Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 27
|
Лекция 10
8.5. Линии равной толщины
Как ясно уже из заголовка, речь пойдет о пластинах (тонких пленках), толщина которых непостоянна. И, по существу, здесь не решается какая-то новая задача: механизм интерференции тот же, что и в случае плоскопараллельной пластине. Можно, например, зафиксировать величину угла падения q
, и мы получим готовую формулу, подставив в соответствующее выражение зависимость d
от координат. Обычно принимают значение q
=0
- в общем виде выражение громоздко и не представляется полезным. n=1
q
0 X
d0
n>1
a
Для реальной пластины зависимость d
от координат может быть какой угодно. Традиционно рассматриваются лишь некоторые частные случаи такой зависимости. Например, пластина может иметь форму клина. У показанной на рисунке пластины толщина зависит от координаты x
:
Для соседних максимумов, очевидно, D
k=1
, и мы имеем для ширины интерференционной полосы:
Мы, вроде, получили новую формулу, но, оказывается, она нам знакома. Действительно, после отражения от поверхностей и преломления лучи 1
и 2
расходятся под углом q
=2
a
n
, мы же при анализе интерференции волн от двух точечных источников получили для ширины интерференционной полосы выражение изображ.
поверхности
1 2
локализации
линза
1 2 поверхность
локализации
пластина
При интерференции волн от двух точечных источников волны реально, “на самом деле” взаимодействуют, складываются на поверхности экрана. Теперь же эти волны (1
и 2
) после отражения от двух поверхностей расходятся под углом q
. Возникает вопрос, где же они интерферируют друг с другом или, как принято выражаться, где локализованы интерференционныу полосы. Ответ на этот вопрос поясняется рисунком. Для наблюдения интерференции отраженных от поверхностей пластины (клина) волн используется линза и экран, на котором создается изображение поверхности локализации интерференционных полос. Эта последняя образована точками пересечения продолжений луча 1
(он “начинается” от верхней поверхности пластины) и луча 2
после его преломления. Другая традиционно рассматриваемая задача - кольца Ньютона. Это также линии равной толщины, но роль пластины здесь играет воздушный промежуток между плоской поверхность стеклянной, например, пластины и выпуклой поверхностью плосковыпуклой линзы. R
d(r)
r
Пусть угол между вертикалью и прямой, проведенной из центра кривизны к некоторой точке выпуклой поверхности линзы с координатой r
, равен a
. Тогда
Показатель преломления в промежутке между стеклянными поверхностями можно считать равным единице. Поэтому условие максимума будет
При таких значениях радиуса r
будут наблюдаться максимумы. Очевидно, минимумы будут при
В этих выражениях k
- целое. Эти выражения для радиусов колец Ньютона можно объединить в одно:
Теперь нечетным значениям k
соответствуют светлые кольца, четным - темные. 8.6. Интерферометры
8.6.1. Интерферометр Линника
Собственно, интерферометр Линника представляет собой слегка видоизмененный интерферометр Майкельсона и может быть назван и так и этак. Мы здесь обсудим не столько его устройство, сколько его применение для определения качества обработки поверхностей. З’
a
2
a
поверхн.
1
p1
P2
З
2
линза
З”
Основу интерферометра составляют две стеклянные пластины p1
и p2
и два зеркала, одним из которых служит исследуемая поверхность. Нижняя поверхность первой пластины представляет собой полупрозрачное
зеркало, на котором происходит разделение лучей: часть света (луч 1
) отражается вверх, отражается от исследуемой поверхности и после отражения от нижнего зеркала З”
направляется в окуляр (на рисунке не показан), через который и наблюдается интерференционная картина. После прохождения пластины p1
луч 2
направляется к зеркалу З
, отражается от него, затем от полупрозрачного зеркала и вместе с лучем 1
направляется к наблюдателю. Луч 1
после отражения от полупрозрачного зеркала и на обратном пути дважды проходит через пластину p1
, “набирая” тем самым некоторую “лишнюю” разность хода. Для ее компенсации служит пластина p2
, изготовленная из того же материала, что и первая. Разумеется, эту “лишнюю разность хода” можно было бы легко скомпенсировать простым перемещением зеркала, если бы не было дисперсии, зависимости коэффициента преломления от длины волны n(
l
)
. Применение компенсирующей пластины p1
позволяет осуществить такую компенсацию сразу для всех длин волн. Почему образуется интерференционная картина и как она выглядит помогает понять укрупненный фрагмент рисунка слева вверху. Реальный луч 2
и его отражение от зеркала З
можно заменить лучем 2’
и его “отражением” от изображения зеркала З
в полупрозрачном зеркале - З’
. Это изображение и исследуемая поверхность образуют клин, пластину изменяющейся толщины. Соответственно, через окуляр наблюдаются интерференционные линии равной толщины - прямые, направленные перпендикулярно плоскости рисунка. И эти линии видны искривленными, если исследуемая поверхность не вполне плоская. При “идеально” плоской поверхности это прямые линии. Ту же мысль можно сформулировать и иначе. При отражении от идеально плоских поверхностей волны остаются плоскими, и фронты волн 1
и 2
составляют между собой угол 2
a
,если угол между исследуемой поверхностью и изображением зеркала З’
равенa
. Если исследуемая поверхность обработана некачественно, волна 1
уже не будет плоской, интерференционная картина исказится. Чрезвычайно простой в эксплуатации, такой интерферометр позволяет обнаружить весьма небольшие неровности на исследуемой поверхности - порядка долей длины волны. 8.6.2. Интерферометр Рэлея
Показатель преломления воздуха, как и других газов, при условиях, близких к “нормальным”, мало отличается от единицы. Должно быть понятным, что для измерения такой величины показателя преломления необходим достаточно точный метод. Такого рода измерения могут быть произведены с помощью интерферометра Рэлея. x
1
S
0
2 l
экран
По существу схема получения интерференционной картины в этом случае насильно отличается от классического опыта Юнга. Источником света служит освещаемая достаточно удаленным источником щель S
, от которой распространяется цилиндрическая волна. С помощью линзы волна преобразуется в плоскую волну: лучи 1
и 2
становятся параллельными. Они проходят через кюветы, длины которых l
могут быть достаточно велики. Если показатели преломления газов в кюветах одинаковы, интерференционная полоса (максимум) с нулевой разностью хода помещается в центре экрана при x=0
. Заметим - выше ее (на рисунке) расположатся линии (максимумы), для которых оптическая длина пути нижнего луча больше. Если верхняя кювета заполняется газом с несколько большим показателем преломления, оптическая длина пути луча 1
на протяжении кюветы станет больше и линия с нулевой разностью хода (“центральная”) сместится вверх. x
S
d 0
2 f
экран
Изображенная на предыдущем рисунке схема интерферометра Рэлея заимствована из задачника Иродова. При такой схеме ширина интерференционной полосы определяется выражением
Реальный интерферометр Рэлея устроен несколько иначе: за диафрагмой устанавливается линза, в фокальной плоскости которой и наблюдается интерференционные полосы (с помощью окуляра с достаточным увеличением). Но тогда угловое расстояние между источниками становится нулевым, интерферировать должны параллельные лучи. Причина образования интерферационной картины становится не очень понятной, непонятно, чем определяется ширина полосы. Но все это не так загадочно, как может показаться. Два точечных источника представляют собой частный случай периодического расположения источников, рассмотренный нами раньше. Заметив, что мы ограничимся лишь малыми значениями углов q
, повторим для пары источников проведенные ранее рассуждения. При q
=0
, естественно, будет наблюдаться максимум. Следующий максимум будет при значении q
, которое определяется условием D
x
d
q
q
D
L
q
f
экран
и ширина полосы на экране
Эти уточнения и расчеты помогут нам понять принцип работы другого интерферометра, о котором речь пойдет ниже. Но обратите внимание на то, что ширина максимума на экране определяется их угловой шириной, которую надо умножить на фокусное расстояние линзы. 8.6.3. Звездный интерфероментр Майкельсона
Если угловое расстояние между двумя звездами очень мало, в телескоп они видны как одна звезда. В таком случае говорят о двойных звездах и надо провести специальное наблюдение, чтобы отличить их от звезд одиночных. Для этого используется звездный интерферометр Майкельсона, который позволяет к тому же определить угловое расстояние между звездами. Устройство звездного интерферометра Майкельсона показано не рисунке. Лучи света, пришедшего от удаленной звезды, отражается от зеркал, разнесенных на достаточно большое расстояние D
, затем от двух других зеркал и собираются линзой на экране, помещенном в фокальной плоскости. Разнесенные на расстояние D
зеркала можно рассматривать как точечные источники, расстояние между которыми и равно D
. D
q
q
линза
D
x
0
X
Воспользуемся полученным ранее выражением для углового распределения максимумов излучения света
Иначе говоря,
На экране будут наблюдаться максимумы на расстояниях Если наблюдаются две близкие звезды, лучи света от которых приходят под малым углом j
, то на экране будут наблюдаться две интерференционные картины, сдвинутые по отношению друг к другу на расстояние При изменении величины D
изменяется 0
q
На рисунке показано именно такое взаимоположение интерференционных картин, интенсивность излучения одной из звезд несколько больше. При изменении расстояния между зеркалами изменяется величина D
q
. Таким способом можно определить весьма малые угловые расстояния j
. 8.6.4. Интерферометр Фабри-Перо
1 2 3
n=1
n>1
1’2’3’
Интерференция лучей отразившихся от поверхностей плоскопараллельной пластины называется двухлучевой. И для такого названия имеется основание. Коэффициент отражения границы стекло - воздух r
=I1
/I0
невелик, несколько процентов. Обозначив интенсивность падающего луча как I0
, для интенсивностей других лучей мы получим такие значения: I1
=I0
r
; I2
=I0
(1-
r
)2
r
; I3
=I0
(1-
r
)2
r
4
;
I1’
=I0
(1-
r
)2
; I2’
=I0
(1-
r
)2
r
2
; I3’
=I0
(1-
r
)2
r
4
.
Получаются эти выражения таким образом. Если коэффициент отражения r
,
то коэффициент прохождения, как это следует из закона сохранения энергии, равен (1-
r
)
. При определении интенсивности каждого луча интенсивность I0
следует умножить на коэффициент отражения и на коэффициент прохождения в степени, равной числу отражений и пересечения границы раздела соответственно. При малом коэффициенте отражения получается поэтому для отраженных и прошедших через пластинку лучей: I1
»
I2
; I3
<<I2
;
I3’
<<I2’
<<I1’
.
Поэтому при сложении отраженных лучей мы учитываем только два луча - 1
и 2
, интенсивности которых различаются несильно. Поэтому интенсивность в минимумах близка к нулю. В проходящем свете также будет наблюдаться интерференционная картина, но из-за быстрого уменьшения интенсивности участвующих в интерференции лучей отношение интенсивности в максимуме и в минимуме различаются незначительно. d
q
q
1
2
3
4
Устройство интерферометра Фабри-Перо показано на рисунке. Роль пластинки играет воздушный промежуток между двумя прозрачными пластинами, на внутренних поверхности которых напылен тонкий слой металла. Благодаря этому достигается большое значение коэффициента отражения r
- теперь он отличается от единицы лишь на несколько процентов, а коэффициент прохождения (1-
r
)
оказывается малым. Это существенно изменяет соотношения между интенсивностями лучей: I1
>> I2
»
I3
;
I1’
»
I2’
»
I3’
. При таких соотношениях при обсчете углового распределения интенсивности проходящего света необходимо учитывать много (все) проходящие через интерферометр лучи. В этом случае интерференция называется многолучевой. Поскольку при прохождении прозрачных пластин энергия сохраняется, минимуму в отраженном свете должен соответствовать максимум в свете проходящем. Наконец, поскольку в промежутке между пластинами показатель преломления (воздуха) можно считать равным единице, мы получаем такое условие для максимума в проходящем свете:
При практическом использовании интерферометра Фабри-Перо угол q
мал, а расстояние между пластинами d
велико (порядка нескольких сантиметров). Так что длина когерентности световой волны l
2
/
d
l
должна быть достаточно большой. Лекция 11
8.6.5 Интерферометр Фабри-Перо.
Угловое распределение амплитуды проходящей волны
d
q
q
1
2
3
4
На своем пути каждый последующий из пронумерованных лучей испытывает два дополнительных отражения от внутренних поверхностей пластин. Стало быть, их интенсивности различаются в r
2
раз. Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды и поэтому
Далее, разность оптических путей соседних лучей равняется
Таким образом, для амплитуды суммарных колебаний мы имеем выражение:
Начальную фазу колебаний первого луча мы положили равной нулю. Для сложения этих колебаний перейдем к комплексным переменным - добавим мнимую часть, памятуя, что физический смысл имеет лишь реальная часть суммы, которую мы получим:
Итак, нам надо найти сумму членов бесконечной геометрической прогрессии, знаменатель которой
Амплитуда суммарных колебаний равна модулю комплексного значения
Воспользовавшись формулой Эйлера, произведем перемножение скобок под квадратным корнем в знаменателе:
r
: E
S
0,05
0,25
0,75
0
q
Вспомним, что
Таким образом,
Как и ожидалось, с увеличением коэффициента отражения глубина минимумов увеличивается. Одновременно уменьшается ширина интерференционных полос. Предвидеть этот результат было не так просто. 9. Дифракция Фраунгофура
Дифракция рассматривает процессы отклонения направления распространения света от прямолинейного при встрече с некоторыми препятствиями или при отражении от них. В случае дифракции Фраунгофера рассматривается падение на препятствие плоской волны (бесконечно удаленный источник света) и подразумевается, что зона наблюдения удалена от препятствия на достаточно большое расстояние (находится на бесконечности). Коротко говоря, это “дифракция в параллельных лучах”. Как Вы увидите, основные задачи дифракции Фраунгофера мы, собственно, уже решили. Просто мы говорили о волнах вообще, а словом дифракция обычно обозначают именно оптические явления, поведение в том или ином случае световой (электромагнитной) волны. 9.1. Дифракция на щели
Ранее мы получили такое выражение для углового распределения амплитуды от системы точечных источников, от “цепочки” источников длиной b
:
Ввиду особой важности да и сложности понимания этого результата получим его еще раз - другим способом. X
b
0
q
В связи с рассмотрением явлений дифракции формулируется принцип Гюйгенса-Френеля. Согласно этому принципу элементарный участок волнового фронта считается точечным источником вторичных волн, огибающая которого и является “новым” фронтом волны. В случае дифракции на щели в качестве таких источников выбираются узкие полоски (вдоль щели), которые являются источниками цилиндрических когерентных волн. Электромагнитные колебания в удаленной зоне наблюдения подсчитывается как сумма колебаний волн, пришедших от таких источников. На этот раз мы проведем их сложение с помощью векторной диаграммы. Амплитуда вторичной волны пропорциональна ширине элементарной полоски: R
D
j
j
D
j
D
E0
При стремлении ширины полоски D
x
к нулю образованная элементарными векторами ломаная превращается в дугу окружности радиуса R
, угловой размер дуги
При изменении угла q
угловые размеры дуги изменяется. Но длина дуги, равная сумме модулей (длин) элементарных векторов, считается постоянной:
Это позволяет нам определить радиус дуги и амплитуду суммарных колебаний (см. рисунок) при произвольном q
:
Как видите, мы получили то же выражение, что и раньше. Но векторная диаграмма позволяет нам нагляднее представить причины обращения амплитуды суммарных колебаний в нуль и достижение максимумов. При j
=
2
p
дуга превращается в окружность, амплитуда суммарных колебаний равна нулю. Максимумы достигаются при j
=
0
и, (приблизительно) при j
=
(
2k
+
1
)
p
. 1
2
E
S
=
E0
E
S
=
0
Эти ситуации показаны на рисунке. При q
=0
все элементарные векторы лежат на прямой, амплитуда суммарных колебаний максимальна и равна E0
. По мере увеличения угла наблюдения q
и, соответственно, угла j
амплитуда колебаний уменьшается и при j
=
2
p
обращается в нуль. Затем дуга скручивается в спираль и максимум достигается приблизительно в тот момент, когда она представляет собой полторы окружности (2,
j
=
3
p
). При этом амплитуда колебаний равна примерно диаметру окружности: 9.2. Дифракционная решетка
b
Такая решетка состоит из большого числа щелей шириной b
, расположенных на расстоянии d
друг от друга. Разумеется, b<d
. Каждая щель может рассматриваться как источник цилиндрических волн, вызывающих электромагнитные колебания в некоторой удаленной зоне наблюдения. В этом случае оказывается справедливым результат, который мы получили для периодически расположенных точечных источников:
0
q
E
S
0
q
Но этот результат мы получили для изотропных точечных источников, интенсивность излучения которых не зависит от направления. Теперь у нас источниками являются щели, у которых амплитуда волны существенно зависит от направления наблюдения. Поэтому в выражение для углового распределения амплитуды волны, рождаемой периодически расположенными источниками, надо вставить угловое распределение амплитуды волны самих источников, щелей:
Это довольно сложное выражение, но смысл его должен быть понятен. Он поясняется и рисунком. Вверху показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой изотропными источниками. Внизу - угловое распределение амплитуды после прохождени светом решетки. Там же показано угловое распределение амплитуды волны, излучаемой щелью. По рисунку можно оценить отношение ширины щели к периоду решетки b/d
. 9.3. Дифракционная решетка как спектральный прибор
Очевидно, что дифракционная решетка может быть использована для разворачивания падающего на нее света в спектр, когда угловое положение максимума зависит от длины волны l
. При q
=
0
наблюдается максимум для всех длин волн. Но (угловые) положения максимумов k
-того порядка при k>1
различны для разных длин волн. Это следует из условия максимума
Как видно, дисперсия возрастает с ростом порядка максимума k
и с уменьшением периода решетки d
. Обратите внимание, что в знаменателе стоит Естественно, чем больше угловая дисперсия, тем успешнее могут быть разрешены близкие по длине линии спектра, наблюдаться как отдельные линии. Попробуем разобраться с вопросом разрешения линий детальнее. l
d
l
q
(
l
)
d
q
Пусть в спектре имеется пара линий с близкими длинами волн l
1
иl
2
,
разность длин волн d
l
=
l
2
-
l
1
. Любая линия обладает некоторой “естественной” шириной, которая предполагается меньше разности длин вол самих линий: d
l
1
»
d
l
2
<
d
l
. Но даже если бы ширина каждой линии была равна нулю, при наблюдении излучения после дифракционной решетки каждой линии будет отвечать некоторая полоса (на рисунке внизу). Она определяется свойствами самой решетки и для разрешения близких по длине волны линий эта ширина должна быть меньше или равна В физике вводится величина, называемая разрешающей способностью:
В этом выражении d
l
означает минимальную разность длин волн линий, которые могут наблюдаться в спектре как отдельные линии, и величина R
является характеристикой спектрального прибора (например, дифракционной решетки). Подсчитаем разрешающую способность дифракционной решетки. Для этой цели используется критерий Рэлея: линии считаются разрешенными, наблюдаются как отдельные линии, если при разложении в спектр максимум одной линии совпадает с минимумом другой. Ширина дифракционной полосы (отвечающей определенной линии) определяется положением ближайших к максимуму минимумов. Положение минимумов, в свою очередь, определяется выражениями
Если k’
кратно количеству щелей N
, то наблюдается максимум - знаменатель второго сомножителя выражения для распределения амплитуды колебаний в удаленной зоне наблюдения обращается в нуль:
Таким образом, максимум первой волны наблюдается при условии
Считая, что
Таким образом, разрешающая способность тем выше, чем больше порядок интерференционного максимума, и чем больше количество щелей решетки. Лекция 12
10. Дифракция на круглом отверстии
В плане историческом теоретическое исследование явлений дифракции было исключительно важным для утверждения представлений о волновой природе света. Что и говорить, правильные представления в каждой области очень важны для общего правильного представления о Природе. Только в таком случае мы можем успешно использовать явления всякого рода для наших нужд. В оптике различные приборы по понятным причинам имеют круглое входные отверстия, диафрагмы и проч. И неизбежная дифракция на круглых отверстиях ограничивает возможности этих приборов. При знакомстве, например, с линзой мы ограничивались параксиальными лучами, достаточно узкими пучками света. Лишь при этом условии преломляющие поверхности линзы можно изготавливать сферическими. Но это, естественно, ограничивает возможности изготовленных из таких линз оптических приборов и, в частности, из-за дифракции. А вот, например, для астрономических наблюдений необходимы грандиозно большие входные отверстия, изменяемые метрами. В этом случае задача изготовления телескопа неимоверно усложняется, телескопы с такими отверстиями очень дороги и, соответственно, уникальны. Вот для некоторого, хотя бы, понимания этих проблем нам и необходимо заняться обсуждением дифракции на круглых отверстиях. 10.1. Зоны Френеля
При знакомстве с дифракцией в параллельных лучах (при бесконечных расстояниях до источника света и до зоны наблюдения) их параллельность сильно упрощала математические проблемы необходимых расчетов, хотя результаты и их смысл не становились от этого очень простыми. Теперь нам придется иметь дело со сферическими волнами, их лучи, разумеется, не параллельны друг другу. Это усложняет нужную для расчета математику, большинство задач поэтому мы будем решать приближенно. Но вначале оставим хотя бы расстояние до источника бесконечным - рассмотрим дифракцию плоской волны
на круглом отверстии. D
s
P
В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля каждый элементарный участок фронта D
s
может быть рассмотрен как точечный источник сферических волн. Такой участок показан на рисунке. Точка наблюдения p
в наших задачах, как правило, будет находиться на оси симметрии на некотором расстоянии от отверстия или от круглой преграды. Разумеется, от различных элементарных участков фронта свет к точке наблюдения будет проходить разные расстояния и при сложении колебаний нам необходимо будет учитывать разности фаз d
j
отдельных колебаний. Но разности фаз d
j
, понятно, будут нулевыми, если элементарные участки расположены в пределах тонкого кольца, и тогда (пока мы не перешли к другому кольцу) мы можем просто складывать амплитуды колебаний волн, приходящих от таких участков. Поэтому и сами элементарные участки мы будем выбирать в виде тонких колец. Фаза колебаний в точке наблюдения будет зависеть от радиуса такого кольца. Итак, рассмотрим падение плоской волны на круглое отверстие и проанализируем, как зависит от радиуса отверстия амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения. L
q
/
2
b P
Из рисунка видно, что разность хода лучей от края кольца радиуса r
и от центра отверстия
Поэтому от кольца с радиусом r
колебания будут приходить с запаздыванием по фазе на
С помощью векторной диаграммы мы будем складывать колебания, приходящие в точку наблюдения от тонких колечек толщиной D
r
. Соответствующие векторы на фазовой диаграмме будут повернуты по отношению друг к другу на угол D
j
При достаточно большом радиусе будет
Соответствующий радиус r1
называется (внешним) радиусом первой зоны Френеля. При дальнейшем увеличении радиуса, естественно, величина j
будет увеличиваться. Из условия j
=
k
p
мы получаем выражение для радиуса k
-й зоны Френеля:
Мы уже достаточно много работали с векторными диаграммами, и должно быть понятно, что при дальнейшем увеличении радиуса отверстия (по сравнению с r1
) амплитуда суммарных колебаний в точке наблюдения, пропорциональная длине отрезка (вектора), соединяющего начало и конец дуги, будет уменьшаться. Она достигнет минимума, когда радиус отверстия достигнет внешнего радиуса второй зоны Френеля. Но в отличии от задачи о колебаниях волны, излучаемой щелью при дифракции Фраунгофера, дуга не замкнется в окружность, мы получим некоторую скручивающуюся спираль. Длина вектора, проведенного от начала к центру спирали, дает, очевидно, амплитуду падающей волны - скручивание спирали к центру соответствует бесконечно большому радиуса отверстия, когда дифракция не наблюдается. Подобная спираль, которую называют спиралью Френеля, получается и в том случае, когда на отверстие падает сферическая волна конечного радиуса a
.Выражение для радиусов зон Френеля в этом случае, естественно, иное. a
S r b P
На рисунке a
- радиус фронта волны, b
- расстояние от фронта до точки наблюдения P
. Таким образом, расстояние от источника света S
до точки наблюдения вдоль оси равно (a+b)
. Подсчитаем теперь длину некоторого произвольного луча. Как и раньше, рассматриваем лишь параксиальные лучи. При таком ограничении наши выражения будут приближенными. Нижний катет прямоугольного треугольника, образованного радиусом фронта a
, осью системы и радиусом r
некоторого кольца на фронте волны, будет равен
Расстояние от источника света до края кольца и от него до точки наблюдения будет равен
При преобразованиях мы пренебрегли слагаемым с четвертой степенью r
и воспользовались приближенным равенством Таким образом, разность хода “прямого” луча от S
к точке наблюдения P
и луча, проходящего через край кольца радиуса r
и разность фаз колебаний волн, проходящим по этим путям,
Наконец, из условия
Естественно, при a
®¥
это выражение переходит в полученное нами ранее выражение для случая падения на отверстие плоской волны. 10.2. Обсуждение полученных результатов.
Зонная пластинка
Попробуем разобраться, к каким эффектам приводит дифракция на круглом отверстии. При этом не будем ни на минуту забывать, что спираль Френеля состоит из элементарных векторов, которые, соответственно, представляют колебания от элементарных колечек круглого фронта падающей волны. Вся спираль представляет колебания от полностью открытого фронта (k
®¥
)
, если открыта часть зон Френеля, “реализуется” лишь часть спирали. Амплитуда суммарных колебаний представляется длиной вектора, соединяющего начало спирали и ее конец. 0,5 1 1,5 2 2,5
E0
Проиллюстрируем эти слова. На рисунке показаны случаи, когда открыта половина первой зоны, первая зона, полторы зона, две и две с половиной. Иначе говоря, когда радиус круглого отверстия равен радиусу половине первой зоны Френеля, радиусу первой зоны и т.д. 1 2 3 4 5
Витки спирали для первых зон Френеля им будем считать окружностями. Поэтому на рисунке выписаны такие значения амплитуды суммарных колебаний E
. Подсчет амплитуд колебаний производится приближенно, но для нас важно понимание причин изменения амплитуд при изменении радиуса отверстия, хотя бы и за счет некоторого снижения точности. При суммировании амплитуд колебаний от первой, второй и т.д. зон Френеля мы должны получить амплитуду E0
. Но если бы мы складывали только колебания от четных или только от нечетных зон Френеля, мы получили бы колебания с амплитудой, модуль которой намного превосходит величину E0
. Действительно, вместо суммы членов знакопеременного ряда мы бы тогда складывали значения E
одного знака. Технически такое сложение осуществляется с помощью зонной пластинки. Она представляет собой систему непрозрачных концентрических колец, которые закрывают, например, нечетные зоны Френеля. Амплитуда колебаний в точке наблюдения при использовании такой пластинки сильно возрастает. Зонная пластинка действует в этом случае подобно линзе, которая фокусирует свет в некоторой точке. Соответственно, для зонной пластинки может быть введено фокусное расстояние. На рисунке показана зонная пластинка, закрывающая нечетные зоны Френеля. Разность хода нарисованных лучей равна l
, и амплитуда колебаний от открытых зон при одинаковых знаках складываются по модулю. Поэтому и получается большая интенсивность колебаний в точке наблюдения, фокусировка лучей. зоны Френеля: 6 4 2
P
b
Следующим шагом в своего рода совершенствовании зонной пластинки является превращение ее в прозрачную фазовую зонную пластинку. Вместо того, чтобы закрывать, например, нечетные зоны Френеля, мы можем изменять на p
фазу приходящих от них колебаний. Тогда амплитуда колебаний в точке наблюдения примерно удвоится. Чтобы достигнуть этого, необходимо изменить для них оптическую длину пут на половину длинны волны, обеспечить выполнение условия 10.3. Линза как дифракционный прибор
Фазовая пластинка представляется удивительным прибором. Ее способность фокусировать лучи основана на том, что она изменяет на p
фазу колебаний от, например, четных зон Френеля E2k
. В отсутствии пластинки эти колебания противоположны по фазе колебаниям от нечетных зон E2k-1
, противоположны им по знаку. Естественно, суммарная амплитуда сильно увеличивается, происходит фокусировка. Но у нас имеется еще одна и еще более мощная возможность увеличить амплитуду колебаний - выпрямить сами дуги спирали и вместо хорд складывать длины этих дуг. d
1
r f F
d0
Приходящие от элементарных колечек в пределах некоторой зоны Френеля колебания имеют различные фазы, что и проявляется в скручивании элементарных векторов на векторной диаграмме в дугу. Если же обеспечить нужное плавное
изменение фазы колебаний в пределах отверстия, можно добиться желаемого результата - синфазности колебаний от всех элементарных колечек. Собственно, это и обеспечивается линзой при фокусировке лучей. Действительно, лучи 1
и 2
проходят одинаковые геометрические пути, но один из них проходит путь d
в материале с показателем преломления n
. В результате на этом участке он проходит больший оптический путь, появляется оптическая разность хода Рассмотрим теперь прохождение луча света через плоско-выпуклую линзу из материала с показателем преломления n
. Луч от отмеченной пунктиром плоскости до выпуклой поверхности линзы проходит путь
Мы получили прежнее выражение для фокуса линзы, но на этот раз исходя их требования синфазности колебаний волн, приходящих в некоторую точку наблюдения, которая называется фокусом. 10.4. Пятно Пуассона
С помощью спирали Френеля можно получить еще один замечательный результат. Действительно, если на пути сферической волны находится непрозрачное круглое отверстие (любого размера), то оказывается закрытым какое-то число внутренних зон Френеля. Но вклад в колебания в точке наблюдения, находящегося в центре геометрической тени, будут давать остальные зоны. В результате в этой точке должен наблюдаться свет. Этот результат показался в свое время Пуассону столь невероятным, что он выдвинул его как возражение против рассуждений и расчетов Френеля при рассмотрении дифракции. Однако, когда был проведен соответствующий опыт, такое светлое пятнышко в центра геометрической тени было обнаружено. С тех пор оно носит название пятна Пуассона, хотя он не допускал и самой возможности его существования. Лекция 13
11.1. Свет поляризованный и неполяризованный.
Закон Малюса
До сих пор при исследовании дифракции или интерференции мы занимались волнами без учета их поляризации. Можно сказать, что в случае волн поперечных, мы считали их поляризованными одинаково. Только в этом случае с помощью векторной диаграммы можно складывать амплитуды колебаний, т.е. в случае, если они происходят по одному направлению. Теперь нам нужно сосредоточиться на поперечных волнах, при сложении которых может оказаться существенной поляризация волны. Поляризация определяется тем, как направлен, например, вектор электрического поля в плоскости, перпендикулярной к направлению распространения волны. Вектор В естественном свете это направление изменяется случайным образом. Такой свет называют неполяризованным. o’
o
фотоприемник
Каким образом можно судить о поляризованности света? Имеются приборы, которые пропускают только свет с определенным направлением вектора Кроме света неполяризованного выделяют частично поляризованный свет. В этом случае направление вектора электрического поля также изменяется хаотически, но имеется некоторое направление, при котором в среднем амплитуда колебаний больше. Для такого случая вводится понятие степени поляризации: вращая анализатор, определяют значения максимальной и минимальной интенсивности, воспринимаемой фотоприемником. Степень поляризации определяется выражением:
Частично поляризованным может быть смесь неполяризованного и линейно поляризованного света. Если неполяризованный свет проходит через поляризатор, он становится линейно или плоско поляризованным светом. В этом случае колебания вектора E0
O’
E
^
j
O
Для линейно поляризованного света справедлив закон Малюса. Пусть колебания электрического вектора происходят в вертикальной плоскости и амплитуда колебаний равна E0
. Если ось анализатора повернута не угол j
по отношению к направлению поляризации, к фотоприемнику пройдет свет с амплитудой
Поскольку интенсивность света пропорциональна квадрату амплитуды, мы получаем закон Малюса
Свет с амплитудой E
^
задерживается анализатором. 11.2. Одноосные кристаллы
Кристаллы не обязательно или даже редко бывают изотропными. В частности, скорость распространения света в кристалле может зависеть от направления (плоскости) колебаний вектора электрического поля. Простейшим случаем является одноосный кристалл. Если внутри такого кристалла имеется точечный источник света, волновой фронт (лучевая поверхность) будет иметь форму эллипсоида вращения. Дело в том, что скорость распространения в таком кристалле зависит от ориентации направления поляризации света по отношению к некоторму направлению - оси кристалла. В показанном на рисунке случае положительного одноосного кристалла скорость распространения света максимальна, если направление поляризации перпендикулярно оси. Существуют также отрицательные одноосные кристаллы, в которых эта скорость минимальна. Вообще говоря эту поверхность удобно называть фронтом - колебания во всех ее точках происходят с одинаковой фазой. Но лучше называть ее лучевой поверхностью: нарисованные в определенном масштабе, лучи, вышедшие из точки, где расположен источник света, будут равны по длине расстоянию до этой поверхности. Но при этом они не будут, естественно, перпендикулярны к этой поверхности. Для таких кристаллов вводятся понятия обыкновенного и необыкновенного лучей. Обыкновенным лучем называется такой, направление поляризации которого перпендикулярно оптической оси. Соответственно, вводится два показателя преломления: обыкновенного луча no
и необыкновенного ne
. В положительном кристалле
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||