Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 28
Световод: уравнение, типы волн в световодах. Критические длины и частоты 1. Уравнение передачи по световоду
Рассмотрим волоконный световод без потерь двухслойной конструкции, приведенный на рис. 1 b n2
n1
a Рис. 1 Для описания поведения электромагнитного поля в сердечнике (0<r<a) и в оболочке (a<r<b) необходимо использовать различные функции. Исходя из физической сущности процессов, функции внутри сердечника при r=0 должны быть конечными, а в оболочке описывать спадающее поле. Для определения основных параметров световодов (критической частоты, волнового числа, скорости передачи и др.) воспользуемся основными уравнениями электродинамики – уравнениями Максвелла, которые для диэлектрических волноводов имеют вид: Уравнения Максвелла справедливы для любой системы координат. Для направляющих систем эти уравнения наиболее часто применяются в цилиндрической системе координат, ось Z которой совместим с оптической осью световода: Для решения инженерных задач электродинамики необходимо знать продольные составляющие полей Еz
и Hz
. Их можно получить следующим образом. Преобразуем первое из уравнений Максвелла (1) к виду Тогда, используя соотношение где Поступая аналогично со вторым уравнением Максвелла (2), получим Отсюда следует, что продольные электромагнитные составляющие векторов Ez
и Hz
удовлетворяют уравнениям Где Тогда для продольных составляющих Ez
и Hz
в цилиндричееской системе координат получим дифференциальные уравнения второго порядка: Допустим, что напряженность электромагнитного поля в направлении оси Z меняется по экспоненциальному закону, т.е. Для составляющей Еz
Подставляя полученное значениe в уравнения (3), получим Введем обозначение где Решение уравнений (4) для сердечника следует выразить через цилиндрические функции первого рода – функции Бесселя, имеющие конечные значения при r=0. Поэтому можно написать где Аn
и Вn
– постоянные интегрирования. Воспользовавшись уравнениями (2), рассмотрим связь между поперечными и продольными компонентами поля. В частности, для составляющей Еr
имеем Возьмем производную от второго выражения по Учитывая, что Тогда Подставим данное выражение в уравнение для Еr
Окончательно получим Аналогично можно установить связь между продольными и другими поперечными компонентами поля Воспользовавшись уравнениями (5) возьмем соответствующие производные Тогда выражения для поперечных составляющих электрического и магнитного полей в сердечнике световода, полагая, что Для оболочки имеем аналогичную систему уравнений: где Для решения данных уравнений, исходя из условия, что при где Сn
, Dn
– постоянные интегрирования. Тогда для поперечных составляющих поля в оболочке можно написать следующие выражения: Постоянные интегрирования Аn
, Вn
, Сn
, Dn
могут быть определены на основании граничных условий. Используем условия равенства тангенциальных составляющих напряженностей электрических и магнитных полей на поверхности раздела сердечник-оболочка (при r=а): Найдя постоянные интегрирования и подставив их в уравнения, после соответствующих преобразований получим следующее трансцендентное уравнение: Полученные уравнения дают возможность определить неизвестные постоянные и найти структуру поля в сердечнике и оболочке волоконного световода. В общем случае уравнения имеют ряд решений, каждому из которых соответствует определенная структура поля, называемая типом волны или модой. световод уравнение интегрирование волна 2. Типы волн в световодах
В сетоводах могут существовать два типа волн: симметричные E0m
, H0m
несимметричные дипольные EHnm
, HEnm
. В индексе n – число изменений поля по диаметру; m – число изменений поля по периметру. Симметричные волны электрические Е0m
и магнитные H0m
имеют круговую симметрию (n=0). Раздельное распространение по световоду несимметричных волн типа невозможно. В световоде они существуют только совместно, т.е. имеются продольные составляющие Е и Н. Эти волны называются смешанными, дипольными и обозначаются через HЕnm
, если поле в поперечном сечении напоминает поле Н, или EНnm
, если поле в поперечном сечении ближе к волнам Е. Из всей номенклатуры смешанных волн в оптических кабелях наибольшее применение получила волна типа НЕ11
(или ЕН10
). На этой волне работают одномодовые световоды, имеющие наибольшую пропускную способность Представляет интерес сопоставить указанную классификацию электромагнитных волн с лучевой классификацией. Как уже отмечалось, по волоконным световодам возможна передача двух видов лучей: меридиональных и косых. Меридиональные лучи расположены в плоскости, проходящей через ось волоконного световода. Косые лучи не пересекают ось световода. Меридиональным лучам соответствуют симметричные электрические Е0m
и магнитныеH0m
волны, косым лучам – несимметричные гибридные EНnm
и HЕnm
волны. Если точеченый источник излучения расположен по оси световода, то имеются только меридиональные лучи и соответственно симметричные волны Е0m
, H0m
. Если же точечный источник расположен вне оси световода или имеется сложный источник, то появляются одновременно как меридиональные, так и косые лучи и свойственные им симметричные Е0m
, H0m
и несимметричные гибридные (EНnm
и HЕnm
) волны. Несимметричные волны типа Enm
и Hnm
в волоконных световодах существовать не могут. Эти волны возбуждаются только в металлических волноводах. Основное уравнение передачи по волоконному световоду для случая Для симметричных волн правая часть уравнения (8) равна нулю, тогда имеем два различных уравнения для электрической Е0m
и магнитной Н0m
волн: для Е0m
для Н0m
Для смешанных дипольных волн можно получить следующие приближенные уравнения: для НЕnm
для ЕНnm
Для области часто, далеко отстоящих от критической частоты, можно воспользоваться более простыми выражениями: для НEnm
для ЕHnm
Данные выражения позволяют определять структуру поля, параметры волн и характеристики волоконного световода при различных типах волн и частотах. Каждый тип волны (мода) имеют свою критическую частоту и длину волны. Наличие критической частоты в волоконных световодах объясняется тем, что при очень высоких частотах почти вся энергия концентрируется внутри сердечника световода, а с уменьшением частоты происходит перераспределение поля и энергия переходит в окружающее пространство. При определенной частоте fo
– критической, или частоте отсечки, поле больше не распространяется вдоль световода и вся энергия рассиевается в окружающим пространстве. Ранее были приведены следующие соотношения: где k1
и k2
– волновое число соответственно сердечника и оболочки световода: g1
и g2
– поперечное волновое число соответственно для сердечника и оболочки. а – радиус сердечника волокна. Учитывая, что получим Полагая, что r=a, произведем сложение левых и правых частей приведенных выражений Для определения критической частоты fo
надо принять g2
=0. При всех значениях g2
>0 поле концентрируется в сердечнике световода, а при g2
=0 оно выходит из сердечника и процесс распространения по световоду прекращается. По закону геометрической оптики условие g2
=0 соответствует углу полного внутреннего отражения, при котором отсутствует преломленная волна, а есть толь падающая и отраженная волны. Тогда при g2
=0 имеем Подставив в эту формулу значение Умножив числитель и знаменатель на параметр а (радиус сердечника), получим значение критической частоты и критической длины волны где g1
a – корни бесселевых функций. Так как световоды изготавливаются из немагнитных материалов ( Принципиально аналогичный результат можно получить лучевым методом непосредственно из законов геометрической оптики путем сопоставления падающей, отраженной и преломленной волн на границе сердечник-оболочка световода. Анализируя полученные соотношения, можно сказать, что чем толще сердечник световода и чем больше отличаются Для определения критических частот различных типов волн рассмотрим корни ранее полученного выражения бесселевых функций J0m
(g1
a) для симметричных и Jnm
(g1
a) для несимметричных волн. Эти равенства дают бесконечное число корней, значения которых приведены в табл. 1. Таблица 1 0 1 1 2 2 2,405 0,000 3,832 2,445 5,136 5,520 3,832 7,016 5,538 8,417 8,654 7,016 10,173 8,665 11,620 Е, Н НЕ ЕН НЕ ЕН Рассмотрим физический смысл приведенных в табл. 1 корней бесселевых функций g1
a. Поскольку при отсечке g2
=0, т.е. Последнее выражение обратно пропорционально где При такой трактовке табл. 1 содержит нормированные частоты При Из табл. 1 видно, что для несимметричной волны НЕ11
значение Таблица 2 0,000–2,405 2,405–3,832 3,832–5,316 5,316–5,520 5,520–6,380 6,380–7,016 7,016–7,588 7,588–8,417 8,417–11,620 HE11
H01
, E01
, HE21
HE12
, EH11
, HE31
EH21
, HE41
H02
, E02
, HE22
EH31
, HE51
HE13
, EH12
, HE32
EH41
, HE61
EH22
, E03
, H03
, EH13
, HE23
, EH23
2 6 12 16 20 24 30 34 40 Из табл. 2 следует, что с увеличением частоты появляются новые типы волн. Так, начиная с Итак, интервал значений Одномодовый режим практически достигается при применении очень тонких волокон, равных по диаметру длине волны Диаметр сердечника волоконного световода для одномодовой передачи может быть определен из следующей формулы: Пример: для световода из стекловолокна с показателем преломления сердечника 1,48 и показателем преломления оболочки 1,447 при волне Е01
длиной 1,55 мкм для одноволновой передачи получим
|