Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
На тему: "Кинематика материальной точки" Москва, 2010 Введение
Кинематика - это раздел физики, посвящённый математическому описанию движения без анализа причин, приводящих к его возникновению или изменению. Причиной изменения или возникновения движения является сила, а сила по II-у закону Ньютона связана с массой. Поэтому для того, чтобы исключить из рассмотрения силу достаточно не рассматривать массу. При этом кроме силы из рассмотрения выпадают многие механические понятия: импульс, энергия, момент импульса. А что остаётся, то и рассматривается в кинематике. Таким образом, кинематику можно было бы назвать механикой без массы. Самый простой объект, способный двигаться - это материальная точка: тело, размеры которого пренебрежимо малы в условиях данной физической задачи. Движением материальной точки называется смена её положения с течением времени. Поэтому первое кинематическое понятие, с которым мы сталкиваемся - это положение. 1. Вектор положения
Положение чего угодно невозможно задать само по себе. Всё находится относительно
чего-то. Значит, мы должны сначала установить начало отсчёта (точку О), а это невозможно сделать по-другому, кроме как поставив туда какое-либо материальное тело (тело отсчёта). И от этого «главного» тела уже можно проводить геометрические векторы, соединяющие начало отсчёта с тем или иным положением материальной точки. Геометрическим вектором называется направленный отрезок, соединяющий положения двух материальных точек. Геометрический вектор, соединяющий тело отсчёта с материальной точкой, называется вектором положения материальной точки. При задании положения материальной точки относительно тела отсчёта последнее по определению считается неподвижным. Поэтому все возможные векторы положений начинаются из одной точки и называются радиус-векторами Совокупность всех возможных радиус-векторов образует пространство. Смена начала отсчёта приводит к изменению всех
радиус-векторов. Каким образом? Ответ зависит от системы постулатов, которыми мы собираемся пользоваться. Классическая механика, которую мы в основном и изучаем, использует постулаты Галилея-Ньютона. Если положение материальной точки М
относительно тела отсчёта в точке О
обозначить Пусть другому наблюдателю в точке О'
нет дела ни до чего, кроме материальной точки М
. В дальнейшем системе отсчёта с нелюбопытным наблюдателем будет отводиться «второстепенная» роль. В противовес этому система с наблюдателем, который видит всё, будет считаться «основной». В общем, наблюдатель О'
видит только один вектор И правило сложения векторов по треугольнику позволяет записать соотношение между тремя векторами: В соответствии с этим соотношением можно находить положения в «основной» системе отсчёта, зная их во «второстепенной». Такое преобразование радиус-векторов будем называть обратным
преобразованием Галилея. Соответственно, прямое
преобразование позволяет находить положения во «второстепенной» системе отсчёта, зная их в «основной»: В дальнейшем какая-либо величина в «основном» пространстве будет называться «абсолютной
», во «второстепенном» пространстве - «относительной»
, а та, через которую они связаны, -переносной.
Значит · · · Итак, в соответствие с первым постулатом Галилея смена начала отсчета приводит к изменению пространства, которое описывается преобразованием Галилея. Это означает, что пространство относительно. 2. Траектория движения
Используя понятие радиус-вектора, движение можно описать функциональной зависимостью Траекторией называется совокупность положений, пройденных телом в процессе движения. Тело не может в один и тот же момент времени находиться в разных положениях. Поэтому траектория представляет собой линию, и при этом линию непрерывную
. В зависимости от формы траектории различают прямолинейное
и криволинейное
движение. Если криволинейная траектория лежит в одной плоскости, то движение называется плоским. Если траектория представляет собой пространственную кривую, то в каждой точке траектории можно ввести понятие соприкасающейся плоскости
. Соприкасающейся плоскостью в какой-либо точке траектории М называется предельное положение плоскости, проходящей через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М. Через три точки, не лежащие на одной прямой можно прости окружность и при том единственную. Поэтому для любой точки криволинейной траектории можно ввести понятие соприкасающейся окружности. Соприкасающейся окружностью в какой-либо точке траектории М называется предельная окружность, проходящая через три точки N, M, P этой траектории, когда точки N и P неограниченно приближаются (стремятся) к точке М. Центром и радиусом кривизны траектории в точке М называется центр и радиус кривизны окружности, соприкасающейся с траекторией в точке М. Очевидно, что в случае пространственной траектории соприкасающаяся окружность лежит в соприкасающейся плоскости. Прямолинейную траекторию можно считать траекторией с бесконечным радиусом кривизны. Орт - это вектор, не обладающий физической размерностью (безразмерный), модуль которого равен единице. Любой вектор можно представить как произведение модуля на орт. Например, радиус-вектор: Значит, орт любого вектора равен частному от деления вектора на его орт: Нормалью траектории Ортом касательной Ясно, что Перемещением называется вектор изменения положения или вектор разности между последующим положением и предыдущим: В случае, если ни один отрезок траектории не проходился материальной точкой дважды, то путь или путевая координата S
(
t
)
- это длина траектории от точки начала движения к данному моменту времени. Отметим две точки на траектории: M
с радиусом-вектором Тогда для перемещения (равенство выполняется в случае прямолинейной траектории). При этом В случае криволинейной траектории элементарным перемещением Очевидно, что т.е. Итак, мы имеем связь между элементарными перемещением и приращением пути: 3. Скорость и ускорение движения
Средней скоростью движения называется отношение перемещения к промежутку времени, в течение которого произошло перемещение: Средней путевой скоростью называется отношение приращения пути к промежутку времени, в течение которого было пройдено это приращение: Т.к. Мгновенной скоростью движения называется предел средней скорости при стремлении промежутка времени к 0: Мгновенной путевой скоростью называется предел средней путевой скорости при стремлении промежутка времени к 0: Элементарным промежутком времени dt
называется промежуток времени, для которого с заданной наперёд точностью и средняя, и средняя путевая скорость совпадают с соответствующими мгновенными скоростями. Элементарным перемещением Пользуясь языком высшей математики, мы можем сказать, что мгновенная скорость движения или просто скорость движения является первой производной радиус-вектора по времени, а путевая скорость является первой производной по времени путевой координаты. Для того чтобы элементарное перемещение в произвольном случае совпадало с элементарным перемещением для криволинейной траектории нужно, чтобы точности вычисления соотношений совпадали. Об этом всегда можно условиться. Поэтому мы всегда будем считать, что для элементарного промежутка времени Итак, Т.е. модуль скорости движения совпадает с путевой скоростью. Конечное приращение пути по определению По определению ускорением материальной точки называется первая производная по времени скорости движения, т.е. вторая производная по времени радиус-вектора: Итак, Первое слагаемое связано только со скоростью изменения величины скорости движения. Т.к. эта часть полного ускорения направлена по касательной, то она называется касательным
ускорением Второе слагаемое связано только с изменением направления скорости движения. Изобразим два положения материальной точки на траектории, разделённые элементарным приращением пути dS
, и соответствующие орты касательной Малый угол d
a
между радиусами совпадает с углом между ортами касательной как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Из второго рисунка видно, что следовательно, Угол d
a
связан с элементарным приращением пути dS
=
R
×
d
a
, где R
– радиус кривизны траектории. Отсюда Тогда вторая часть полного ускорения имеет вид: Т.к. эта часть ускорения направлена по нормали, то она называется нормальным
ускорением. Сведём все формулы вместе: 4. Относительность скорости движения
Мы уже пользовались понятием системы отсчёта, хотя делать этого не имели права. Из всех атрибутов системы отсчёта был введён только один: начало отсчёта. Другой атрибут – часы, находящиеся в начале отсчёта. Пусть двое часов находились в одной системе отсчёта, а потом «разошлись» по разным. Находясь в одном месте, они были синхронизованы. Как повлияет на их показания относительная скорость? Ответ на это опять зависит от выбора системы постулатов. В механике Ньютона-Галилея «работает» второй постулат Галилея
: об абсолютности промежутков времени. Согласно этому постулату, если часы были синхронизованы, то их относительная скорость не влияет на их показания. Вспомним обратное преобразование Галилея для радиус-векторов: Поделим это равенство на элементарный промежуток времени по часам «основного» наблюдателя, в течение которого произошли элементарные перемещения, равенство останется верным: В соответствие со вторым постулатом Галилея dt
=
dt
'
, где dt
'
– промежуток времени по часам «второстепенного» наблюдателя, в течение которого материальная точка переместилась относительно него на Это обратное преобразование скорости по Галилею: Прямое преобразование скорости: 5. Система координат
Для количественного описания движения в пространстве необходимо введение координат точки, т.е. совокупности чисел, однозначно определяющей положение материальной точки относительно начала отсчёта. Это возможно только в случае введения третьего атрибута системы отсчёта: системы координат. Теперь можно дать определение системы отсчёта: системой отсчёта называется система координат, в начале которой находится тело отсчёта, снабжённое часами. В одномерном пространстве для задания «адреса» материальной точки достаточно одного числа, в двумерном пространстве – двух чисел, в трёхмерном – трёх чисел. Способов введения адресации – не один. Например, на плоскости можно задать полярную систему координат (угол, длина радиус-вектора), в пространстве сферическую (длина радиус-вектора, азимутальный угол и угол горизонта). Мы остановимся на подробном рассмотрении системы координат, связанной с разложением радиус-вектора. Известно, что любой вектор может быть представлен как сумма трёх векторов, направленных по трём наперёд заданным направлениям, не лежащим в одной плоскости
. Здесь Рассмотрим операцию скалярного умножения двух векторов = Всего девять слагаемых. Т.к. Выражение скалярного произведения т.к. Впервые ортогональную систему координат (СК) ввёл Р. Декарт, и она называется декартовой. Только в декартовой СК · координаты вектора являются его проекциями на соответствующую ось: докажем это для первой координаты: · координаты вектора связаны с его модулем соотношением Пифагора: т.к. Существуют традиционные обозначения декартовой СК. Таким образом, разложение радиус-вектора в декартовой СК будет иметь вид: Векторную функцию движения · Скорость. Таким образом, проекции вектора скорости равны производным соответствующих законов движения. · Ускорение. Таким образом, проекции вектора ускорения равны вторым производным законов движения. А как найти касательное и нормальное ускорения? Они являются результатом разложения вектора полного ускорения по направлениям касательной и нормали: Касательный орт и орт нормали являются осями двумерного ортогонального базиса. Т.е. алгебраическое значение касательного ускорения представляет собой проекцию полного ускорения на орт Но касательный орт можно выразить через вектор скорости: Следовательно, Тогда легко получить: А найдя нормальное ускорение, легко найти радиус кривизны: Заключение
Подведем некоторые итоги. Материальная точка представляет собой ключевую физическую модель. На примере этой модели рассматриваются очень многие физические явления. Описав движение материальной точки, можно затем перейти и к описанию движения твердого тела, но не наоборот. Основными понятиями кинематики материальной точки являются понятия положения точки, ее скорости и ускорения. Но все эти понятия не имеют смысла вне системы отсчета, включающей в себя систему координат и часы. Важнейшую роль в кинематике материальной точки играют векторная алгебра и принцип относительности движения. Сложное движение материальной точки всегда можно разложить на составляющие, причем не однозначно: по координатам, на касательное и нормальное движение, прямолинейное и вращательное. Литература
1. Мякишев Г.Я. Физика – 10. Механика. – М.: Дрофа. 2002. 2. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физика – 10. Молекулярная физика. Термодинамика. – М.: Дрофа. 2002. 3. Мякишев Г.Я., Синяков А.З., Слободков Б.А. Физика – 10–11. Электродинамика. – М.: Дрофа. 2002. 4. Мякишев Г.Я., Синяков А.З. Физик – 11. Колебания и волны. – М.: Дрофа. 2002. 5. Демков В.П., Третьякова О.Н. В помощь поступающим в ВУЗы. Физика. Механика. – М.: Издательство МАИ, 1996. 6. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Т.1. 7. Калашников Н.П., Смондырев М.А. Основы физики. Упражнения и задачи. 8. Касаткина И.Л. Репетитор по физике. Т.1. 9. Новодворская Е.М., Дмитриев Э.М. Сборник задач по физике с решениями для втузов.
|