Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Рассчётно-графическая работа С-7
«Определение реакции опор твёрдого тела»
Результаты вычислений приведены в таблице:
При нахождении «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям её траектории». 1.
Скорость
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полную скорость точки в момент времени 2. Ускорение
В общем случае для пространственной системы координат будем иметь:
Для нашего случая уравнения для составляющих по осям координат будут иметь следующий вид:
После дифференцирования получим:
Найдём полное ускорение точки в момент времени С другой стороны ускорение можно найти по формуле: тангенциальное ускорение (касательная составляющая полного ускорения), а где Тогда Подставив значения, получим: Найдём уравнение движения точки. Для этого выразим из второго уравнения переменную времени ( Получившееся уравнение ( Найдём начальное положение точки. Для этого подставим в уравнения значение Чтобы определить в какую сторону происходит движение необходимо подставить в уравнение движения время, отличное от движение происходит по левой ветви гиперболы в направлении, указанном на рисунке. Расставим на графике движения векторы скорости, ускорения и векторы полной скорости и ускорения: Дано:
m1
= m m2
= 2m m3
= 9m R3
= 0,3 м i3ξ
= 0,2 м α = 30 f
= 0,12 δ = 0,25 см s = 1,5 м Найти
:
V
1
= ? Решение:
По теореме об изменении кинетической энергии системы: Кинетическая энергия системы равна: Сумма работ внешних сил: Интегрирование дифференциальных уравнений
Д-1 вар. 9
Vв d Дано
a=15° ; ; ƒ=0,1 τ=0,3 ;β=45α h=42 β Найти
Va, Vв Решение
mX=SXi 1 Fтр=fN mX=Gsina-Fcoпр N=Gcosa X=gsina-fgcosa X=(g(sina-fcosa) t+ C1
X=(g(sina-fcosa)/2) t2
+ C1
t+ C2
X=g (sina-fcosa) t+ C1
X= (g (sina-fcosa)/2) t2
+С1
*t X=VвX=L Vв=g (sinα-ƒ*cosα)τ+Va2 L= ((g(sinα-ƒ*cosα)τ)/2)τ+С1
*t Рассмотрим движение лыжника от точки В до точки С, составим дифференциальное уравнение его движения. Mx=0 my=0 Начальные условия задачи: при t=0 X0=0 Y0=0 X0=Vв*cosα ; Y0=Vв*sinα Интегрируем уравнения дважды Х=C3 Y=gt+C4 2 X= C3t+ C5 Y=gt /2+C4t+C6 при t=0 X=C3; Y0=C4 X=C5; Y0=C6 Получим уравнения проекций скоростей тела. X=Vв*cosα , Y=gt+Vв*sinα и уравнения его движения X=Vв*cosα*tY=gt /2+Vв*sinα*t Уравнение траектории тела найдем , исключив параметр tиз уравнения движения получим уравнение параболы. Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα Y=hx=dh=tgβ*dd=h/tgβ Найдём Vв из уравнения 2 2 2 Y=gx/2(2Vв*cosα) + xtgα Vв=18м/с и найдём Va Vв=g(sinα-ƒ*cosα)τ+Va Va=11,3м/с Ответ: Va=11,3м/с Vв=18м/с Задание Д.3
Исследование колебательного движения материальной точки
Дано:
Найти:
Уравнение движения Решение:
Применим к решению задачи дифференциальное уравнение движения точки. Совместим начало координатной системы с положением покоя груза, соответствующим статической деформации пружины, при условии что точка В занимает свое среднее положение где Таким образом Здесь где Статическую деформацию пружины т.е. Откуда Дифференциальное уравнение движения груза примет вид: или после преобразования Разделив все члены уравнения на Введем обозначения: Получаем, что Имеем неоднородное уравнение где Общее решение однородного уравнения имеет вид: Частное решение неоднородного уравнения: Общий интеграл Для определения постоянных интегрирования найдем, кроме ого, уравнение для и используем начальные условия задачи. Рассматриваемое движение начинается в момент Таким образом, при Составим уравнения Откуда Тогда уравнение движения груза примет вид: Ответ:
Применение теоремы об изменении количества движения к исследованию движения механической системы. Дано: Найти:
Скорость Решение:
На механическую систему действуют внешние силы: Применим теорему об изменении количества движения механической системы в дифференциальной форме. В проекциях на оси координат где Количество движения системы тел 1, 2 и 3 где Здесь Очевидно, что Проецируя обе части векторного равенства (2) на координатные оси, получаем с учетом (3) и (4) где Проекция главного вектора внешних сил на координатные оси Знак « - » соответствует случаю, когда Подставляя (5) и (6) в (1), получим Выразим из второго уравнения системы (7) величину нормальной реакции и подставим ее в первое уравнение. В результате получим где Рассмотрим промежуток времени где С- постоянная интегрирования, определяемая из начального условия: при При Найдем значения Т.е. Интегрируя (9) с учетом (10), получим, при При Точное решение задачи.
Воспользовавшись методикой, изложенной выше, получим дифференциальное уравнение движения тела 1: где Из (12) и учитывая, что откуда Из (13) и учитывая, что При Ответ
:
|