Классический метод. Постоянное напряжение источника Дано: E = 150В; Em = 150В; w = 7000 рад/с; ye = 120°; L = 4 мГн; C = 5 мкФ; R 1 = 6 Ом; R 2 = 10 Ом; R 3 = 5 Ом; R 4 = 4 Ом. Найти: uC (t ). Классический метод. Постоянное напряжение источника. Сопротивление последовательного соединения R 1 , R 4 R 14 = R 1 + R 4 = 6 + 4 = 10 Ом. Алгебраизованное выражение для входного комплексного сопротивления относительно источника Z (p ) = + + R 14 = . Характеристическое уравнение Z (p ) = 0, R 3 (R 2 + R 14 )LC p 2 + ((R 2 + R 3 + R 14 )L + R 2 R 3 R 14 C )p + R 2 (R 3 + R 14 ) = 0; 5∙(10 + 10)∙4∙10-3 ∙5∙10-6 p 2 + ((10 + 5 + 10)∙4∙10-3 + 10∙5∙10∙5∙10-6 )p + 10∙(5 + 10) = 0: Корни характеристического уравнения p 1 = – 1510 с; p 2 = – 49700 с. Свободная составляющая тока в индуктивности iL св = A 1 e p 1 t + A 2 e p 2 t = A 1 e –1510 t + A 2 e –49700 t . Схема до коммутации. Начальное значение тока в ветви c индуктивностью iL (0) = E /(R 14 + R 3 ) = 150/(10 + 5) = 10 А. Начальное значение напряжения на емкости uC (0) = iL (0)R 3 = 10∙5 = 50 В. Схема после коммутации. Принужденная составляющая напряжения на емкостиuC пр = E = 150 В. Переходное напряжение на емкости и его производная по времени uC (t ) = uC пр + uC св (t ) = 150 + A 1 e –1510t + A 2 e –49700t ; = – 1510A 1 e –1510t – 49700A 2 e –49700t . Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов uC (0) = uC пр (0) + uC св (0) = 150 + A 1 + A 2 ; = – 1510A 1 – 49700A 2 . Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0 для правого узла – iC (0) + iL (0) + i 2 (0) = 0; для левого контура R 14 iE (0) + L – uC (0) = E ; для верхнего контура R 2 i 2 (0) – L = 0. Исключение величин i 2 (0), : (R 14 + R 2 )iC (0) – R 2 iL (0) – uC (0) = E ; (10 + 10)∙iC (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 150; Зависимые начальные условия iC (0) = 7,5 А; = = 7,5/(5∙10-6 ) = 1,5∙106 В/с. 50 = 180 + A 1 + A 2 ; 1,5∙106 = – 1510A 1 – 49700A 2 . Постоянные интегрирования A 1 = – 3,6 А; A 2 = 1,1 А. Искомый переходный ток в индуктивности iL (t ) = 10 – 3,6e –1510 t + 1,1e –49700 t . Классический метод. Переменное напряжение источника. Корни характеристического уравнения аналогично p 1 = – 1510 с; p 2 = – 49700 с. Свободная составляющая напряжения на емкости uC св = A 1 e p 1 t + A 2 e p 2 t = A 1 e –1510 t + A 2 e –49700 t . Реактивные сопротивления индуктивности и емкости XL = wL = 7000∙4∙10-3 = 28 Ом; XC = 1/(wC ) = 1/(7000∙5∙10-6 ) = 28,6 Ом. Комплексные величины: амплитуда напряжения источника m = Em e y e = 150e 120 ° В; сопротивления параллельных соединений ветвей R 2 , L и R 3 , C Z R 2 L = = 1/(1/10 + 1/j 28) = 8,87 + j 3,17 Ом; Z R 3C = = 1/(1/5 + 1/(– j 28,6)) = 4,85 – j 0,85 Ом = 4,93e – j 9,93 ° Ом. Схема до коммутации. Комплексные значения: сопротивление цепи относительно источника Z = Z R 2 L + Z R 3 C + R 14 = (8,87 + j 3,17) + (4,85 – j 0,85) + 10 = 23,8e j 5,58 ° Ом; амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью em = m /Z = 150e 120 ° /23,8e j 5,58 ° = 6,29e j 114,45 ° А; Lm = em /(jXL /R 2 + 1) = 6,29e j 114,45 ° /(j 28/10 + 1) = 2,12e j 44,11 ° А; амплитуда напряжения на емкости Cm = em Z R 3 C = 6,29e j 114,45 ° ∙4,93e – j 9,93 ° = 31,0e j 104,52 ° В; ЭДС источника, ток в ветви с индуктивностью и напряжение на емкости при t = 0 e (0) = Em sin ye = 150∙sin 120° = 129,9 В; iL (0) = 2,12 sin 44,11° = 1,47 А; uC (0) = 31,0 sin 104,52° = 30,0 В. Cхема после коммутации. Комплексные значения: сопротивление цепи относительно источника Z = Z R 2 L – j XC + R 14 = (8,87 + j 3,17) – j 28,6 + 10 = 31,6e– j 53,34 ° Ом; амплитуды тока в ветвях с источником и индуктивностью em = m /Z = 150e 120 ° /31,6e – j 53,34 ° = 4,74e j 173,43 ° А; Lm = em /(jXL /R 2 + 1) = 1,74e j 173,43 ° /(j 28/10 + 1) = 1,59e j 103,09 ° А; амплитуда напряжения на емкости Cm = em (– jXC ) = 4,74e j 173,43 ° ∙28,6e – j 90 ° = 135,4e j 83,44 ° В. Принужденная составляющая напряжения на емкости uC пр (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°). Переходное напряжение на емкости и его производная по времени uC (t ) = uC пр (t ) + uC св (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) + A 1 e –1510t + A 2 e –49700t ; = 94500 cos(7000t + 83,44°) – 1510A 1 e –1510t – 49700A 2 e –49700t . Система уравнений для определения неизвестных коэффициентов uC (0) = uC пр (0) + uC св (0) = 135,4 sin 83,44° + A 1 + A 2 ; = 94500 cos83,44° – 1510A 1 – 49700A 2 . Уравнения по закону Кирхгофа для схемы после коммутации при t = 0 для правого узла – iС (0) + iL (0) + i 2 (0) = 0; для левого контура R 14 iС (0) + L – uC (0) = e (0); для верхнего контура R 2 i 2 (0) – L = 0. Исключение величин i 2 (0), : (R 14 + R 2 )iС (0) – R 2 iL (0) – uC (0) = e (0); (10 + 10)∙ie (0) – 10∙1,47 – 30,0 = 129,9; Зависимые начальные условия iС (0) = 8,73 А; = = 8,73/(5∙10-6 ) = 1,75∙106 В/с. 30,0 = 135,4 sin 83,44° + A 1 + A 2 ; 1,75∙106 = 94500 cos 83,44° – 1510A 1 – 49700A 2 . Постоянные интегрирования A 1 = – 73,9 А; A 2 = – 30,7 А. Искомое переходное напряжение на емкости uC (t ) = 135,4 sin(7000t + 83,44°) – 73,9e –1510 t – 30,7e –49700 t . Временные диаграммы переходного тока в индуктивности для постоянного и переменного напряжения Операторный метод. Постоянное напряжение источника. Эквивалентная операторная схема Начальные условия Ток в цепи с индуктивностью при t = 0: iL (0) = E /(R 14 + R 3 ) = 150/(10 + 5) = 10 А. Напряжение на емкости при t = 0: uC (0) = iL (0)R 3 = 10∙5 = 50 В. Операторные контурные уравнения для смежных контуров-ячеек I 11 (p )(R 14 + pL + 1/(pC )) – I 22 (p )pL – I 33 (p )(1/(pC )) = – E