Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 27
Несвободной называется материальная точка, на движение которой (координаты и скорость) наложены некоторые ограничения. Всякий механизм является примером несвободной системы материальных точек. Связями называются ограничения движений материальных точек, не зависящие от начальных условий движения и системы приложенных сил. Связи делятся на двухсторонние и односторонние ( 1.физический маятник из твердого стержня; 2.математический маятник на нити). Связи бывают голономные (интегрируемые) и неголономные (они накладывают ограничения на скорость точек, неинтегрируемые). Связи, ограничивающие перемещения материальных точек, действуют на эти точки посредством сил, называемых силами реакции связей. В задачах динамики несвободной материальной точки пользуются принципом освобождения от связей. Отбрасывая мысленно связи, включают силы реакций связей в число задаваемых сил. При этом несвободная материальная точка рассматривается как свободная, движущаяся под действием задаваемых сил и сил реакций связей. Центром масс (или центром инерции) механической системы называется воображаемая
точка, которой приписывается масса всей системы и положение которой определяется радиусом-вектором: Скорость и ускорение центра масс (ЦМ) можно получить дифференцированием предыдущей формулы по времени. Импульсом механической системы Из (*) следует, что Определим уравнения движения центра масс. Из (**) следует: где Итак, Отсюда получаем закон изменения импульса системы: По аналогии со случаем одной частицы, можно утверждать, что если проекция силы В случае изолированной (замкнутой) системы материальных точек Мы получили закон сохранения импульса замкнутой системы. Центр масс замкнутой системы движется равномерно и прямолинейно, и внутренние силы не могут изменить скорости (импульса) системы. Уравнение движения каждой материальной точки системы где Учитывая 3-й закон Ньютона, имеем: Закон изменения кинетического момента системы читается так:
Производная по времени кинетического момента системы равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на систему. Если В случае замкнутой системы Закон сохранения и превращения механической
энергии системы частиц
Умножим уравнение движения материальной точки системы Для всех частиц системы ( в силу аддитивности энергии и работы): Дифференциал (изменение) кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ внутренних и внешних сил, действующих на частицы системы. Представим потенциальную энергию системы в виде слагаемых: где первое слагаемое обусловлено взаимодействием частиц системы между собой, а второе слагаемое -потенциальная энергия частиц во внешнем поле. Полная механическая энергия системы равна: E
=
T
+
U
.
В случае, когда частицы системы находятся в поле потенциальных сил, явно не зависящих от времени dU
/
dt
=0.
С учетом этого условия, после умножения каждого уравнения движения каждой материальной точки системы на ее скорость Это уравнение утверждает, что в замкнутой системе материальных точек, находящихся в стационарном потенциальном поле, в процессе движения сохраняется скалярная величина : Такие системы называются консервативными. Закон сохранения и превращения механической энергии является частным случаем всеобщего закона природы – закона сохранения и превращения энергии (ЗСПЭ). Итак, мы имеем 7 уравнений, выражающих законы сохранения и изменения в механической системе: При определенных условиях они приводят к законам сохранения.
В случае замкнутой системы при отсутствии внутренних превращений механической энергии в другие виды энергии, законы сохранения дают 7 первых интегралов и 3 вторых интегралов движения: т.е. десять классических интегралов механики. Все законы сохранения были получены из уравнений движения Ньютона. Поэтому они связаны со свойствами пространства и времени, которые постулируются в классической механике. Сохранение импульса связано с однородностью пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе системы как целого. Сохранение момента связано с изотропией пространства, в силу которой механические свойства замкнутой системы не изменяются при любом повороте системы как целого. Сохранение механической энергии связано с однородностью времени, в силу которой механические свойства замкнутой системы не меняются при любом «переносе» системы во времени. Теорема Кёнига
Эта теорема утверждает, что кинетическая энергия механической системы может быть представлена в виде суммы двух слагаемых: кинетической энергии поступательного движения и кинетической энергии движения частиц относительно ее центра масс, т.е. Для доказательства этого утверждения воспользуемся известным соотношением (классическая теорема сложения скоростей): Подставим это соотношение в формулу, определяющую кинетическую энергию системы: Учитывая, что в СО «Центр масс» суммарный импульс (последнее слагаемое в предыдущей формуле) равен нулю, тотчас же получаем искомое выражение (*). С помощью теоремы Кёнига полную механическую энергию системы материальных точек можно записать так: где
|