процесс, иногда затягивая его до бесконечности. Для решения проблемы паралича был найден метод, не нарушающий достигнутого обучения. Насыщенные нейроны выявляются с помощью измерения их сигналов О П Т. Когда величина OUT приближается к своему предельному значе­нию, положительному или отрицательному, на веса, пита­ющие этот нейрон, действует сжимающая функция. Она подобна используемой для получения нейронного сигнала OUT, за исключением того, что диапазоном ее изменения является интервал (+ 5,- 5) или другое подходящее мно­жество. Тогда модифицированные весовые значения равны Wmn = -5+10/[1 + ехр(- Wmn /5)]. Эта функция сильно уменьшает величину очень боль­ших весов, воздействие на малые веса значительно более слабое. Далее она поддерживает симметрию, сохраняя небольшие различия между большими весами. Эксперимен­тально было показано, что эта функция выводит нейроны из состояния насыщения без нарушения достигнутого в сети обучения. Не было затрачено серьезных усилий для оптимизации используемой функции, другие значения конс­тант могут оказаться лучшими. Экспериментальные результаты. Комбинированный алгоритм, использующий обратное распространение и обучение Коши, применялся для обучения нескольких больших сетей. На­пример, этим методом была успешно обучена система, распознающая рукописные китайские иероглифы [6]. Все же время обучения может оказаться большим (приблизительно 36 ч машинного времени уходило на обучение). В другом эксперименте эта сеть обучалась на задаче ИСКЛЮЧАЮЩЕЕ ИЛИ, которая была использована в качестве теста для сравнения с другими алгоритмами. Для сходимо­сти сети в среднем требовалось около 76 предъявлений обучающего множества. В качестве сравнения можно ука­зать, что при использовании обратного распространения в среднем требовалось около 245 предъявлений для решения этой же задачи [5] и 4986 итераций при использовании обратного распространения второго порядка. Ни одно из обучений не привело к локальному мини­муму, о которых сообщалось в [5]. Более того, ни одно из 160 обучений не обнаружило неожиданных патологий, сеть всегда правильно обучалась. Эксперименты же с чистой машиной Коши привели к значительно большим временам обучения. Например, при р=0,002 для обучения сети в среднем требовалось около 2284 предъявлений обучающего множества. Обсуждение Комбинированная сеть, использующая обратное рас­пространение и обучение Коши, обучается значительно быстрее, чем каждый из алгоритмов в отдельности, и относительно нечувствительна к величинам коэффициентов. Сходимость к глобальному минимуму гарантируется алгори­тмом Коши, в сотнях экспериментов по обучению сеть ни разу не попадала в ловушки локальных минимумов. Пробле­ма сетевого паралича была решена с помощью алгоритма селективного сжатия весов, который обеспечил сходимость во всех предъявленных тестовых задачах без существенно­го увеличения обучающего времени. Несмотря на такие обнадеживающие результаты, метод еще не исследован до конца, особенно на больших зада­чах. Значительно большая работа потребуется для опреде­ления его достоинств и недостатков. Глава 6 Сети Хопфилда Сети, рассмотренные в предыдущих главах, не имели обратных связей, т.е. связей, идущих от выходов сетей и их входам. Отсутствие обратной связи гарантирует безу­словную устойчивость сетей. Они не могут войти в режим, когда выход беспрерывно блуждает от состояния к состоя­нию и не пригоден к использованию. Но это весьма жела­тельное свойство достигается не бесплатно, сети без обратных связей обладают более ограниченными возможнос­тями по сравнению с сетями с обратными связями. Так как сети с обратными связями имеют пути, пере­дающие сигналы от выходов к входам, то отклик таких сетей является динамическим, т.е. после приложения нового входа вычисляется выход и, передаваясь по сети обратной связи, модифицирует вход. Затем выход повторно вычисляется, и процесс повторяется снова и снова. Для устойчивой сети последовательные итерации приводят к все меньшим изменениям выхода, пока в конце концов выход не становится постоянным. Для многих сетей про­цесс никогда не заканчивается, такие сети называют неустойчивыми. Неустойчивые сети обладают интересными свойствами и изучались в качестве примера хаотических систем. Однако такой большой предмет, как хаос, нахо­дится за пределами этой книги. Вместо этого мы сконцен­трируем внимание на устойчивых сетях, т.е. на тех, которые в конце концов дают постоянный выход. Проблема устойчивости ставила в тупик первых ис­следователей. Никто не был в состоянии предсказать, какие из сетей будут устойчивыми, а какие будут нахо­диться в постоянном изменении. Более того, проблема представлялась столь трудной, что многие исследователи были настроены пессимистически относительно возможности ее решения. К счастью, в работе [2] была получена тео­рема, описавшая подмножество сетей с обратными связями, выходы которых в конце концов достигают устойчивого состояния. Это замечательное достижение открыло дорогу дальнейшим исследованиям и сегодня многие ученые зани­маются исследованием сложного поведения и возможностей этих систем. Дж. Хопфилд сделал важный вклад как в теорию, так и в применение систем с обратными связями. Поэтому некоторые из конфигураций известны как сети Хопфилда. Из обзора литературы видно, что исследованием этих и сходных систем занимались многие. Например, в работе [ 4] изучались общие свойства сетей, аналогичных многим, рассмотренным здесь. Работы, цитируемые в списке лите­ратуры в конце главы, не направлены на то, чтобы дать исчерпывающую библиографию по системам с обратными связями. Скорее они являются лишь доступными источника­ми, которые могут служить для объяснения, расширения и обобщения содержимого этой книги. КОНФИГУРАЦИИ СЕТЕЙ С ОБРАТНЫМИ СВЯЗЯМИ На рис. 6.1 показана сеть с обратными связями, состоящая из двух слоев. Способ представления несколько отличается от использованного в работе Хопфилда и дру­гих, но эквивалентен им с функциональной точки зрения, а также хорошо связан с сетями, рассмотренными в преды­дущих главах. Нулевой слой, как и на предыдущих рисун­ках, не выполняет вычислительной функции, а лишь рас­пределяет выходы сети обратно на входы. Каждый нейрон первого слоя вычисляет взвешенную сумму своих входов, давая сигнал NET, который затем с помощью нелинейной функции F преобразуется в сигнал OUT. Эти операции сходны с нейронами других сетей (см. гл.2). Бинарные системы В первой работе Хопфилда [6] функция F была просто пороговой функцией. Выход такого нейрона равен единице, если взвешенная сумма выходов с других нейр онов больше порога Т., в противном случае она равна нулю. Он вычис­ляется следующим образом: (6.1) Состояние сети - это просто множество текущих значений сигналов OUT от всех нейронов. В первоначаль­ной сети Хопфилда состояние каждого нейрона менялось в дискретные случайные моменты времени, в последующей работе состояния нейронов могли меняться одновременно. Так как выходом бинарного нейрона может быть только ноль или единица (промежуточных уровней нет), то теку­щее состояние сети является двоичным числом, каждый бит которого является сигналом OUT некоторого нейрона. Функционирование сети легко визуализируется геоме­трически. На рис. 6.2 а показан случай двух нейронов в выходном слое, причем каждой вершине квадрата соответс­твует одно из четырех состояний системы (00, 01, 10, II). На рис. 6.2 б показана трехнейронная система, представленная кубом (в трехмерном пространстве), имею­щим восемь вершин, каждая из которых помечена трехбито­вым бинарным числом. В общем случае система с п нейро­нами имеет 2n различных состояний и представляется fi-мерным гиперкубом. Рис. 6.2 а. Два нейрона порождают систему с четырьмя состояниями. Рис. 6.2 б. Три нейрона порождают с истему с восемью состояниями. Когда подается новый входной вектор, сеть перехо­дит из вершины в вершину, пока не стабилизируется. Устойчивая вершина определяется сетевыми весами, теку­щими входами и величиной порога. Если входной вектор частично неправилен или неполон, то сеть стабилизирует­ся в вершине, ближайшей к желаемой. Устойчивость Как и в других сетях, веса между слоями в этой сети могут рассматриваться в виде матрицы W . В работе [2] показано, что сеть с обратными связями является устойчивой, если ее матрица симметрична и имеет нули на главной диагонали, т.е. если W ij = W ji и Wii = 0 для всех i. Устойчивость такой сети может быть доказана с помощью элегантного математического метода. Допустим, что найдена фун кция, которая всегда убывает при измене­нии состояния сети. В конце концов эта функция должна достичь минимума и прекратить изменение, гарантируя тем самым устойчивость сети. Такая функция, называемая функцией Ляпунова, для рассматриваемых сетей с обратны­ми связями может быть введена следующим образом: (6.2) где Е - искусственная энергия сети; wij - вес от выхода нейрона i к входу нейрона j; OUTj - выход нейрона j; Ij - внешний вход нейрона j; Т j - порог нейрона j. Изменение энергии Е, вызванное изменением состояния j -нейрона, есть (6.3) где d0U Tj - изменение выхода у-го нейрона. Допустим, что величина NET нейрона j больше поро­га. Тогда выражение в скобках будет положительным, а из уравнения (6.1) следует, что выход нейрона j должен измениться в положительную сторону (или остаться без изменения). Это значит, что d0UTj может быть только положительным или нулем и dЕ должно быть отрицательным. Следовательно, энергия сети должна либо уменьшиться, либо остаться без изменения. Далее, допустим, что величина NET меньше порога. Тогда величина d0UTj . может быть только отрицательной или нулем. Следовательно, опять энергия должна умень­шиться или остаться без изменения. И окончательно, если величина NET равна порогу, dj равна нулю и энергия остается без изменения. Это показывает, что любое изменение состояния нейрона либо уменьшит энергию, либо оставит ее без изменения. Благодаря такому непрерывному стремлению к уменьшению энергия в конце концов должна достигнуть минимума и прекратить изменение. По определению такая сеть является устойчивой. Симметрия сети является достаточным, но не необхо­димым условием для устойчивости системы. Имеется много устойчивых систем (например, все сети прямого дейст­вия!), которые ему не удовлетворяют. Можно продемонст­рировать примеры, в которых незначительное отклонение от симметрии может приводить к непрерывным осцилляциям. Однако приближенной симметрии обычно достаточно для устойчивости систем. Ассоциативная память Человеческая память ассоциативна, т.е. некоторое воспоминание может порождать большую связанную с ним область. Например, несколько музыкальных тактов могут вызвать целую гамму чувственных воспоминаний, включая пейзажи, звуки и запахи. Напротив, обычная компьютерная память является локально адресуемой, предъявляется адрес и извлекается информация по этому адресу. Сеть с обратной связью формирует ассоциативную память. Подобно человеческой памяти по заданной части нужной информации вся информация извлекается из «памя­ти». Чтобы организовать ассоциативную память с помощью сети с обратными связями, веса должны выбираться так, чтобы образовывать энергетические минимумы в нужных вершинах единичного гиперкуба. Хопфилд разработал ассоциативную память с непре­рывными выходами, изменяющимися в пределах от +1 до -1, соответствующих двоичным значениям 0 и 1. Запоминаемая информация кодируется двоичными векторами и хранится в весах согласно следующей формуле: (6.4) где т - число запоминаемых выходных векторов; d - номер запоминаемого выходного вектора; OUTi,d - i -компонента запоминаемого выходного вектора. Это выражение может стать более ясным, если заме­тить, что весовой массив W может быть найден вычислени­ем внешнего произведения каждого запоминаемого вектора с самим собой (если требуемый вектор имеет п компонент, то эта операция образует матрицу размером п х п) и суммированием матриц, полученных таким образом. Это может быть записано в виде W = (6.5) где Dj - i -й запоминаемый вектор-строка. Как только веса заданы, сеть может быть использо­вана для получения запомненного выходного вектора по данному входному вектору, который может быть частично неправильным или неполным. Для этого выходам сети сна­чала придают значения этого входного вектора. Затем входной вектор убирается и сети предоставляется возмож­ность «расслабиться», опустившись в ближайший глубокий минимум. Сеть идущая по локальному наклону функции энергии, может быть захвачена локальным минимумом, не достигнув наилучшего в глобальном смысле решения. Непрерывные системы В работе [7] рассмотрены модели с непрерывной активационной функцией F, точнее моделирующей биологический нейрон. В общем случае это S-образная или логис­тическая функция F(x) = 1 / (1+ exp(-lNET)) (6.6) где l - коэффициент, определяющий крутизну сигмоидальной функции. Если l велико, F приближается к описанной ранее пороговой функции. Небольшие значения l дают более пологий наклон. Как и для бинарных систем, устойчивость гарантиру­ется, если веса симметричны, т.е. wij =wji и wii =0 при всех i. Функция энергии, доказывающая устойчивость подобных систем, была сконструирована, но она не рас­сматривается здесь из-за своего концептуального сходст­ва с дискретным случаем. Интересующиеся читатели могут обратиться к работе [2] для более полного рассмотрения этого важного предмета. Если l велико, непрерывные системы функционируют подобно дискретным бинарным системам, окончательно стабилизируясь со всеми выходами, близкими нулю или единице, т.е. в вершине единичного гиперкуба. С умень­шением l устойчивые точки удаляются от вершин, последо­вательно исчезая по мере приближения l к нулю. На рис. 6.3 показаны линии энергетических уровней непре­рывной системы с двумя нейронами. Сети Хопфилда и машина Больцмана Недостатком сетей Хопфилда является их тенденция стабилизироваться в локальном, а не глобальном минимуме функции энергии. Эта трудность преодолевается в основ­ном с помощью класса сетей, известных под названием машин Больцмана, в которых изменения состоянии нейронов обусловлены статистическими, а не детерминированными закономерностями. Существует тесная аналогия между этими методами и отжигом металла, поэтому и сами методы часто называют имитацией отжига. Термодинамические системы Металл отжигают, нагревая его до температуры, превышающей точку его плавления, а затем давая ему медленно остыть. При высоких температурах атомы, обла­дая высокими энергиями и свободой перемещения, случай­ным образом принимают все возможные конфигурации. При постепенном снижении температуры энергии атомов умень­шаются, и система в целом стремится принять конфигура­цию с минимальной энергией. Когда охлаждение завершено, достигается состояние глобального минимума энергии. Рис 6.3. Линии энергетических уровней. При фиксированной температуре распределение энергий системы определяется вероятностным фактором Больцмана. ехр(-E / kT), где Е - энергия системы; k - постоянная Больцмана; Т - температура. Отсюда можно видеть, что имеется конечная вероятность того, что система обладает высокой энергией даже при низких температурах. Сходным образом имеется не­большая, но вычисляемая вероятность, что чайник с водой на огне замерзнет, прежде чем закипеть. Статистическое распределение энергий позволяет системе выходить из локальных минимумов энергии. В то же время вероятность высокоэнергетических состояний быстро уменьшается со снижением температуры. Следова­тельно, при низких температурах имеется сильная тенден­ция занять низкоэнергетическое состояние. Статистические сети Хопфилда Если правила изменения состояний для бинарной сети Хопфилда заданы статистически, а не детерминировано, как в уравнении (6.1), то возникает система, имитиру­ющая отжиг. Для ее реализации вводится вероятность изменения веса как функция от величины, на которую выход нейрона OUT превышает его порог. Пусть Ek=NETk - qk , где NETk - выход NET нейрона k, qk - порог нейрона k, и pk = 1/ [1 + ехр(-dEk / T )], (отметьте вероятностную функцию Больцмана в знаменате­ле), где Т - искусственная температура. В стадии функционирования искусственной температу­ре Т приписывается большое значение, нейроны устанавли­ваются в начальном состоянии, определяемом входным вектором, и сети предоставляется возможность искать минимум энергии в соответствии с нижеследующей процеду­рой: 1. Приписать состоянию каждого нейрона с вероят­ностью р значение единица, а с вероятностью 1 – р k - нуль. 2. Постепенно уменьшать искусственную температуру и повторять шаг 1, пока не будет достигнуто равновесие. Обобщенные сети Принцип машины Больцмана может быть перенесен на сети практически любой конфигурации, хотя устойчивость не гарантируется. Для этого достаточно выбрать одно множество нейронов в качестве входов и другое множество в качестве выходов. Затем придать входному множеству значения входного вектора и предоставить сети возмож­ность релаксировать в соответствии с описанными выше правилами 1 и 2. Процедура обучения для такой сети, описанная в [5], состоит из следующих шагов: 1. Вычислить закрепленные вероятности. а) придать входным и выходным нейронам значения обучающего вектора; б) предоставить сети возможность искать равнове­сие; в) записать выходные значения для всех нейронов; г) повторить шаги от а до в для всех обучающих векторов; д) вычислить вероятность Р + ij , т.е. по всему мно­жеству обучающих векторов вычислить вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице. 2. Вычислить незакрепленные вероятности. а) предоставить сети возможность «свободного дви­жения» без закрепления входов или выходов, начав со случайного состояния; б) повторить шаг 2а много раз, регистрируя значе­ния всех нейронов; в) вычислить вероятность Р - ij , т.е. вероятность того, что значения обоих нейронов равны единице. 3. Скорректировать веса сети следующим образом: dwij = h [ P+ ij – P- ij ] , где dwij . - изменение веса wij , h - коэффициент скорости обучения. ПРИЛОЖЕНИЯ Аналого-цифровой преобразователь . В недавних работах [8,10] рассматривалась электри­ческая схема, основанная на сети с обратной связью, реализующая четырехбитовый аналого-цифровой преобразо­ватель. На рис. 6.4 показана блок-схема этого устройст­ва с усилителями, выполняющими роль искусственных ней­ронов. Сопротивления, выполняющие роль весов, соединяют выход каждого нейрона с входами всех остальных. Чтобы удовлетворить условию устойчивости, выход нейрона не соединялся сопротивлением с его собственным входом, а веса брались симметричными, т.е. сопротивление от выхо­да нейрона i к входу нейрона j имело ту же величину, что и сопротивление от выхода нейрона j к входу нейрона i. Заметим, что усилители имеют прямой и инвертиро­ванный выходы. Это позволяет с помощью обычных положи­тельных сопротивлений реализовывать и те случаи, когда веса должны быть отрицательными. На рис. 6.4 показаны все возможные сопротивления, при этом никогда не возни­кает необходимости присоединять как прямой, так и ин­вертированный выходы нейрона к входу другого нейрона. В реальной системе каждый усилитель обладает ко­нечным входным сопротивлением и входной емкостью, что должно учитываться при расчете динамической характерис­тики. Для устойчивости сети не требуется равенства этих параметров для всех усилителей и их симметричности. Так как эти параметры влияют лишь на время получения реше­ния, а не на само решение, для упрощения анализа они исключены. Предполагается, что используется пороговая функция (предел сигмоидальной функции при X, стремящемся к бесконечности). Далее, все выходы изменяются в начале дискретных интервалов времени, называемых эпохами. В начале каждой эпохи исследуется сумма входов каждого нейрона. Если она больше порога, выход принимает единичное значение, если меньше - нулевое. На протяжении эпохи выходы нейронов не изменяются. Рис. 6.4. Четырехбитовый аналого-цифровой преобразователь, использующий сеть Хопфилда. Целью является такой выбор сопротивлений (весов), что непрерывно растущее напряжение X, приложенное к одновходовому терминалу, порождает множество из четы­рех выходов, представляющих двоичную запись числа, величина которого приближенно равна входному напряжению (рис. 6.5). Определим сначала функцию энергии следующим образом: (6.7) где Х - входное напряжение. Когда Е минимизировано, то получаются нужные выхо­ды. Первое выражение в скобках минимизируется, когда двоичное число, образованное выходами, наиболее близко (в среднеквадратичном смысле) к аналоговой величине входа X. Второе выражение в скобках обращается в нуль, когда все выходы равны 1 или 0, тем самым накладывая ограничение, что выходы принимают только двоичные зна­чения. Если уравнение (6.7) перегруппировать и сравнить с уравнением (6.2), то получим следующее выражение для весов: wij =-2i+j , yi =2i где wij - проводимость (величина, обратная сопротивле­нию) от выхода нейрона i к входу нейрона j (равная также проводимости от выхода нейрона j к входу нейрона 0) ; i j. - проводимость от входа Х к входу нейрона i. Чтобы получить схему с приемлемыми значениями сопротивлений и потребляемой мощности, все веса должны быть промасштабированы. Идеальная выходная характеристика, изображенная на рис. 6.5, будет реализована лишь в том случае, если входы устанавливаются в нуль перед выполнением преобра­зования. Если этого не делать, сеть может попасть в локальный минимум энергии и дать неверный выход. Задача коммивояжера Задача коммивояжера является оптимизационной зада­чей, часто возникающей на практике. Она может быть сформулирована следующим образом: для некоторой группы городов с заданными расстояниями между ними требуется найти кратчайший маршрут с посещением каждого города один раз и с возвращением в исходную точку. Было дока­зано, что эта задача принадлежит большому множеству задач, называемых «NP-полными» (недетерминистски поли­номиальными) [3]. Для NP-полных задач не известно луч­шего метода решения, чем полный перебор всех возможных вариантов, и, по мнению большинства математиков, мало­вероятно, чтобы лучший метод был когда либо найден. Так как такой полный поиск практически неосуществим для большого числа городов, то эвристические методы исполь­зуются для нахождения приемлемых, хотя и неоптимальных решений. Описанное в работе [8] решение, основанное на сетях с обратными связями, является типичным в этом отношении. Все же ответ получается так быстро, что в определенных случаях метод может оказаться полезным. Допустим, что города, которые необходимо посетить, помечены буквами А, В, С и D, а расстояния между парами городов есть dab , dbc и т.д. Решением является упорядоченное множество из n городов. Задача состоит в отображении его в вычисли­тельную сеть с использованием нейронов в режиме с боль­шой крутизной характеристики (l приближается к бесконе­чности). Каждый город представлен строкой из n нейро­нов. Выход одного и только одного нейрона из них равен единице (все остальные равны нулю). Этот равный единице выход нейрона показывает порядковый номер, в котором данный город посещается при обходе. На рис. 6.6 показан случай, когда город С посещается первым, город А - вторым, город D - третьим и город В - четвертым. Для такого представления требуется n2 нейронов - число, которое быстро растет с увеличением числа городов. Длина такого маршрута была бы равна dca + dad + ddb + dbc . Так как каждый город посещается только один раз и в каждый момент посещается лишь один город, то в каждой строке и в каждом столбце имеется по одной единице. Для задачи с п городами всего имеется п! различных маршрутов обхода. Если п = 60, то имеется 69 34155 х 1078 возможных маршрутов. Если принять во внимание, что в нашей галактике (Млечном Пути) имеете) лишь 1011 звезд, то станет ясным, что полный перебор всех возможных маршрутов для 1000 городов даже и. самом быстром в мире компьютере займет время, сравнимо с геологической эпохой. Продемонстрируем теперь, как сконструировать сет: для решения этой NP-полной проблемы. Каждый нейрон снабжен двумя индексами, которые соответствуют городу порядковому номеру его посещения в маршруте. Например OUTxj = 1 показывает, что город х был j-ым по порядку j - ым городом маршрута. функция энергии должна удовлетворять двум требованиям: во-первых, должна быть малой только для тех решений, которые имеют по одной единице в каждой строке и каждом столбце; во-вторых, должна оказывать предпочтение решениям с короткой длиной маршрута. Первое требование удовлетворяется введением следующей, состоящей из трех сумм, функции энергии: (6.9) где А, В и С- некоторые константы. Этим достигается выполнение следующих условий: 1. Первая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждая строка (город) содержит не более одной единицы. 2. Вторая тройная сумма равна нулю в том и только в том случае, если каждый столбец (порядковый номер посещения) содержит не более одной единицы. 3. Третья сумма равна нулю в том и только в том случае, если матрица содержит ровно п единиц. Второе требование - предпочтение коротким маршру­там - удовлетворяется с помощью добавления следующего члена к функции энергии: (6.10) Заметим, что этот член представляет собой длину любого допустимого маршрута. Для удобства индексы опре­деляются по модулю п, т.е. OUTn+j = OUTj , a D - некото­рая константа. При достаточно больших значениях А, В и С низко­энергетические состояния будут представлять допустимые маршруты, а большие значения D гарантируют, что будет найден короткий маршрут. Теперь зададим значения весов, т.е. установим соответствие между членами в функции энергии и членами общей формы (см. уравнение 6.2)). Получаем Wxi,yi = -Alxy (1-lij ) - Blij (1- lxy ) - C - Dlxy (lj,i+1 + lj,i-1 ) где lij = 1, если i = j, в противном случае lij = 0. Кроме того, каждый нейрон имеет смещающий вес х i , со­единенный с +1 и равный Сп. В работе [8] сообщается об эксперименте, в кото­ром задача коммивояжера была решена для 10 городов. В этом случае возбуждающая функция была равна OUT = 1/ 2[1 + th(NET/ u0 )]. Как показали результаты, 16 и 20 прогонов сошлись к допустимому маршруту и около 50% решений оказались крат­чайшими маршрутами, как это было установлено с помощью полного перебора. Этот результат станет более впечатля­ющим, если осознать, что имеется 181440 допустимых маршрутов. Сообщалось, что сходимость решений, полученных по методу Хопфилда для задачи коммивояжера, в сильной степени зависит от коэффициентов, и не имеется система­тического метода определения их значений [II]. В этой работе предложена другая функция энергии с единственным коэффициентом, значение которого легко определяется. В дополнение предложен новый сходящийся алгоритм. Можно ожидать, что новые более совершенные методы будут раз­рабатываться, так как полностью удовлетворительное решение нашло бы массу применений. ОБСУЖДЕНИЕ Локальные минимумы Сеть, выполняющая аналого-цифровое преобразование, всегда находит единственное оптимальное решение. Это обусловлено простой природой поверхности энергии в этой задаче. В задаче коммивояжера поверхность энергии силь­но изрезана, изобилует склонами, долинами и локальными минимумами и нет гарантии, что будет найдено глобальное оптимальное решение и что полученное решение будет допустимым. При этом возникают серьезные вопросы относи­тельно надежности сети и доверия к ее решениям. Эти недостатки сети смягчаются тем обстоятельством, что нахождение глобальных минимумов для NP-полных задач является очень трудной задачей, которая не может быть решена в приемлемое время никаким другим методом. Дру­гие методы значительно более медленны и дают не лучшие результаты. Скорость Способность сети быстро производить вычисления является ее главным достоинством. Она обусловлена высо­кой степенью распараллеливания вычислительного процес­са. Если сеть реализована на аналоговой электронике, то решение редко занимает промежуток времени, больший не­скольких постоянных времени сети. Более того, время сходимости слабо зависит от размерности задачи. Это резко контрастирует с более чем экспоненциальным ростом времени решения при использовании обычных подходов. Моделирование с помощью однопроцессорных систем не позволяет использовать преимущества параллельной архите­ктуры, но современные мультипроцессорные системы типа Connection Machine (65536 процессоров!) весьма много­обещающи для решения трудных задач. Функция энергии Определение функции энергии сети в зависимости от . задачи не является тривиальным. Существующие решения были получены с помощью изобретательности, математичес­кого опыта и таланта, которые не разбросаны в изобилии. Для некоторых задач существуют систематические методы нахождения весов сети. Эти методы излагаются в гл. 7. Емкость сети Актуальным предметом исследований является макси­мальное количество запоминаемой информации, которое может храниться в сети Хопфилда. Так как сеть из N двоичных нейронов может иметь 2n состояний, то исследо­ватели были удивлены, обнаружив, что максимальная ем­кость памяти оказалась значительно меньшей. Если бы могло запоминаться большое количество информационных единиц, то сеть не стабилизировалась бы на некоторых из них. Более того, она могла бы помнить то, чему ее не учили, т.е. могла стабилизироваться на решении, не являющемся требуемым вектором. Эти свойства ставили в тупик первых исследователей, которые не имели математических методов для предварительной оценки емко­сти памяти сети. Последние исследования пролили свет на эту пробле­му. Например, предполагалось, что максимальное коли­чество запоминаемой информации, которое может хранить­ся в сети из N нейронов и безошибочно извлекаться, меньше чем cN2 , где с - положительная константа, боль­шая единицы. Хотя этот предел и достигается в некоторых случаях, в общем случае он оказался слишком оптимисти­ческим. В работе [4] было экспериментально показано, что в общем случае предельное значение емкости ближе к 0,15N. В работе [1] было показано, что число таких состояний не может превышать N, что согласуется с на­блюдениями над реальными системами и является наилучшей на сегодняшний день оценкой. ВЫВОДЫ Сети с обратными связями являются перспективным объектом для дальнейших исследований. Их динамическое поведение открывает новые интересные возможности и ставит специфические проблемы. Как отмечается в гл. 9, эти возможности и проблемы сохраняются при реализации нейронных сетей в виде оптических систем. Глава 7 Двунаправленная ассоциативная память Память человека часто является ассоциативной; один предмет напоминает нам о другом, а этот другой о треть­ем. Если позволить нашим мыслям, они будут перемещаться от предмета к предмету по цепочке умственных ассоци­аций. Кроме того, возможно использование способности к ассоциациям для восстановления забытых образов. Если мы забыли, где оставили свои очки, то пытаемся вспомнить, где видели их в последний раз, с кем разговаривали и что делали. Посредством этого устанавливается конец цепочки ассоциаций, что позволяет нашей памяти соеди­нять ассоциации для получения требуемого образа. Ассоциативная память, рассмотренная в гл. 6, явля­ется, строго говоря, автоассоциативной, это означает, что образ может быть завершен или исправлен, но не может быть ассоциирован с другим образом. Данный факт является результатом одноуровневой структуры ассоциа­тивной памяти, в которой вектор появляется на выходе тех же нейронов, на которые поступает входной вектор. Двунаправленная ассоциативная память (ДАП) являет­ся гетероассоциативной; входной вектор поступает на один набор нейронов, а соответствующий выходной вектор вырабатывается на другом наборе нейронов. Как и сеть Хопфилда, ДАП способна к обобщению, вырабатывая пра­вильные реакции, несмотря на искаженные входы. Кроме того, могут быть реализованы адаптивные версии ДАП, выделяющие эталонный образ из зашумленных экземпляров. Эти возможности сильно напоминают процесс мышления человека и позволяют искусственным нейронным сетям сделать шаг в направлении моделирования мозга. В последних публикациях [9,12] представлено не­сколько форм реализации двунаправленной ассоциативной памяти. Как большинство важных идей, изложенные в этих работах идеи имеют глубокие корни; например, в работе Гроссберга [6] представлены некоторые важные для ДАП концепции. В данной работе ссылки приводятся не с целью разрешения вопроса о приоритете исследовательских работ, а исключительно для освещения их вклада в исследовательскую тематику. СТРУКТУРА ДАП Рис. 7.1. Конфигурация двунаправленной ассоциативной памяти. На рис. 7.1 приведена базовая конфигурация ДАП. Эта конфигурация существенно отличается от используемой в работе [9]. Она выбрана таким образом, чтобы подчерк­нуть сходство с сетями Хопфилда и предусмотреть увели­чения количества слоев. На рис. 7.1 входной вектор А обрабатывается матрицей весов W сети, в результате чего вырабатывается вектор выходных сигналов нейронов В. Вектор В затем обрабатывается транспонированной матри­цей Wt весов сети, которая вырабатывает новые выходные сигналы, представляющие собой новый входной вектор А. Этот процесс повторяется до тех пор, пока сеть не достигнет стабильного состояния, в котором ни вектор А, ни вектор В не изменяются. Заметим, что нейроны в слоях 1 и 2 функционируют, как и в других парадигмах, вычис­ляя сумму взвешенных входов и вычисляя по ней значение функции активации F. Этот процесс может быть выражен следующим образом: (7.1) или в векторной форме: B = F( AW ) (7.2) где В - вектор выходных сигналов нейронов слоя 2, А -вектор выходных сигналов нейронов слоя 1, W - матрица весов связей между слоями 1 и 2, F - функция активации.Аналогично A = F (BWt ) (7.3) где Wt является транспозицией матрицы W. Как отмечено в гл. 1, Гроссберг показал преимущес­тва использования сигмоидальной (логистической) функции активации OUTi = 1 / ( 1 + e- l NETi ) где OUTi - выход нейрона i, NETi - взвешенная сумма входных сигналов нейрона i, l - константа, определяющая степень кривизны. В простейших версиях ДАП значение константы l выбирается большим, в результате чего функция активации приближается к простой пороговой функции. В дальнейших рассуждениях будем предполагать, что используется поро­говая функция активации. Примем также, что существует память внутри каждого нейрона в слоях 1 и 2 и что выходные сигналы нейронов изменяются одновременно с каждым тактом синхронизации, оставаясь постоянными между этими тактами. Таким обра­зом, поведение нейронов может быть описано следующими правилами: OUTi (n+1) = 1, если NETi (n)>0, OUTi (n+1) = 0, если NETi (n)<0, OUTi (n+1) = OUT(n), если NETi (n)=0, где OUTi (n) представляет собой величину выходного сиг­нала нейрона i в момент времени п. Заметим, что в описанных ранее сетях слой 0 не производит вычислений и не имеет памяти; он является только средством распределения выходных сигналов слоя 2 к элементам матрицы Wt . ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЗАПОМНЕННЫХ АССОЦИАЦИЙ Долговременная память (или ассоциации) реализуется в весовых массивах W и Wt . Каждый образ состоит из двух векторов: вектора А, являющегося выходом слоя 1, и вектора В, ассоциированного образа, являющегося выходом слоя 2. Для "восстановления ассоциированного образа вектор А или его часть кратковременно устанавливаются на выходах слоя 1. Затем вектор А удаляется и сеть приводится в стабильное состояние, вырабатывая ассоции­рованный вектор В на выходе слоя 2. Затем вектор В воздействует через транспонированную матрицу Wt , вос­производя воздействие исходного входного вектора А на выходе слоя 1. Каждый такой цикл вызывает уточнение выходных векторов слоя 1 и 2 до тех пор, пока не будет достигнута точка стабильности в сети. Эта точка может быть рассмотрена как резонансная, так как вектор пере­дается обратно и вперед между слоями сети, всегда обра­батывая текущие выходные сигналы, но больше не изменяя их. Состояние нейронов представляет собой кратковремен­ную память (КП), так как оно может быстро изменяться при появлении другого входного вектора. Значения коэффициентов весовой матрицы образуют долговременную память и могут изменяться только на более длительном отрезке времени, используя представленные ниже в дан­ном разделе методы. В работе [9] показано, что сеть функционирует в направлении минимизации функции энергии Ляпунова в основном таким же образом, как и сети Хопфилда в процессе сходимости (см. гл. 6). Таким образом, каждый цикл модифицирует систему в направлении энергетического минимума, расположение которого определяется значениями весов. Рис. 7.2. Энергетическая поверхность двунаправленной ассоциативной памяти. Этот процесс может быть визуально представлен в форме направленного движения мяча по резиновой ленте, вытянутой над столом, причем каждому запомненному обра­зу соответствует точка, «вдавленная» в направлении поверхности стола. Рис. 7.2 иллюстрирует данную анало­гию с одним запомненным образом. Данный процесс форми­рует минимум гравитационной энергии в каждой точке, соответствующей запомненному образу, с соответствующим искривлением поля притяжения в направлении к данной точке. Свободно движущийся мяч попадает в поле притяже­ния и в результате будет двигаться в направлении энер­гетического минимума, где и остановится. КОДИРОВАНИЕ АССОЦИАЦИЙ Обычно сеть обучается распознаванию множества образов. Обучение производится с использованием обуча­ющего набора, состоящего из пар векторов А и В. Процесс обучения реализуется в форме вычислений; это означает, что весовая матрица вычисляется как сумма произведений всех векторных пар обучающего набора. В символьной форме Предположим, что все запомненные образы представ­ляют собой двоичные векторы. Это ограничение покажется менее строгим, если вспомнить, что все содержимое Биб­лиотеки Конгресса может быть закодировано в один очень длинный двоичный вектор. В работе [II] показана возмож­ность достижения более высокой производительности при использовании биполярных векторов. При этом векторная компонента, большая чем 0, становится 1, а компонента, меньшая или равная 0, становится -1. Предположим, что требуется обучить сеть с целью запоминания трех пар двоичных векторов, причем векторы Аi имеют размерность такую же, как и векторы Вi . Надо отметить, что это не является необходимым условием для работы алгоритма; ассоциации могут быть сформированы и между векторами различной размерности. Вычисляем весовую матрицу Далее прикладывая входной вектор А = (1,0,0), вычисляем выходной вектор О Используя пороговое правило bi = 1 , если Oi >0, bi = 0 , если Oi <0, bi не изменяется , если Oi =0 Вычисляем что является требуемой ассоциацией. Затем, подавая вектор B’1 через обратную связь на вход первого слоя к Wt , получаем что дает значение (1,0,0) после применения пороговой функции, образуя величину вектора А1 . Этот пример показывает, как входной вектор А с использованием матрицы W производит выходной вектор В. В свою очередь вектор В с использованием матрицы Wt производит вектор А, таким образом в системе формирует­ся устойчивое состояние и резонанс. ДАП обладает способностью к обобщению. Например, если незавершенный или частично искаженный вектор пода­ется в качестве А, сеть имеет тенденцию к выработке запомненного вектора В, который в свою очередь стремит­ся исправить ошибки в А. Возможно, для этого потребует­ся несколько проходов, но сеть сходится к воспроизведе­нию ближайшего запомненного образа. Системы с обратной связью могут иметь тенденцию к колебаниям; это означает, что они могут переходить от состояния к состоянию, никогда не достигая стабильнос­ти. В [9] доказано, что все ДАП безусловно стабильны при любых значениях весов сети. Это важное свойство возникает из отношения транспонирования между двумя весовыми матрицами и означает, что любой набор ассоциа­ций может быть изучен без риска возникновения неста­бильности. Существует взаимосвязь между ДАП и рассмотренными в гл. 6 сетями Хопфилда. Если весовая матрица W являет­ся квадратной и симметричной, то W=Wt . В этом случае, если слои 1 и 2 являются одним и тем же набором нейро­нов, ДАП превращается в автоассоциативную сеть Хопфил­да. ЕМКОСТЬ ПАМЯТИ Как и сети Хопфилда, ДАП имеет ограничения на максимальное количество ассоциаций, которые она может точно воспроизвести. Если этот лимит превышен, сеть может выработать неверный выходной сигнал, воспроизводя ассоциации, которым не обучена. В работе [9] приведены оценки, в соответствии с которыми количество запомненных ассоциаций не может превышать количества нейронов в меньшем слое. При этом предполагается, что емкость памяти максимизирована посредством специального кодирования, при котором коли­чество компонент со значениями +1 равно количеству компонент со значениями -1 в каждом биполярном векторе. Эта оценка оказалась слишком оптимистичной. Работа [13] по оценке емкости сетей Хопфилда может быть легко расширена для ДАП. Можно показать, что если L векторов выбраны случайно и представлены в указанной выше форме, и если L меньше чем n /(2 1og2 n), где п - количество нейронов в наименьшем слое, тогда все запомненные обра­зы, за исключением «малой части», могут быть восстанов­лены. Например, если п = 1024, тогда L должно быть меньше 51. Если все образы должны восстанавливаться, L должно быть меньше n /(2 1og2 n), то есть меньше 25. Эти, скорее озадачивающие, результаты показывают, что боль­шие системы могут запоминать только умеренное количест­во ассоциаций. В работе [7] показано, что ДАП может иметь до 2n стабильных состояний, если пороговое значение Т выбира­ется для каждого нейрона. Такая конфигурация, которую авторы назвали негомогенной ДАП, является расширением исходной гомогенной ДАП, в которой все пороги были нулевыми. Модифицированная передаточная функция нейрона принимает в этом случае следующий вид: OUTi (n+l)=l, если NETi (n)>Ti , OUTi (n+l)=l, если NETi (n)<Ti , OUTi (n+l)= OUTi (n), если NETi (n)=Ti , где OUTi (t) - выход нейрона i в момент времени t. Посредством выбора соответствующего порога для каждого нейрона количество стабильных состояний может быть сделано любым в диапазоне от 1 до 2, где п есть количество нейронов в меньшем слое. К сожалению, эти состояния не могут быть выбраны случайно; они определя­ются жесткой геометрической процедурой. Если пользова­тель выбирает L состояний случайным образом, причем L меньше (0,68)n2 /{[log2 (n)]+4}2 , и если каждый вектор имеет 4 + log2 n компонент, равных +1, и остальные, равные -1, то можно сконструировать негомогенную ДАП, имеющую 98% этих векторов в качестве стабильных состо­яний. Например, если п = 1024, L должно быть меньше 3637, что является существенным улучшением по сравнению с гомогенными ДАП, но это намного меньше 21024 возмож­ных состояния. Ограничение количества единиц во входных векторах представляет серьезную проблему, тем более, что теория, которая позволяет перекодировать произвольный набор векторов в такой "разреженный" набор, отсутствует. Возможно, однако, что еще более серьезной является проблема некорректной сходимости. Суть этой проблемы заключается в том, что сеть может не производить точных ассоциаций вследствие природы поля притяжения; об ее форме известно очень немногое. Это означает, что ДАП не является ассоциатором по отношению к ближайшему сосед­нему образу. В действительности она может производить ассоциации, имеющие слабое отношение ко входному векто­ру. Как и в случае гомогенных ДАП, могут встречаться ложные стабильные состояния и немногое известно об их количестве и природе. Несмотря на эти проблемы, ДАП остается объектом интенсивных исследований. Основная привлекательность ДАП заключается в ее простоте. Кроме того, она может быть реализована в виде СБИС (либо аналоговых, либо цифровых), что делает ее потенциально недорогой. Так как наши знания постоянно растут, ограничения ДАП могут быть сняты. В этом случае как в экспериментальных, так и в практических приложениях ДАП будет являться весьма перспективным и полезным классом искусственных нейрон­ных сетей. НЕПРЕРЫВНАЯ ДАП В предшествующем обсуждении нейроны в слоях 1 и 2 рассматривались как синхронные, каждый нейрон обладает памятью, причем все нейроны изменяют состояния одновре­менно под воздействием импульса от центральных часов. В асинхронной системе любой нейрон свободен изменять состояние в любое время, когда его вход предписывает это сделать. Кроме того, при определении функции активации нейрона использовался простой порог, тем самым образуя разрывность передаточной функции нейронов. Как синхрон­ность функционирования, так и разрывность функций, являются биологически неправдоподобными и совсем необя­зательными; непрерывные асинхронные ДАП отвергают синх­ронность и разрывность, но функционируют в основном аналогично дискретным версиям. Может показаться, что такие системы должны являться нестабильными. В [9] показано, что непрерывные ДАП являются стабильными (однако для них справедливы ограничения емкости, обсуж­денные ранее). В работах [2-5] показано, что сигмоида является оптимальной функцией активации благодаря ее способности усиливать низкоуровневые сигналы, в то же время сжимая динамический диапазон нейронов. Непрерывная ДАП может иметь сигмоидальную функцию с величиной l, близкой к единице, образуя тем самым нейроны с плавной и непре­рывной реакцией, во многом аналогичной реакции их био­логических прототипов. Непрерывная ДАП может быть реализована в виде аналоговой схемы из резисторов и усилителей. Реализация таких схем в виде СБИС кажется возможной и экономически привлекательной. Еще более обещающей является оптичес­кая реализация, рассматриваемая в гл. 9. АДАПТИВНАЯ ДАП В версиях ДАП, рассматриваемых до сих пор, весовая матрица вычисляется в виде суммы произведений пар век­торов. Эти вычисления полезны, поскольку они демонстри­руют функции, которые может выполнять ДАП. Однако это определенно не тот способ, посредством которого произ­водится определение весов нейронов мозга. Адаптивная ДАП изменяет свои веса в процессе функ­ционирования. Это означает, что подача на вход сети обучающего набора входных векторов заставляет ее изменять энергетическое состояние до получения резонанса. Постепенно кратковременная память превращается в долго­временную память, настраивая сеть в результате ее функ­ционирования. В процессе обучения векторы подаются на слой А, а ассоциированные векторы на слой В. Один из них или оба вектора могут быть зашумленными версиями эталона; сеть обучается исходным векторам, свободным от шума. В этом случае она извлекает сущность ассоциаций, обучаясь эталонам, хотя «видела» только зашумленные аппроксимации. Так как доказано, что непрерывная ДАП является стабильной независимо от значения весов, ожидается, что медленное изменение ее весов не должно нарушить этой стабильности. В работе [10] доказано это правило. Простейший обучающий алгоритм использует правило Хэбба [8], в котором изменение веса пропорционально уровню активации его нейрона-источника и уровню актива­ции нейрона-приемника. Символически это можно предста­вить следующим образом: dwij =h* (OUTi OUTj ), (7.5) где dwij - изменение веса связи нейрона j с нейроном j в матрицах W или Wt ; OUTi - выход нейрона j слоя 1 или 2; h - положительный нормирующий коэффициент обучения, меньший 1. КОНКУРИРУЮЩАЯ ДАП Во многих конкурирующих нейронных системах наблю­даются некоторые виды конкуренции между нейронами. В нейронах, обрабатывающих сигналы от сетчатки, латераль­ное торможение приводит к увеличению выхода наиболее высокоактивных нейронов за счет соседних. Такие системы увеличивают контрастность, поднимая уровень активности нейронов, подсоединенных к яркой области сетчатки, в то же время еще более ослабляя выходы нейронов, подсоеди­ненных к темным областям. В ДАП конкуренция реализуется взаимным соединением нейронов внутри каждого слоя посредством дополнительных связей. Веса этих связей формируют другую весовую мат­рицу с положительными значениями элементов главной диагонали и отрицательными значениями остальных элемен­тов. Теорема Кохен - Гроссберга [1] показывает, что такая сеть является безусловно стабильной, если весовые мат­рицы симметричны. На практике сети обычно стабильны даже в случае отсутствия симметрии весовых матриц. Однако неизвестно, какие особенности весовых матриц могут привести к неустойчивости функционирования сети. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Ограниченная емкость памяти ДАП, ложные ответы и некоторая непредсказуемость поведения привели к рас­смотрению ее как устаревшей модели искусственных ней­ронных сетей. Этот вывод определенно является преждевременным. ДАП имеет много преимуществ: она совместима с аналого­выми схемами и оптическими системами; для нее быстро сходятся как процесс обучения так, и процесс восстанов­ления информации; она имеет простую и интуитивно прив­лекательную форму функционирования. В связи с быстрым развитием теории могут быть найдены методы, объясняющие поведение ДАП и разрешающие ее проблемы. Глава 8 Адаптивная резонансная теория Мозг человека выполняет трудную задачу обработки непрерывного потока сенсорной информации, получаемой из окружающего мира. Из потока тривиальной информации он должен выделить жизненно важную информацию, обработать ее и, возможно, зарегистрировать в долговременной памя­ти. Понимание процесса человеческой памяти представляет собой серьезную проблему; новые образы запоминаются в такой форме, что ранее запомненные не модифицируются и не забываются. Это создает дилемму: каким образом па­мять остается пластичной, способной к восприятию новых образов, и в то же время сохраняет стабильность, гаран­тирующую, что образы не уничтожатся и не разрушатся в процессе функционирования? Традиционные искусственные нейронные сети оказа­лись не в состоянии решить проблему стабильности-пластичности. Очень часто обучение новому образу унич­тожает или изменяет результаты предшествующего обуче­ния. В некоторых случаях это не существенно. Если име­ется только фиксированный набор обучающих векторов, они могут предъявляться при обучении циклически. В сетях с обратным распространением, например, обучающие векторы подаются на вход сети последовательно до тех пор, пока сеть не обучится всему входному набору. Если, однако, полностью обученная сеть должна запомнить новый обуча­ющий вектор, он может изменить веса настолько, что потребуется полное переобучение сети. В реальной ситуации сеть будет подвергаться посто­янно изменяющимся воздействиям; она может никогда не увидеть один и тот же обучающий вектор дважды. При таких обстоятельствах сеть часто не будет обучаться; она будет непрерывно изменять свои веса, не достигая удовлетворительных результатов. Более того, в работе [1] приведены примеры сети, в которой только четыре обучающих вектора, предъявляемых циклически, заставляют веса сети изменяться непрерывно, никогда не сходясь. Такая временная нестабильность явилась одним из главных факторов, заставивших Гроссберга и его сотрудников исследовать радикально отличные конфигурации. Адаптивная резонансная теория (APT) явля­ется одним из результатов исследования этой проблемы [2,4]. Сети и алгоритмы APT сохраняют пластичность, необ­ходимую для изучения новых образов, в то же время пре­дотвращая изменение ранее запомненных образов. Эта способность стимулировала большой интерес к APT, но многие исследователи нашли теорию трудной для понима­ния. Математическое описание APT является сложным, но основные идеи и принципы реализации достаточно просты для понимания. Мы сконцентрируемся далее на общем опи­сании APT; математически более подготовленные читатели смогут найти изобилие теории в литературе, список кото­рой приведен в конце главы. Нашей целью является обес­печение достаточно конкретной информацией, чтобы чита­тель мог понять основные идеи и возможности, а также провести компьютерное моделирование с целью исследова­ния характеристик этого важного вида сетей. АРХИТЕКТУРА APT Адаптивная резонансная теория включает две пара­дигмы, каждая из которых определяется формой входных данных и способом их обработки. АРТ-1 разработана для обработки двоичных входных векторов, в то время как АРТ-2, более позднее обобщение АРТ-1, может классифици­ровать как двоичные, так и непрерывные векторы. В дан­ной работе рассматривается только АРТ-1. Читателя, интересующегося АРТ-2, можно отослать к работе [3] для полного изучения этого важного направления. Для кратко­сти АРТ-1 в дальнейшем будем обозначать как APT. Описание APT Сеть APT представляет собой векторный классифика­тор. Входной вектор классифицируется в зависимости от того, на какой из множества ранее запомненных образов он похож. Свое классификационное решение сеть APT выра­жает в форме возбуждения одного из нейронов распознаю­щего слоя. Если входной вектор не соответствует ни одному из запомненных образов, создается новая катего­рия посредством запоминания образа, идентичного новому входному вектору. Если определено, что входной вектор похож на один из ранее запомненных векторов с точки зрения определенного критерия сходства, запомненный вектор будет изменяться (обучаться) под воздействием нового входного вектора таким образом, чтобы стать более похожим на этот входной вектор. Запомненный образ не будет изменяться, если теку­щий входной вектор не окажется достаточно похожим на него. Таким образом решается дилемма стабильности-пластичности. Новый образ может создавать дополнитель­ные классификационные категории, однако новый входной образ не может заставить измениться существующую па­мять. Упрощенная архитектура APT На рис. 8.1 показана упрощенная конфигурация сети APT, представленная в виде пяти функциональных модулей. Она включает два слоя нейронов, так называемых «слой сравнения» и «слой распознавания». Приемник 1, Приемник 2 и Сброс обеспечивают управляющие функции, необходимые для обучения и классификации. Перед рассмотрением вопросов функционирования сети в целом необходимо рассмотреть отдельно функции моду­лей; далее обсуждаются функции каждого из них. Слой сравнения. Слой сравнения получает двоичный входной вектор Х и первоначально пропускает его неизме­ненным для формирования выходного вектора С. На более поздней фазе в распознающем слое вырабатывается двоич­ный вектор R, модифицирующий вектор С, как описано ниже. Каждый нейрон в слое сравнения (рис. 8.2) получает три двоичных входа (0 или 1): (1) компонента хi . входно­го вектора X; (2) сигнал обратной связи Р j -взвешенная сумма выходов распознающего слоя; (3) вход от Приемника 1 (один и тот же сигнал подается на все нейроны этого слоя). Чтобы получить на выходе нейрона единичное значе­ние, как минимум два из трех его входов должны равнять­ся единице; в противном случае его выход будет нулевым. Таким образом реализуется правило двух третей, описан­ное в [3]. Первоначально выходной сигнал G1 Приемника 1 установлен в единицу, обеспечивая один из необходимых для возбуждения нейронов входов, а все компоненты век­тора R установлены в 0; следовательно, в этот момент вектор С идентичен двоичному входному вектору X. Слой распознавания.