Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Академия России Кафедра Физики
Лекция
Операторные передаточные функции и их свойства
Учебные и воспитательные цели:
Разъяснить слушателям сущность операторных передаточных функций, устойчивых и неустойчивых электрических цепей, критерий устойчивости Гурвица, а также связь ОПФ с комплексной передаточной функцией. Вступление………………………………………………………….5 мин. Учебные вопросы: 1. Определение операторных реакций в сложных цепях………..15 мин. 2. Операторная передаточная функция……………………………20 мин. 3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица………….35 мин. 4. Связь между ОПФ и КПФ……………………………………….10 мин. Заключение…………………………………………………………5 мин. 1. Определение операторных реакций в сложных цепях
В общем случае 1 этап: система уравнений составленная по МУН для цепи имеющей N
потенциальных узлов будет иметь вид:
Здесь В правые части входят Решая задачу по МКТ, следует, прежде всего, выбрать совокупность независимых контуров и, руководствуясь ранее полученным правилом, составить систему контурных уравнений. В этой системе Знаки слагаемых этой суммы определяются установленными ранее правилами. В правые части уравнений входят операторные источники ЭДС. Второй этап: нахождение Если цепь содержит только один воздействующий источник (обозначим его
где Важно отметить, что определитель Третий этап: применение обратного преобразования Лапласа, в результате чего находится – использование таблиц соответствия; – разложение 2. Операторная передаточная функция
Отношение В общем случае Пусть в цепи действует один источник Тогда:
Можно показать, что после раскрытия определителя
где ОПФ не зависит от воздействия, а определяется только элементами схемы и порядком их соединения. Если известна ОПФ, то реакция находится как:
Пример:
определить одну из ОПФ для последовательного контура, показанного на рис. 1. В данной схеме будет четыре ОПФ. Найдем
Аналогичным образом находятся 3. Устойчивые и неустойчивые электрические цепи. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица Линейную электрическую цепь принято определять как устойчивую, если в ней не возникают неограниченно возрастающие свободные колебания. В противном случае ее определяют как неустойчивую. Такая трактовка следует из классических работ по теории устойчивости, выполненных русским математиком А. М. Ляпуновым (1857— 1918 гг.). Большинство современных ЛРТУ являются активными, т. е. в схемах замещения содержат зависимые источники. Любая пассивная электрическая цепь является устойчивой. Если же она активна, то вопрос об ее устойчивости остается открытым: активная цепь может быть как устойчивой, так и неустойчивой. При рассмотрении предыдущего вопроса было показано, что реакция находится из соотношения:
Пусть Тогда:
где Для нахождения оригинала такая функция может быть единственным образом разложена на сумму простых дробей вида:
Здесь Посредством указанного разложения по таблице соответствий находится выражение для При этом Заметим, что среди корней полинома Если же
Полученная функция является гармонической с амплитудной Последняя будет убывающей при Следовательно, система устойчива, если действительные (вещественные) части корней знаменателя характеристического уравнения Для наглядного суждения о характере и значениях корней удобно изображать их точками на комплексной плоскости. Так, например, на рисунке 2 показано расположение на комплексной плоскости корней некоторого полинома знаменателя пятой степени.
Здесь корнями являются: Наличие у характеристического уравнения корней с положительными вещественными частями приводит к тому, что любое случайное воздействие, каким бы оно не было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные колебания. Значения амплитуды колебаний ограничиваются нелинейными свойствами усилительных приборов. Внешне рассматриваемая цепь без каких-либо видимых воздействий "сама" переходит в режим установившихся колебаний или, как говорят, "самовозбуждается". Электрические цепи, у которых свободные колебания, пока они малы, возрастают по времени, причем предел их возрастания определяется нелинейными свойствами элементов цепи, называют неустойчивыми
. Характеристическое уравнение знаменателя ОПФ любой неустойчивой цепи должно иметь корни, расположенные в правой части комплексной плоскости. Одной из важнейших задач, возникающих при проектировании самых разнообразных цепей с зависимыми источниками, является задача исследования проектируемой цепи на устойчивость. Критерий устойчивости Гурвица, полиномы Гурвица
Во всех задачах исследования цепи на устойчивость необходимо решить, имеет ли характеристическое уравнение знаменателя ОПФ проектируемой цепи корни, расположенные в правой полуплоскости. Методы, с помощью которых можно судить об устойчивости цепи, не прибегая к вычислению корней характеристического уравнения знаменателя, называют критериями устойчивости. В настоящее время известен ряд критериев устойчивости, среди которых чаще всего используются критерии устойчивости, предложенные А. Гурвицем (1895), А. В. Михайловым (1938) и Г. Найквистом (1932). Не все они одинаково удобны и универсальны, в каждом частном случае один из них может оказаться предпочтительным. Один из первых критериев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурвицем и опубликован им в 1895 году. Он определил условия, которым должны удовлетворять специально составленные соотношения между коэффициентами алгебраического уравнения с тем, чтобы все корни последнего имели отрицательные вещественные части или, иными словами, были расположены в левой полуплоскости. Формулировка критерия устойчивости Гурвица: (в алгебре критерий Рауса-Гурвица) цепь будет устойчивой, если определитель:
составленный из коэффициентов полинома знаменателя ОПФ:
и все его главные миноры Этот критерий приводится без доказательства. Определитель принято называть определителем Гурвица. Он составляется по следующему простому правилу. На главной его диагонали выписываются коэффициенты в том порядке, в котором они расположены в уравнении, начиная с коэффициента Пример
. Пусть дан полином четвертой степени:
Ему соответствует определитель Гурвица:
Главные миноры этого определителя:
Определитель и все его миноры положительны. Следовательно, все корни рассматриваемого уравнения
Полиномы с вещественными коэффициентами, нули которых расположены в левой полуплоскости, принято в ТЭЦ называть полиномами Гурвица или устойчивыми полиномами. В дальнейшем их будем обозначать J(p
). Можно показать, что положительность коэффициентов полинома и неравенство их нулю есть необходимое, но недостаточное условие принадлежности его к классу полиномов Гурвица. Так полиномы В дальнейшем ОПФ пассивных цепей будем записывать в виде:
4. Связь между ОПФ и КПФ
КПФ образуется из ОПФ путем замены оператора
Если степень, в которую возводится оператор Отсюда следует вывод, что вещественные части полиномов представляют собой четные функции частоты, а мнимые – нечетные, т. е. можно в общем виде записать:
где Возьмем модуль и аргумент и в результате получим: Откуда: АЧХ: ФЧХ: По этим выражениям можно построить графики. Литература
1. Белецкий А. Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. (Учебник); 2. Бакалов В. П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. 3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974. (Учебник); 4. Попов В. П. Основы теории цепей – М.: Высшая школа, 2000.(Учебник)
|