Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Иркутский Государственный Технический Университет Кафедра Квантовой физики и нанотехнологий Тема: Полиномы.
Полиномы Лагерра в квантовой механике
Выполнил (а) студент (ка) 2 курса, группы НТ-08, . Научный руководитель .,ДФМН, профессор кафедры квантовой физики Иркутск 2010 Содержание
Введение
3 Глава
I
.
Ортогональные полиномы.
4 1.1. Понятие ортогональных полиномов 4 1.2. Классические ортогональные полиномы 5 1.3. Общие свойства ортогональных полиномов 7 Глава
II
. Полиномы Лагерра
8 Глава
III
. Применение полиномов Лагерра в квантовой механике
10 3.1. В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. 10 3.2. Переход в осцилляторе 12 Заключение 13
Используемая литература 14
Приложение 15
Введение
В представленной работе, я рассмотрела виды полиномов, в частности полиномы Лагерра, их основные свойства и применение в квантовой механике через математические выкладки решений уравнений Шредингера для атома водорода и гармонического осциллятора. По своей сути полином - это алгебраическая сумма конечного числа одночленов, т.е. выражений вида Axk
yl
...wm
где x, y, ..., w -переменные, А (коэффициент многочлена) и k, l, ..., m (показатели степеней - целые неотрицательные числа)- постоянные. Многочлен от одного переменного x всегда можно записать в виде а0
хn
+ а1
хn
-1
+ ... + аn
-1
х + аn
. К классическим ортогональным полиномам относятся полиномы Якоби Они часто встречаются в теоретической и математической физике. Классические ортогональные полиномы удовлетворяют уравнениям вида где - В ходе работы использовала учебник Никифорова А.Ф.,Специальные функции математической физики; Фока. Начало квантовой механики. Глава
I
. Ортогональные полиномы
1.1.Понятие ортогональных полиномов
Ортогональные полиномы
- системы полиномов где - Задание веса где Аn
- нормировочная постоянная 1.2.Классические ортогональные полиномы.
Полиномы Якоби, Лагерра и Эрмита
– полиномы типа yn
(z) являются решениями уравнения где – 1.Пусть Тогда Соответствующие полиномы yn
(z) при 2.Пусть Полиномы yn
(z) при 3.Пусть 1.3.Общие свойства ортогональных полиномов
Классические ортогональные*
полиномы обладают целым рядом свойств, которые вытекают непосредственно из свойств ортогональности полиномов. Таким свойствами обладают любые полиномы на интервале (a,b) с произвольным весом p(x)>0. 1.Разложение произвольных полиномов по ортогональным. (Произвольный полином n-й степени qn
(x) можно представить в виде линейной комбинации ортогональных полиномов pn
(x)) 2.Единственность системы полиномов при заданном весе. где Глава
II
.
Полиномы Лагерра
В математике, многочлены Лагерра, названные в честь Эдмона Лагерра (1834—1886), являются каноническими решениями Уравнения Лагерра: являющегося линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Многочлены Лагерра, обычно обозначающиеся как Эти полиномы ортогональны друг другу со скалярным произведением: Многочлены Лагерра применяются в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном. Имеются и другие применения многочленов Лагерра. Полиномы Лагерра можно определить рекуррентной формулой: предопределив первые два полинома как: Обобщенные полиномы Лагерра. где: · · Обобщённые полиномы Лагерра так что Глава
III
. Применение полиномов Лагерра в квантовой
механике
. Многочлены Лагерра нашли свое применение в квантовой механике: 3.1.В радиальной части решения уравнения Шредингера для атома с одним электроном (нормирование волновой функции).
Разложение на два: по радиальной координате и по угловым: Для справочных целей выпишем полные выражения для нормированных волновых функций. Сумма Здесь F — вырожденная (конфлюэнтная) гипергеометрическая функция (функция Куммера): которая сходится при всех конечных z; параметр α произволен, а β предполагается не равным нулю или целому отрицательному числу. Если α есть целое отрицательное число (или нуль), то F(α, β, z) сводится к полиному степени |α|. Радиальные волновые функции выражаются также через обобщённые полиномы Лагерра 3.2.Переход в осцилляторе
. Расчет переходов в осцилляторе под действием внешней силы. Под влиянием внешней силы где функция а Заключение
В данной работе были рассмотрены полиномы - алгебраические многчлены Якоби, Эрмита и Лагерра, их форма записи, общие свойства. Более подробно рассматривались полиномы Лагерра, они нашли свое применение в квантовой механике - являются частью рассчетов вывода уравнения Шредингера и уравнения переходов в осцилляторе под действием внешней силы. Используемая литература
1. Никифоров А. Ф., Уваров В. Б., Специальные функции математической физики, 2 изд., М., 1984 2. Суетин П. К., Классические ортогональные многочлены, 2 изд., М., 1979 3. Фок. Начало квантовой механики. Приложение
*
Если скалярное произведение двух элементов пространства равно нулю, то они называются ортогональными друг другу **
Главное (радиальное) квантовое число — целое число, обозначающее номер энергетического уровня. Характеризует энергию электронов, занимающих данный энергетический уровень. Является первым в ряду квантовых чисел, который включает в себя главное, орбитальное и магнитное квантовые числа, а также спин. Эти четыре квантовые числа определяют уникальное состояние электрона в атоме (его волновую функцию). Главное квантовое число характеризует энергию электрона. Оно обозначается как n. При увеличении главного квантового числа возрастают радиус орбиты и энергия электрона. Наибольшее число электронов на энергетическом уровне, с учетом спина электрона определяется по формуле ***
Орбитальное квантовое число (азимутальное) - определяет азимутальное распределение плотности вероятности локализации электрона в атоме, то есть форму электронного облака и определяет энергетический подуровень данного энергетического уровня. Связано с n -главным (радиальным) квантовым числом соотношением: *
см. приложение
|