Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 27
Академия ФСО России Первый закон Кирхгофа Второй закон Кирхгофа Расчет сложных цепей с помощью уравнений Кирхгофа Первый закон Кирхгофа
Алгебраическая сумма токов в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи, тождественно равна нулю. Согласно этому закону, если к некоторому узлу цепи подсоединено n
ветвей с токами i
1
,
i
2
, ...,
i
n
, то в любой момент времени где В качестве примера приведем схему на рисунке 1. Рис.1. В соответствии с первым законом Кирхгофа: Общее число уравнений, которое можно составить по первому закону Кирхгофа для цепи, равно числу узлов цепи Так, для четырех узлов графа (рисунок 2) можно составить следующие четыре уравнения: узел 1: узел 2: узел 3: узел 4: Первый закон Кирхгофа часто называют законом Кирхгофа для токов и сокращенно в тексте обозначают ЗКТ. Число независимых уравнений равно трем, так как любое из этих уравнений отличается от суммы трех остальных только знаком. Итак, если цепь содержит В качестве примера на применение первого закона Кирхгофа рассмотрим параллельное соединение нескольких элементов активных сопротивлений, конденсаторов, катушек индуктивности. Особенностью параллельного соединения нескольких элементов является равенство напряжений, приложенных к зажимам любого из элементов, входящих в соединение. Цепь при таком соединении характеризуется только одним независимым узлом. Пусть параллельно соединены n
элементов активного сопротивления. Если выбрать направления отчетов токов в элементах такими как это показано на рисунке 3, то согласно первому закону Кирхгоффа при параллельном соединении элементов запишем: учитывая, что где Зависимость При параллельном соединении конденсаторов (рисунок 4) ток ветви можно определить по формуле: Для вычисления общего тока необходимо просуммировать токи ветвей: где Таким образом, при параллельном соединении нескольких конденсаторов эквивалентная ёмкость равна сумме емкостей, входящих в соединение. В случае параллельного соединения катушек индуктивностей (рисунок 5) Рис.5. Уравнение для вычисления общего тока имеет вид: Следовательно Это означает, что значение эквивалентной индуктивности будит меньше наименьшего из значений соединённых параллельно индуктивностей. Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа формулируется следующим образом: алгебраическая сумма напряжений ветвей в любом контуре цепи тождественно равна нулю. Для замкнутого контура, изображённого на рисунке 6, можно записать соотношение: В соответствии со вторым законом Кирхгофа при обходе контура по часовой стрелке справедливо соотношение: Изменение направления обхода эквивалентно изменению знаков напряжений на противоположные (умножению на минус единицу). Примеры на применение второго закона Кирхгофа
Рис.7. В соответствии с выбранным направлением обхода по второму закону Кирхгофа получим уравнение: характерной особенностью последовательного соединения является равенство токов в каждом из элементов, входящих в соединение. При Таким образом, при последовательном соединении нескольких резисторов эквивалентное сопротивление равно сумме сопротивлений, входящих в соединение. При последовательном соединении катушек индуктивности (рисунок 8) можно записать: Если следовательно Это означает, что эквивалентная индуктивность равна сумме индуктивностей, входящих в последовательное соединение. В случае последовательного соединения конденсаторов (рисунок 9) по второму закону Кирхгофа можно записать: Рис.9. Заменяя Обратная ёмкость всех конденсаторов, соединенных последовательно, равна сумме обратных ёмкостей конденсаторов, входящих в соединение: При этом эквивалентная ёмкость соединения будет меньше наименьшей ёмкости конденсатора, входящего в последовательное соединение. Пример 1
Далеко не во всех случаях цепь представляет собой совокупность лишь последовательно и параллельно соединенных ветвей. В качестве примера рассмотрим вариант расчета с помощью уравнений Кирхгофа электрической цепи (рисунок 10). Цепь содержит Рис.10. Для определения всех токов и напряжений в схеме достаточно найти значения токов во всех ветвях цепи. Зная ток, проходящий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряжение этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов цепи. Если мы зададимся произвольно положительными направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем произвольно эти токи, то по первому закону Кирхгофа можно составить По второму закону Кирхгофа будет Совокупность из Подобная система уравнений имеет единственное решение, позволяющее найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений между любой парой узлов цепи. Для примера составим систему уравнений по первому закону Кирхгофа (рисунок 10). Число уравнений: Узел 1: узел 2: узел 3: В тоже время по второму закону Кирхгофа для контуров I, II, III можно составить систему из Контур I: контур II: контур III: Таким образом, решая систему из 6 уравнений с шестью неизвестными токами, например по методу Крамера, определим неизвестные. Если в цепи будет источник тока, то в системе уравнений неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника, а ток через источник будет равен току задающего источника. Общее число неизвестных сохранится прежним. Для цепи (рисунок 11) определить токи Выберем направления токов Число уравнений по второму закону Кирхгофа: Уравнение токов для узла 1: Уравнение по второму закону Кирхгофа: Подставим в уравнения (а) и (б) числовые значения получим: Решив эту систему, определим токи Литература
1. Белецкий А.Ф. Теория линейных электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1986. 2. Бакалов В.П. и др. Теория электрических цепей. – М.: Радио и связь, 1998. 3. Качанов Н. С. и др. Линейные радиотехнические устройства. М.: Воен. издат., 1974.
|