Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 27
«Интегрирование уравнений движения материальной точки, находящейся под действием переменных сил»
Задание: На наклонном участке АВ трубы на груз D, массой m действуют сила тяжести и сила сопротивления R, расстояние от точки А, где V=V0
, до точки В, равно L. На горизонтальном участке ВС на груз действует сила тяжести и переменная сила F = F(t). Дано: m = 4, кг V0
= 12, м/с Q = 12, Н R = 0,8V2
, Н L = 2.5, м Fx
= -8cos(4t), Н Определить: Закон движения груза на участке ВС ( x = f(t) ). Решение: 1. Пусть груз – материальная точка. Изобразим Далее находим: Учитывая, что Vx
= V: Выведем: где g = 10 м/с. Тогда: Разделяя переменные и интегрируя: По Н.У. при x = 0: V = V0
, откуда: Получим: Откуда: В результате: Полагая, что x=L=2.5 и заменяя k и n определим VB
: 2. Рассмотрим движение на BC. Рассмотрим движение ВС (V0
= V). Изобразим При t=0; V = V0
= VB
= 8.29 м/с: С2
= VB
= 8.29 м/с. К-3 Вариант 18
aB
aB
X Дано: ОА=10 АВ=10 АС=5 Woa
=2 EOA
=6 Найти: Ускорения во всех точках Va=Woa*OA=20 Va=Wao*Acv=Wab*AB*sin45 Wab=Va/Cva=4/21/2
Vb=Wab*BCv=Wab*AB*cos45=20 Vc=Wab*CCv=21/2
2*BC/2ctg45=521/2
/2 aA
bp
= Eoa
*OA=60 aA
цс
=WOA
2
*OA=40 aB
цс
= WOA
2
*AB=80 aB=
aA
bp
+aA
цс
+aAB
ЦС
+aAB
bp
X: 21/2
/2*aB=
aA
цс
+aAB
BP
Y: 21/2
/2*aB=
aA
BP
+aAB
ЦС
aAB
BP
=========== ==MOI===\KOI0-U=140-40=100 EAB
=100/10=10 aB=
aA
вp
+aA
цс
+aAC
ЦС
+aAC
вp
aAC
вp
= EAB
*АВ=50 aAC
ЦС
= WAВ
2
*АС=40 X: 21/2
/2*ac=
aA
цс
+aAB
BP
Y: 21/2
/2*ac=
aA
BP
+aAB
ЦС
aC
=( acx
2
+acy
2
)1/2
«Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения». Задание: По заданным уравнениям движения точки М установить вид ее траектории и для момента времени t = t1 (c) найти положение точки на траектории, ее скорость, полное, касательное и нормальное ускорения, а так же радиус кривизны траектории. Исходные данные: Решение: Для нахождения траектории точки, возведем в квадрат и приравняем левые части уравнений движения, предварительно выделив из них cos и sin соответственно, в результате получим: Траектория представляет из себя окружность радиуса r=3 см. Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения: По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки: Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле: Модуль нормального ускорения точки: Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1
= 1 c): Найденный радиус кривизны совпадает с определенным из уравнения траектории точки. На рисунке показано положение точки М в заданный момент времени Дополнительное задание. Определение скорости и ускорения точки при ее движении по пространственной траектории. Для этого к двум уравнениям движения добавляется 3-е уравнение. Исходные данные: Решение: Определим пространственную траекторию точки в координатной форме: Найдем проекции скорости и ускорения на оси координат дифференцируя по времени уравнения движения: По найденным проекциям определяются модуль скорости и модуль ускорения точки: Найдем модуль касательного ускорения точки по формуле: Модуль нормального ускорения точки: Когда найдено нормальное ускорение, радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке определяется из выражения: Результаты вычислений занесем в таблицу (для момента времени t = t1
= 1 c): «Определение реакций опор твердого тела». Задание: Найти реакции опор конструкции. Дано: Q = 6, кН G = 2, кН a = 60, см b = 40, см c = 60, см Определить: Реакции опор конструкции. Решение: К раме ABCD приложены сила тяжести Из этих сил – шесть неизвестных. Для их определения можно составить 6 уравнений равновесия. Уравнения моментов сил относительно координатных осей: Уравнения проекций сил на оси координат: Из этих уравнений находим: решая уравнения, находим неизвестные реакции. Результаты вычислений заносим в таблицу: Проверка: Проверка показала, что реакции опор твердого тела найдены правильно. В 18. Д – 1. Дано: VA
= 0, a = 30°, f = 0,1, ℓ = 2 м, d = 3 м. Найти: h и t. Решение: Рассмотрим движение камня на участке АВ. На него действуют силы тяжести G, нормальная реакция N и сила трения F.Составляем дифференциальное уравнение движения в проекции на ось X1
: Дважды интегрируя уравнение, получаем: По начальным условиям (при t = 0 x10
= 0 и Для определения VB
и t используем условия: в т.B (при t = t) , x1
= ℓ , Рассмотрим движение камня на участке ВС.На него действует только сила тяжести G. Составляем дифференциальные уравнения движения в проекции на оси X , Y : Дважды интегрируем уравнения: x = C3
t + C5
, y = gt2
/2 + C4
t + C6
, Для определения С3
, C4
, C5
, C6
, используем начальные условия (при t = 0): x0
= 0 , y0
= 0 , Отсюда находим : x0
= C5
, ÞC5
= 0 , y0
= C6
, ÞC6
= 0 Получаем уравнения : x = VB
×cosa×t , y = gt2
/2 + VB
×sina×t Исключаем параметр t : y = gx2
+ x×tga , 2V2
B
×cos2
a В точке С x = d = 3 м , у = h. Подставляя в уравнение VB
и d , находим h: h = 9,81×32
+ 3×tg30° = 5,36 м , 2×4,032
×cos2
|