Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Теорема Тейлора ~ Степенной ряд ~ Основные разложения Теорема Тейлора
(о разложении функции в степенной ряд). Функция, аналитическая в области комплексных чисел D
, в окрестности каждой точки z
0
этой области представляется в виде степенного ряда
: радиус сходимости R
которого не меньше, чем расстояние от точки z
0
до границы области D
. Коэффициенты ряда Тейлора вычисляются по формуле: где Радиус сходимости ряда Тейлора равен расстоянию от точки z
0
до ближайшей особой точки функции. Для вычисления радиуса сходимости ряда Тейлора можно также использовать формулы: Пример 1
. Записать разложение по степеням z
функции f
(z
) = ch z
. Найдем производные функции: В данном примере z
0
= 0. По формуле (3) имеем: Так как ch z
- аналитическая функция в области действительных чисел, то радиус R
равен бесконечности. В результате имеем: Пример 2
. Разложить по степеням (z
-3) функцию f
(z
) = sin z
. Обозначим z
-3 = t
. Используя тригонометрическую формулу для функции sin (3+t), получим: Используя основные разложения, имеем: Так как t
= z
-3, то т.е. где Пример 3
. Разложить по степеням z
функцию Дробь правильная. Раскладываем ее на элементарные дроби: Для исходной дроби получаем разложение: или, складывая ряды: Окончательный ответ: Теорема Лорана (о разложении функции в ряд по целым степеням). Функция f
(z
), аналитическая в кольце Коэффициенты ряда вычисляются по формуле: Ряд (1), коэффициенты которого вычисляются по формуле (2), называется рядом Лорана функции f
(z
). Совокупность членов ряда с неотрицательными степенями Для коэффициентов ряда имеет место формула оценки коэффициентов - неравенство Коши: На границах кольца сходимости ряда Лорана есть хотя бы по одной особой точке функции f
(z
) - его суммы. Частными случаями рядов Лорана являются разложения функции в окрестности особой точки z
0
(r
= 0) и в окрестности бесконечно удаленной точки (z
0
= 0, При построении разложений в ряд Лорана
используются разложения в степенные ряды (ряды Тейлора), используются основные разложения и арифметические операции со сходящимися рядами. Пример 1. Разложить функцию Решение.
Так как функция является рациональной дробью, то особыми точками являются нули знаменателя, т.е. z
1
= -1 и z
2
= 3. Запишем функцию в виде Кольца аналитичности | z
| < 1, 1 < | z
| < 3, | z
| > 3. Раскладываем дробь на элементарные дроби: При | z
| < 1 имеем: Таким образом, в круге | z
| < 1 функция раскладывается в ряд Тейлора: В кольце 1 < | z
| < 3: В итоге имеем: В круге | z
| > 3: В итоге имеем: Пример 2. Разложить функцию f
(z
) = z
3
·e
1/z
в окрестности точки z
0
= 0. Решение.
Из основного разложения или Вычет функции ~ Вычисление вычетов Вычетом функцииf(z) в изолированной особой точке z
0
(точка принадлежит области комплексных чисел) называется интеграл вида: Обозначается вычет Вычет функции в конечной изолированной особой точке равен коэффициенту С
-1
при первой отрицательной степени в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки, т.е. при 1/(z
-z
0
) для z
0
, принадлежащей области комплексных чисел: ПРИМЕР 1. Вычисление вычета функции в ее конечных особых точках. Если конечная особая точка z
0
является устранимой особой точкой функции f
(z
), то ПРИМЕР 2. Вычисление вычета в устранимой особой точке. Если z
0
- полюс порядка n
функции f
(z
), z
0
принадлежит области комплексных чисел, то ПРИМЕР 3. Вычисление вычета в полюсе порядка n. Если z
0
- простой полюс функции ПРИМЕР 4. Вычисление вычета в простом полюсе. Если z
0
- существенно особая точка функции f
(z
), то вычет в ней находится, исходя из определения, т.е. как С
-1
- коэффициент в разложении f
(z
) в ряд Лорана в окрестности z
0
. ПРИМЕР 5. Вычисление вычета в существенной особой точке. Пример 1. Вычислить вычет функции f (z) = (z+2)/(z2
-2z-3) в точке z = 3. Решение.
Разложим функцию в ряд Лорана по степеням z - 3: Из этого разложения находим Заметим, что здесь точка z = 3 - простой полюс. Пример 2. Вычислить вычет функции f(z) в точке z = 0, Решение.
Запишем т.е. z= 0 - устранимая особая точка. Следовательно, Пример 3. Вычислить вычет функции Так как Пример 4
. Вычислить вычет функции f(z) = ctg 2z во всех ее особых точках. Решение.
В точках Следовательно, Пример 5
. Вычислить вычет функции Решение.
Разложим замкнутую функцию в ряд Лорана в окрестности z
= 1: Из этого разложения следует, что z
= 1 является существенной особой точкой и Теорема о вычетах ~ Примеры Теорема (Основная теорема о вычетах). Если функция f
(z
- аналитична в ПРИМЕР 1. Вычисление интеграла по теореме о вычетах. ПРИМЕР 2. Вычисление интеграла по теореме о вычетах. ПРИМЕР 3. Вычисление интеграла по теореме о вычетах. Пример 1. Вычислить интеграл Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения exp(z
) - i =
0, т.е. точки Кругу Эта точка - простой полюс функции Вычислим вычет в простом полюсе f
(z
): Тогда Пример 2. Вычислить интеграл Решение.
Единственная особая точка подынтегральной функции - существенно особая точка z
= 0. Она принадлежит области, ограниченной контуром интегрирования. Вычислим вычет в существенно особой точке функции f
(z
): Тогда Пример 3. Вычислить интеграл Решение.
Особыми точками подынтегральной функции являются нули знаменателя - корни уравнения z
4
+ 1 =
0, т.е. точки Все эти точки - простые полюсы подынтегральной функции, кругу Вычислим вычеты f
(z
) в этих точках: Тогда
|