Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Кинематика
тема 1
кинематика точки
1.1 п
редмет изучения
С самого рождения и на протяжении всей своей жизни мы встречаемся с движением материи. Простейшей формой движения материи является механика. В разделе «кинематика» мы будем изучать только одну сторону механического движения – геометрическую, т.е. мы будем изучать геометрию движения тела без учета его массы и сил, действующих на него. Механически движение в общем смысле будет изучаться в разделе «динамика». Под движением в механике мы будем понимать перемещение данного тела в пространстве и времени по отношению к другим телам. Для определения положения движущего тела вводится система отсчета, связанная с телом, условно принимаемым за неподвижное. Движение тела происходит в пространстве и времени. Мы будем рассматривать трехмерное эвклидо пространство. За единицу длины в нем принимается 1 метр. Время считается универсальным, т. е. не зависящим от выбранной системы отсчета. За единицу времени принимается 1 секунда. В задачах механики время принимается за независимую переменную. Все остальные кинематические величины (расстояния, скорости, ускорения и т.д.) являются функциями времени. Прежде чем изучать движение его необходимо задать, т.е. описать каким-либо математическими формулами так, чтобы можно было узнать положение тела и все его кинематические характеристики в любой момент времени. Основная задача кинематики заключается в том, чтобы по известному закону движения тела (или какой-либо его точки) найти все остальные Изучение кинематики мы начнем с изучения движения простейшего тела – точки, т.е. такого тела, размерами которого можно пренебречь и рассматривать его как геометрическую точку. 1.2 Способы задания движения точки
Мы будем рассматривать три способа задания движения: векторный, координатный и естественный. 1.2.1 Векторный способ
Положение движущейся точки М
определяется с помощью радиуса вектора называется уравнением движения (или законом движения) в векторной форме. Линия, описываемая концом этого вектора называется траекторией движения. 1.2.2 Координатный способ
С неподвижным центром О
связывается неподвижная система координат ОХ
у Z
. Положение точки определяется тремя координатами: х
, у
, z
(рис. 1.2). В процессе движения эти координаты изменяются, т.е. они являются функциями времени. Зависимости х=f1
(t); у=f2
(t); z=f3
(t)
(1.2) называются уравнениями движения точки в координатной форме. Эти уравнения являются одновременно параметрическими уравнениями траектории движения (параметром является t
). Чтобы получить уравнение траектории в явной форме, надо из уравнений (1.2) исключить параметр t.
1.2.3 Естественный способ
При естественном способе задания движения траектория заранее известна. На траектории выбирается начало отсчета (т. 0) и устанавливается положи-тельное и отрицательное направления отсчета. Положение точки на траектории однозначно определяется криволинейной координатой S
, измеряемой вдоль траектории. Зависимость S = f(t)
(1.3) называется уравнением движения в естественной форме. 1.2.4 Связь между способами задания движения
Координатный векторный способы связаны зависимостью: где Переход от координатного способа к естественному: здесь: (т.е. здесь и в дальнейшем производная по времени обозначается точкой над буквой). 1.3 Определение скорости и ускорение точки при векторном задании движения
Пусть точка за время Например, вектор Рис. 1.4 Направлен вектор скорости по касательной к траектории. Определение ускорения: Пусть в положении М
скорость Среднее ускорение: Ускорение в данный момент Лежит вектор ускорения в плоскости, проведенных через касательной к траектории в двух бесконечно близких точках. Эта плоскость называется соприкасающейся или плоскостью главной кривизны. 1.4 Определение скорости и ускорения точки при координатном способе задания движения
при координатном способе задания движения: с другой стороны: Сравнивая (а) и (б) находим: т.е. проекция вектора скорости на оси координат равны первым производным по времени от соответствующих координат. Величина скорости: направление вектора скорости определяется с помощью направляющих косинусов, т.е. косинусов углов между вектором скорости и осями координат (рис. 1.6). Аналогично ищем ускорения: Сравнивая (в), (г), (д) находим: Проекция ускорения равны первым производным по времени от соответствующих проекций скорости или вторым производным по времени от соответствующих координат. Величина ускорения: Направляющие косинусы: 1.5 Определение скорости и ускорения точки при естественном задании движения
Пусть за время величина скорости точки: Направлена скорость по касательной к траектории: Найдем ускорение точки. Пусть в положении М
точка имеет скорость Полное ускорение точки будет: Обозначим угол между касательными через Найдем эти пределы, учитывая, что при где ρ
– радиус кривизны траектории в данной точке. Подставив эти значения в ап
получим: Т.о. величины касательного, нормального и полного ускорений определяется формулами: (1.17) Касательное ускорение направлено по касательной к траектории (в сторону скорости при ускоренном движении и противоположно скорости – при замедленном) и характеризует изменение величины скорости. Нормальное ускорение направлено по нормам к траектории к центру кривизны и характеризует изменение направления скорости. 1.6 Частные случаи движения точки
По виду траектории движение делится на прямолинейное и криволинейное. При прямолинейном движении ап
= 0,
т.к. ρ = ∞.
По изменению величины скорости движения делится на равномерные и неравномерные. Движение называется равномерным, если величина скорости постоянна (V=const
). Закон равномерного движения: S=S0
+Vt
(1.18) Движение называется равномерным, если величина касательного ускорения постоянна. Т.о. равномерное движение описывается двумя формулами: Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения Тема 2
Простейшие движения тела
К простейшим движениям твердого тела относятся поступательное движение и вращательное движение вокруг неподвижной оси. 2.1 Поступательное движение твердого тела
Поступательным называется такое движение тела, при котором любой отрезок прямой проведенной в теле перемещается параллельно самому себе. Это самое простое движение тела. Оно описывается одной теоремой: При поступательном движении тела все его точки описывают одинаковые, при наложении совпадающие траектории, и имеют одинаковые скорости и одинаковые ускорения. Доказательство:
Проведем в теле произвольный отрезок АВ
. При движении тела он остается параллельным самому себе (рис. 2.1). траектория точки А
на величину АВ
, т.е. они одинаковые. Проведем из неподвижного центра О
радиусы-векторы точек А
и В
( Очевидно, что Продифференцируем это векторное равенство по времени, учитывая, что дифференцируя (2.1) по времени: Так как точки А
и В
взяты произвольно, то все выводы справедливы для всех точек тела. Следовательно, при поступательном движении тела его можно считать точкой и пользоваться формулами кинематики точки. 2.2 Вращение тела вокруг неподвижной оси
Вращательным называется такое движение тела, при котором хотя бы две точки, принадлежащие телу или жестко с ним связанные, во все время движения остаются неподвижными. Прямая, проходящая через эти две неподвижные точки называется осью вращения. Проведем через ось вращения две полуплоскости: неподвижную І и подвижную II, жестко связанную с телом и вращающуюся вместе с ним (рис. 2.2). Положением тела будет однозначно определяться углом φ
между этими полуплоскостями. Угол φ
называется углом поворота. Измеряется он в радианах. Положительное направление φ
– против часовой стрелки, если смотреть навстречу оси Z
. Зависимость φ
= φ(t)
(2.3) называется уравнением вращательного движения. Быстрота вращения характеризуется угловой скоростью ω
. Средняя угловая скорость определяется как отношения приращения угла поворота ∆φ
к промежутку времени ∆t
, за который оно произошло. Угловая скорость в данный момент времени: Вектор угловой скорости Формула перехода: Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением ε
, которая определяется как первая производная от угловой скорости или вторая производная от угла поворота по времени: Направлен вектор 2.3 Равномерное и равнопеременное вращение
Вращение называется равномерным, если угловая скорость постоянна, т.е. ω =
const
. Закон равномерного вращения: φ=φ0
+ωt
(2.6) Вращение называется равнопеременным, если угловое ускорение постоянно, т.е. ε =
const
. Но Подставив сюда 2.4 Скорости и ускорение точек вращающегося тела
пусть за время dt
тело повернулось на угол dφ
, а точка М
, находящаяся на расстоянии R
от оси вращения, получила перемещение dS
=ч*
dφ
(рис. 2.3). Тогда скорость точки Направлен вектор скорости Найдем нормальное и касательное ускорение точки: Нормальное ускорение направлено от данной точки к оси вращения. Касательное ускорение направлено по касательной к округлости, которую описывает точка и совпадает с направлением скорости при ускоренном вращении, а при немедленном – противоположно скорости. Рассмотрим векторное произведение взяв от этого выражения производную по времени, получим: Первое произведение по величине и направлению совпадает с касательным, а вторая – с нормальным ускорением. Таким образом, касательная и нормальная составляющие вектора полного ускорения при вращательном движении определяется формулами: Отметим, что радиус-вектор 2.5 Простейшие передаточные механизмы
Передаточными называют механизмы, служащие для передачи вращения с одного вала на другой. К простейшим из них относятся: зубчатые, ременные, цепные и фрикционные. Схематическое изображение зубчатых и фрикционных механизмов показано на рис. 2.5а
, а ременных и цепных на рис. 2.5.б
. Найдем скорость точки а
: Отсюда: т.е. угловые скорости обратно пропорциональны радиусом колес. Величина i
1-2
называется передаточным отношением. У зубчатых и цепных передач – передаточное отношение точное, у ременных и фрикционных – может быть проскальзывание. Ременные и цепные передачи позволяют передавать вращение на большие расстояния, чем зубчатые и фрикционные. С устройством передаточных механизмов, их изготовлением, расчетами и эксплуатацией вы познакомитесь в курсах «Теория механизмов и машин» и «Детали машин». Тема 3
Сложное движение точки
3.1 Основные определения
До сих пор мы рассматриваем движение точки в одной, неподвижной системе отсчета. Однако, часто встречаются случаи, когда точка движется по определенному закону в некоторой системе отсчета, которая, в свою очередь, перемещается относительно неподвижной системы отсчета. Такое движение точки называется сложным. Введем основные определения сложного движения точки. Движение точки в подвижной системе отсчета называется относительным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются относительными и обозначаются: Движение точки вместе с подвижной системой называется переносным. Скорость и ускорение той точки М/
подвижной системы, в которой в данный момент находится движущаяся точка М
, являются для данной точки переносной скоростью и переносным ускорением и обозначаются Движение точки относительно неподвижной системы отсчета называется абсолютным. Скорость и ускорение точки в этом движении называются абсолютными и обозначаются Пусть точка М
движется в подвижной системе отсчета оху
z
. Ее координаты х, у,
z
являются функциями времени, а координаты х/
, у/
,
z
/
точки М/
подвижной системы, в которой в данный момент находится движущая точка М
, являются константами. Но в любой момент времени х = х/
, у = у/
,
z
=
z
/
(3.1) Введем в рассмотрение радиусы-векторы, определяющие положение точек М
и М/
в подвижной и неподвижной системах отсчета (рис. 3.1). 3.2 Теоремы о схождении скоростей и ускорений
Скорости и ускорения точки в различных движениях будем определять как первую и вторую производные по времени от соответствующих радиусов-векторов. 1. Относительную скорость и относительное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора 2. Переносную скорость и переносное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора так как дифференцирование проведено, то мы можем воспользоваться равенствами (3.1), т.е. заменить х/
на х
, у/
на у
, z
/
на z
: 3. Абсолютную скорость и абсолютное ускорение находим как первую и вторую производные по времени от радиус-вектора Таким образом доказана теорема сложения скоростей: Абсолютная скорость равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей. находим абсолютное ускорение: где введено обозначение: Величина Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме переносного, относительного и Кориолисов ускорений. 3.3 Ускорение Кориолиса, его величина направление и физический смысл
Рассмотрим ускорение Кориолиса, определяемое равенством (3.7). Если подвижная система движется относительно неподвижной поступательно (т.е. переносное движение поступательное), то единичные орты будут постоянны и по модулю и по направлению и их производные по времени будут равны нулю, следовательно и ускорение Кориолиса равно нулю. Теорема о сложении ускорений при поступательном переносном движении будет выражаться равенством: Рассмотрим переносное вращательное движение. Пусть подвижная система вращается вокруг оси О3 с угловой скоростью Следовательно: с другой стороны, скорости точек А, В
и С
мы можем найти как во вращательном движении по формуле (2.11): сравнивая (а
) и (б
) находим, что: Подставим эти значения в формулу (3.7) Таким образом ускорение Кориолиса равно удвоенному векторному произведению вектора угловой скорости переносного движения на вектор относительной скорости. Его величина В соответствии с правилом векторного произведения ускорения Кориолиса направлено перпендикулярно плоскости, в которой лежат векторы Другое правило: чтобы найти направление ускорения Кориолиса, надо вектор Физический смысл ускорения Кориолиса выясним на таком примере. Пусть круглая платформа вращается с постоянной угловой скоростью Таким образом, ускорение Кориолиса характеризует изменение относительной скорости в результате переносного движения и изменение переносной скорости в результате относительного движения. В общем случае движения формулы (3.8) удобнее использовать в таком виде: Задача кинематики плоского движения твердого тела - найти характеристики движения самого тела и отдельных его точек. В данном задании к таким характеристикам относятся векторы угловой скорости и углового ускорения тела. Основные формулы кинематики плоского движения твердого тела - векторные формулы, связывающие соответственно скорости и ускорения двух произвольных точек плоской фигуры, например, точек А и В (рис. 1) где Левые части выражений являются соответственно векторамискорости, нормального и касательного ускорения точки В относительно системы координат Ax'y'z'при вращении отрезка АВ в плоскости рисунка вокруг точки A, называемой в таком случае полюсом, с угловой скоростью ½ Векторы Поскольку модуль ускорения Векторы Модуль проекции равен модулю вектора Если О направлении векторов Из формул, использующих понятие МЦС (точка Р) на рис.2, следует, что в данный момент времени распределение скоростей точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Рz
с угловой скоростью Из формул, использующих понятие МЦУ (точка Q на рис. 3), следует, что в данный момент времени распределение ускорений точек тела при плоском движении таково, как если бы тело вращалось вокруг оси Qz
с угловой скоростью Угол Направления векторов Рис. 4 Чтобы избежать анализа расположения трех взаимно перпендикулярных векторов формул (7) при известных Рис. 5 Кинематика плоского движения катка радиуса R. при отсутствии скольжения по направляющей (в общемслучае криволинейной), имеет некоторые особенности вследствие того,что мгновенный центр скоростей катка (точка Р ) совпадает с точкой окружности касающейся направляющей (рис. 5). Поэтому при движении каткарасстояние от его центра (точкиА) до МЦС является неизменным во времени и равнымR. AP(t) = const = R(8) Свойство неизменности расстояния АР позволяет установить дополнительные соотношения, удобные для расчетов кинематических характеристик катка. Представим вектор скорости точки А с помощью: а) формулы естественного способа задания движения точки б) формулы (7) плоского движения тела Поскольку вектoр Откуда, используя свойство (8), получим формулы справедливые для любого момента времени t. В правой части формулы (9) берется знак "+", если при мысленном увеличении угла поворота катка jв направлении против хода стрелки часов наблюдается возрастание координаты SА
центра движущегося катка в положительном направлении ее отсчета, иначе берется знак "-". Так, например, для случая отсчетов SА
и j, изображенном на рис.5, в формуле (9) необходимо брать знак "-". Дифференцируя и интегрируя по времени соотношения (9), придем к выражениям а также где С - некоторая константа, значение которой зависит от выбора начал отсчетов SА
и j. Обычно принимают С=0, так как считают, что когда SА
=0, j также равно нулю. Из произведения соответствующих частей формул (9), (10), Таким образом, с помощью формул (1-4), (8-9) могут быть найдены характеристики векторов скоростей и ускорений точек, векторов угловых скоростей и ускорений звеньев механизма, а с помощью формул (5, 6), (11) осуществлена их проверка. Нахождение кинематических характеристик движения ( 1) написать формулу (1) или (2) применительно к конкретным точкам рассматриваемого звена механизма. При этом в качестве полюса следует взять точку с известными кинематическими характеристиками движения; 2) установить, известны или неизвестны на данном этапе решения две независимые характеристики {проекции на две оси или модуль и направляющий угол) для каждого вектора, входящего в уравнение (1) или (2). Найти значения тех независимых характеристик векторов, которые могут быть установлены из условий движения звена без решения рассматриваемого векторного уравнения; 3) решить векторное уравнение графоаналитическим или аналитическим методом (метод проекций).
|