Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 27
Механическая система под действием сил тяжести приходит в движение из состояния покоя, начальное положение системы показано на рис. 1. Учитывая сопротивление качению тела 3
, катящегося без скольжения, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, предполагаемых нерастяжимыми, определить скорость тела 1
в тот момент времени, когда пройденный путь станет равным
s
.
В задании приняты следующие обозначения: m1
, m2
, m3,
m4
– массы тел 1, 2, 3, 4; R3
– радиус большой окружности; δ
– коэффициент трения качения. Необходимые для решения данные приведены в таблице 1. Блоки и катки считать сплошными однородными цилиндрами. Наклонные участки нитей параллельны соответствующим наклонным плоскостям. Таблица 1. Решение
Применим теорему об изменении кинетической энергии системы: где T0
и T – кинетическая энергия системы в начальном и конечном положениях; Для рассматриваемых систем, состоящих из абсолютно твердых тел, соединенных нерастяжимыми нитями, Так как в начальном положении система находится в покое, то Т0
=0. Следовательно, уравнение (1) принимает вид: Кинетическая энергия рассматриваемой системы Т в конечном ее положении (рис.2) равна сумме кинетических энергий тел 1
, 2
, 3
и 4
: Т = Т1
+ Т2
+ 4Т3
+ Т4
. (3) Кинетическая энергия груза 1
, движущегося поступательно, Кинетическая энергия барабана 2
, совершающего вращательное движение, где J2
x
– момент инерции барабана 2
относительно центральной продольной оси: w2
– угловая скорость барабана 2
: После подстановки (6) и (7) в (5) выражение кинетической энергии барабана 2
принимает вид: Кинетическая энергия колеса 3
, совершающего плоскопараллельное движение: где VC
3
– скорость центра тяжести С3
барабана 3
, J3
x
– момент инерции барабана 3 относительно центральной продольной оси: w3
– угловая скорость барабана 3
. Мгновенный центр скоростей находится в точке СV
. Поэтому Подставляя (10), (11) и (12) в (9), получим: Кинетическая энергия груза 4
, движущегося поступательно Кинетическая энергия всей механической системы определяется по формуле (3) с учетом (4), (8), (13), (15): Подставляя и заданные значения масс в (3), имеем: или Найдем сумму работ всех внешних сил, приложенных к системе, на заданном ее перемещении (рис. 3). Работа силы тяжести Работа силы тяжести Работа пары сил сопротивления качению где Подставляя (19), (20) и (21) в (18), получаем: Работа силы тяжести Работа силы тяжести Сумма работ внешних сил определится сложением работ, вычисляемых по формулам (17) – (24): Подставляя заданные значения, получаем: Или Согласно теореме (2) приравняем значения Т и откуда выводим Дано:
R2
=30; r2
=20; R3
=40; r3
=40 X=C2
t2
+C1
t+C0
При t=0 x0
=7 t2
=2 x2
=557 см X0
=2C2
t+C1
C0
=7 C1
=0 557=C2
*52
+0*5+7 25C2
=557-7=550 C2
=22 X=22t2
+0t+7 a= V=r2
R2
Vm
=r3
* at
m
=r3
at
m
=R3
an
m
=R3
a= *********************************** Дано :R2
=15; r2
=10; R3
=15; r3
=15 X=C2
t2
+C1
t+C0
При t=0 x0
=6 t2
=2 x2
=80 см X0
=2C2
t+C1
C0
=10 C1
=7 80=C2
*22
+3*2+6 4C2
=80-6-6=68 C2
=17 X=17t2
+3t+6 a= V=r2
R2
Vm
=r3
* at
m
=r3
at
m
=R3
an
m
=R3
a= Решение второй задачи механики
Дано:
m=4.5 кг; V0
=24 м/с; R=0.5V H; t1
=3 c; f=0.2; Q=9 H; Fx
=3sin(2t) H. Решение:
1) Рассмотрим движение на промежутке АВ учитывая, что R=0.5VH; Разделяем переменные и интегрируем 2) Рассмотрим движение на промежутке ВС (V0
=VB
) Дано:
m
=36 кг
R
=6 см=0,06 м
H
=42 см=0,42 м
yC
=1 см=0,01 м
z
С
=25 см=0,25 м
АВ=52 см=0,52
М=0,8 Н·м
t
1
=5 с
Найти реакции в опорах А
и В
. Решение
Для решения задачи используем систему уравнений, вытекающую из принципа Даламбера: Для определения углового ускорения ε
из последнего уравнения системы (1) найдем момент инерции тела относительно оси вращения z
по формуле где Jz
1
− момент инерции тела относительно центральной оси С
z
1
, параллельной оси z
; d
– расстояние между осями z
и z
1
. Воспользуемся формулой где α
, b
, g
- углы, составленные осью z
1
с осями x
, h
, z
соответственно. Так как α=90º
, то Определим моменты инерции тела Вычисляем Определяем угол g
из соотношения Угол b
равен По формуле (4), вычисляем Момент инерции тела относительно оси вращения z
вычисляем по формуле (2): где d
=
yC
; Из последнего уравнения системы (1) Угловая скорость при равноускоренном вращении тела поэтому при ω0
=0
и t
=
t
1
=5
c
Для определения реакций опор следует определить центробежные моменты инерции Центробежный момент инерции тела где Тогда Подставляя известные величины в систему уравнений (1), получаем следующие равенства Отсюда Ответ: Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения
Задание:
по заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (с) найти положение точки на траектории, ее скорость, касательное и нормальное ускорения, а также радиус кривизны траектории. Исходные данные:
x=5cos(pt2
/3); y= -5sin(pt2
/3); (1) t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). Решение: Уравнения движения (1) можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки. Получим уравнения траектории в координатной форме. x2
+ y2
= (5cos(pt2
/3))2
+ (-5sin(pt2
/3))2
; Получаем x2
+ y2
= 25, т. е. траекторией точки является окружность, показанная на рис. 1. Вектор скорости точки Вектор ускорения точки Здесь Vx
, Vy
,
ax
, ay
– проекции скорости и ускорения точки на соответствующие оси координат. Найдем их, дифференцируя по времени уравнения движения (1) По найденным проекциям определяем модуль скорости: V=Ö(Vx
2
+ Vy
2
); (4) и модуль ускорения точки: а = Модуль касательного ускорения точки аt
=|dV/dt|, (6) аt
= |(Vx
ax
+Vy
ay
)/V| (6’) Знак “+” при dV/dt означает, что движение точки ускоренное, знак “ - “ - что движение замедленное. Модуль нормального ускорения точки ап
= V2
/p; (7) p – радиус кривизны траектории. Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом: an
= После того как найдено нормальное ускорение по формуле (8), радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: p=V2
/ an
.
(9) Результаты вычислений по формулам (3)-(6), (8), (9) для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице Координаты см Скорость см/с Радиус см Ниже на рисунке показано положение точки М в заданный момент времени. Дополнительное задание:
z=1.5tx=5cos(pt2
/3); y= -5sin(pt2
/3); t1=1 (x и y – в см, t и t1 – в с). Найдем скорости и ускорения дифференцируя по времени уравнения движения По найденным проекциям определяем модуль скорости: V=Ö(Vx
2
+ Vy
2
+Vz
2
); и модуль ускорения точки: а = V= a=24.3 см/с; Касательное ускорение точки аt
= |(Vx
ax
+Vy
ay
+ Vz
az
)/V| at
=(-9.069*(-20.04)+(-5.24)*13.76+1.5*0)/10.58=10.36 см/с Модуль нормального ускорения точки можно найти и следующим образом: an
= an
=21.98 см/с2
. Радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: p=V2
/ an
.
р=5.1 см Результаты вычислений для момента времени t1=1с приведены ниже в таблице Координаты см Скорость см/с Радиус см Задание:
точка М движется относительно тела D. По заданным уравнениям относительного движения точки М и движения тела D определить для момента времени t=t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки М. Дано:
ОМ=Sr=120pt2
см; jе
=8t2
– 3t рад ; t1=1/3 c; R=40 см. Решение:
1) Положение точки М на теле D определяется расстоянием Sr
=ОМ при t=1/3 cSr
=120p/9=41.89 см. При t=1/3с Vr
=80p=251.33 см/с. ar
t
=d2
Sr
/dt2
ar
t
=240p=753.98 см/с2
ar
n
=Vr
2
/R ar
n
=(80p)2
/40=1579.14 см/с2
2) Ve
=we
r , где r- радиус окружности, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М. a=OM/R. r=R*sina=40*sin(p/3)=34.64 см. wе
=dje
/dt=16t-3 при t=1/3 wе
=7/3=2.33 с-1
Ve
=80.83 см/с. ае
ц
=we
2
r ае
ц
=188.6 см/с2
. ае
в
=eе
reе
= d2
je
/dt2
=16 с-2
ае
в
=554.24 см/с2
. 3) ас
=2*wе
Vr
sin(wе
, Vr
) sin(wе
, Vr
)=90-a=p/6 ac
=585.60 см/с2
4) V=Ö(Ve
2
+Vr
2
) V=264.01 см/с Модуль абсолютного ускорения находим методом проекций. ax
=aе
в
+ас
ay
=arn
cos(p/3)+ar
t
cos(p/6) az
=-ае
ц
- arn
cos(p/6)+ar
t
cos(p/3) а=Ö(ax
2
+ay
2
+az
2
) Результаты расчетов сведены в таблицу w
e
,
c-1
e
е
с-2
Определение реакций опор твердого тела
Дано
:
Q=10 kH; G=5 kH; a=40 см; b=30 см; c=20 см; R=25 см; r=15 см. Задание:
Найти реакции опор конструкции. Решение:
Для определения неизвестных реакций составим уравнения равновесия. Из уравнения (4) определяем P, а затем находим остальные реакции опор. Результаты вычислений сведем в таблицу. Проверка. Составим уравнения относительно точки В.
|