Метод Дэвидона-Флетчера-Пауэлла Министерство науки, высшей школы и технической политики Российской Федерации. Новосибирский Государственный Технический Университет. по исследованию операций на тему «Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла». Вариант №2. Факультет: АВТ. Кафедра: АСУ. Группа: АС-513. Студент: Бойко Константин Анатольевич. Преподаватель: Ренин Сергей Васильевич. Дата: 19 октября 1997 года. Новосибирск Введение. Первоначально метод был предложен Дэвидоном (Davidon [1959] ), а затем развит Флетчером и Пауэллом (Fletcher, Powell [1963] ). Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла называют также и методом переменной метрики . Он попадает в общий класс квазиньютоновских процедур, в которых направления поиска задаются в виде -Dj f(y). Направление градиента является, таким образом, отклоненным в результате умножения на -Dj , где Dj - положительно определенная симметрическая матрица порядка n х n, аппроксимирующая обратную матрицу Гессе. На следующем шаге матрица Dj +1 представляется в виде суммы Dj и двух симметрических матриц ранга один каждая. В связи с этим схема иногда называется схемой коррекции ранга два . Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений. Начальный этап . Пусть >0 - константа для остановки. Выбрать точку х1 и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D1 . Положить y1 = x1 , k = j = 1 и перейти к основному этапу. Основной этап . Шаг 1. Если çê f(yj ) çê< e, то остановиться; в противном случае положить dj = - Dj f(yj ) и взять в качестве lj оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj ) при l ³ 0. Положить yj+1 = yj + lj dj . Если j < n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y1 = xk+1 = yn+1 , заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1. Шаг 2. Построить Dj +1 следующим образом : , (1) где pj = lj dj , (2) qj = f(yj+1 ) - f(yj ). (3) Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1. Пример. Рассмотрим следующую задачу : минимизировать (x1 - 2)4 + (x1 - 2x2 )2 . Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1. Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла. k xk f(xk ) j yj f(yj ) f(yj ) çê f(yj ) çê D dj lj yj+1 1 (0.00, 3.00) (52.00) 1 2 (0.00, 3.00) (52.00) (2.70, 1.51) (0.34) (-44.00, 24.00) (0.73, 1.28) 50.12 1.47 (44.00, -24.00) (-0.67, -1.31) 0.062 0.22 (2.70, 1.51) (2.55, 1.22) 2 (2.55, 1.22) (0.1036) 1 2 (2.55, 1.22) (0.1036) (2.45, 1.27) (0.0490) (0.89, -0.44) (0.18, 0.36) 0.99 0.40 (-0.89, 0.44) (-0.28, -0.25) 0.11 0.64 (2.45, 1.27) (2.27, 1.11) 3 (2.27, 1.11) (0.008) 1 2 (2.27, 1.11) (0.008) (2.25, 1.13) (0.004) (0.18, -0.20) (0.04, 0.04) 0.27 0.06 (-0.18, 0.20) (-0.05, -0.03) 0.10 2.64 (2.25, 1.13) (2.12, 1.05) 4 (2.12, 1.05) (0.0005) 1 2 (2.12, 1.05) (0.0005) (2.115, 1.058) (0.0002) (0.05, -0.08) (0.004, 0.004) 0.09 0.006 (-0.05, 0.08) 0.10 (2.115, 1.058) На каждой итерации вектор dj для j = 1, 2 определяется в виде –Dj f(yj ), где D1 ­­– единичная матрица, а D2 вычисляется по формулам (1) - (3). При k = 1 имеем p1 = (2.7, -1.49)T , q1 = (44.73, -22,72)T . На второй итерации p1 = (-0.1, 0.05)T , q1 = (-0.7, 0.8)T и, наконец, на третьей итерации p1 = (-0.02, 0.02)T , q1 = (-0.14, 0.24)T . Точка yj+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления dj при начальной точке yj для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке y2 = (2.115, 1.058)T на четвертой итерации, так как норма çêf(y2 ) çê= 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1. Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла . Лемма 1 показывает, что каждая матрица Dj положительно определена и dj является направлением спуска. Для доказательства леммы нам понадобится : Теорема 1 . Пусть S - непустое множество в Еn , точка x Î cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d : d ¹ 0, x + ld Î S при всех l Î (0, d) для некоторого d > 0}. Определение. Пусть x и y - векторы из Еn и |xT y| - абсолютное значение скалярного произведения xT y. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца : |xT y| £ ||x|| ||y||. Лемма 1. Пусть y1 Î Еn , а D1 – начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1, ..., n положим yj+1 = yj + lj dj , где dj = –Dj f(yj ), а lj является оптимальным решением задачи минимизации f(yj + ldj ) при l ³ 0. Пусть, кроме того, для j = 1, ..., n – 1 матрица Dj+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(yj ) ¹ 0 для j = 1, ..., n, то матрицы D1 , ..., Dn симметрические и положительно определенные, так что d1 , ..., dn – направления спуска. Доказательство. Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D1 симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того, f(y1 )T d1 = – f(y1 )T D1 f(y1 ) < 0, так как D1 положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d1 определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j £ n – 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x – ненулевой вектор из En , тогда из (1) имеем (4) Так как Dj – симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица Dj 1 /2 , такая, что Dj = Dj 1 /2 Dj 1 /2 . Пусть a = Dj 1 /2 x и b = Dj 1 /2 qj . Тогда xT Dj x = aT a, qj T Dj qj = bT b и xT Dj qj = aT b. Подставляя эти выражения в (4), получаем : (5) По неравенству Шварца имеем (aT a)(bT b) ³ (aT b)2 . Таким образом, чтобы доказать, что xT Dj+1 x ³ 0, достаточно показать, что pj T qj > 0 и bT b > 0. Из (2) и (3) следует, что pj T qj = lj dj T [ f(yj+1 ) – f(yj )]. (6) По предположению f(yj ) ¹ 0, и Dj положительно определена, так что f(yj )T Dj f(yj ) > 0. Кроме того, dj – направление спуска, и, следовательно, lj > 0. Тогда из (6) следует, что pj T qj > 0. Кроме того, qj ¹ 0, и , следовательно, bT b= qj T Dj qj > 0. Покажем теперь, что xT Dj+1 x > 0. Предположим, что xT Dj+1 x = 0. Это возможно только в том случае, если (aT a)(bT b) = (aT b)2 и pj T x = 0. Прежде всего заметим, что (aT a)(bT b) = (aT b)2 только при a = lb, т.е. Dj 1 /2 x = lDj 1 /2 qj . Таким образом, x = lqj . Так как x ¹ 0, то l ¹ 0. Далее, 0 = pj T x = l pj T qj противоречит тому, что pj T qj > 0 и l ¹ 0. Следовательно, xT Dj+1 x > 0, т.е. матрица Dj+1 положительно определена. Поскольку f(yj +1 ) ¹ 0 и Dj+1 положительно определена, имеем f(yj +1 )T dj+1 = – f(yj +1 )T Dj+1 f(yj +1 ) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что dj+1 – направление спуска. Лемма доказана. Квадратичный случай. В дальнейшем нам понадобиться : Теорема 2. Пусть f(x) = cT x + 1 xT Hx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d1 , …, dn и произвольную точку x1 . Пусть lk для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации f(xk + ldk ) при l Î Е1 и xk+1 = xk + ldk . Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения : 1. f(xk+1 )T dj = 0, j = 1, …, k; 2. f(x1 )T dk = f(xk )T dk ; 3. xk+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии x - x1 Î L(d1 , …, dk ), где L(d1 , …, dk ) – линейное подпространство, натянутое на векторы d1 , …, dk , то есть В частности, xn+1 – точка минимума функции f на Еn . Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d1 , …, dn , генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица Dn+1 , полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н. Теорема 3 . Пусть Н – симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = cT x + 1 xT Hx при условии x Î En . Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y1 и начальной положительно определенной матрице D1 . В частности, пусть lj , j = 1, …, n, – оптимальное решение задачи минимизации f(yj + ldj ) при l ³ 0 и yj +1 = yj + lj dj , где dj = -Dj f(yj ), а Dj определяется по формулам (1) – (3). Если f(yj ) ¹ 0 для всех j, то направления d1 , …, dn являются Н - сопряженными и Dn+1 = H-1 . Кроме того, yn+1 является оптимальным решением задачи. Доказательство. Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 £ j £ n, справедливы следующие утверждения : 1. d1 , …, dj линейно независимы. 2. dj T Hdk = 0 для i ¹ k; i, k £ j. 3. Dj+1 Hpk , или, что эквивалентно, Dj+1 Hdk = dk для 1 £ k £ j, pk = lk dk . Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства Hpk = H(lk dk ) = H(yk+1 - yk ) = f(yk+1 ) – f(yk ) = qk . (7) В частности, Hp1 = q1 . Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем , т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1. Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j £ n – 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 di T f(yj+1 ) = 0 для i £ j. По индуктивному предположению di = Dj+1 Hdi , i £ j. Таким образом, для i £ j имеем 0 = di T f(yj+1 ) = di T HDj+1 f(yj+1 ) = –di T Hdj+1 . Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1. Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1. Полагая k £ j+1, имеем . (8) Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что Dj+2 Hpj+1 = pj+1 . Теперь пусть k £ j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то pj+1 T Hpk = lk lj+1 dj+1 T Hdk = 0. (9) По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем . (10) Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем . Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1. Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d1 , …, dj линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d1 , …, dj +1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d1 , …, dn следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n. Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d1 , …, dn , то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2. Теорема доказана. Список литературы. 1. Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982. 2. Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.