Ćėąāķą˙ Ó÷åįķčźč - Šąēķūå Ėåźöčč (šąēķūå) - ÷ąńņü 27
Nagu
öeldud, füüsika on teadus mis käsitleb kehade
liikumist. Selleks aga tuleb defineerida liikumist kirjeldavad
suurused ehk parameetrid, mis on: asukoht (koordinaadid), kiirus,
kiirendus. Asukoht
(koodinaadid). Keha
asendi ja selle muutuste (liikumise) kvantitatiivseks kirjeldamiseks
kasutatakse ruumikoordinaate. Koordinaadid on arvud, mis määravad
keha kauguse mingitest kindlaksmääratud kohtaest,
koordinaat-telgedest. Kolmemõõtmelises ruumis on asendi
mäaramiseks vajalik kolm arvu (koordinaati), kahemõõtmelises
(tasapinnal) kaks ja ühemõõtmelises (joonel)
uksainus arv. Analoogiat edasi arendades saab ette kujutada ka enama
kui kolemõõtmelisi ruume, näiteks võttes
neljanda mõõtmena kasutusele aja, aga kui tarvis, veel
teisi muutuvaid parameetreid. Sejuures on tähtis, et
juurdetoodavad muutujad ei oleks seoste kaudu tuletatavad
olemasolevatest, vaid oleksid täiesti sõltumatud,
ortogonaalsed (piltlikult oleksid kõik teljed üksteisega
risti, kuigi neid võib olle palju rohkem kui kolm). Kõige
sagedamini kasutatav koordinaat-teljestik on sirgete ristiolevate
telgedega nn. ristkoordid e. Cartesiuse koordinaadid. Selles
teljestikus määratakse keha asukoht kolme kauguse kaudu:
esiteks liikudes piki x-telge, siis ristisuunas piki y-telge ja
lõpuks ristisuunas piki z-telge. Kaugused x, y ja z
kokkuleppelisest nullpunktist ongi keha riskoordinaadid.
Riskoordinaadistikku kasutatakse näiteks USA-s linnade
planeerimisel, kus ‘streedid’ ja ‘avenue’d on
üksteisega risti ja nummerdatud kasvavas järjekorras alates
linna keskpunktist. Positiivsete ja negatiivsete väärtuste
asemel kasutatakse ‘North’, ‘South’, East’
ja ‘West’ lisandeid. Cartesiuse
koordinaadid ei ole ainuke viis keha asukoha määramiseks,
vaid seda saab teha ka mõne testsuguse kolme arvu
kombinatsiooni abil, peaasi, et kolm liikumist, mida need arvud
kirjeldavad, oleksid ikka omavahel ristsuundades. Näiteks
tsentraalsümmeetriliste (kerakujuliste ja kerakuju moondumisena
tulenenud liikumiste) kirjeldamiseks on mugavamad nn.
polaarkoordinaadid. Polaarkoordinaate on ka kolm, kuid ainult üks
neist (raadius r) omab pikkuse (kauguse) dimensiooni, kaks
ülejäänut on nurgad, mis määravad selle
liikumise suuna, mida mööda minnes määratud
punkti jõutakse. Esimene on nurk (teeta),
mis määrab erinevuse vertikaalsihist ja teine on nurk ,
mis mäarab erinevuse kokkuleppelisest horisontaalsihist.
Polaarkoordinaate kasutatakse geograafias, kus ‘põhjalaius’
on sisuliselt 90°- ja
idapikkus on Kuna
määratavad punktid asuvad kõik Maa pinnal, siis
raadius oleks kõigi jaoks umbes 6000 km ja see jäetakse
kirjutamata. Maapinna kohal õhus või maa sees olevate
punktide koordinaatidele tuleks aga raadiuse väärtus juurde
lisada. Polaarkoordinaate allpool näiteks elektroni orbitaalide
kvantmehaaniliseks kirjeldamiseks vesiniku aatomis. Liikumine
on keha asukoha (koordinaatide) muutumine ajas. Lihtsaim on ühtlane
sirgjooneline liikumine: konstantsed on kiiruse absoluutväärtus
ja suund. Kiirus
(v) on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse
ajaühikus läbitud teepikkusega. Teepikkus s
on kahe asukoha vahekaugus. Kolmemõõtmelises ruumis
avaldub teepikkus alg ja lõpp-punkti koordinaatide kaudu
järgmiselt Pikkuse
(teepikkuse) ühikuks on meeter, m. Meeter on ligilähedaselt
1/40000000 Maa ümbermõõtu, kuid täpne ühik
on kokkuleppeline ja oli pikemat aega defineeritud kui kahe peene
kriipsu vahe plaatina-iriidiumi sulamist siinil, mida hoiti Pariisi
lähedal, nüüd aga on meeter seotud teatud aine
aatomite poolt kiiratava valguse lainepikkusega. Meeter on üks
kolmest põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste
ühikute kaudu. Kiirus Viimased
valemid seovad omavahel kiiruse, teepikkuse ja aja. Aja ühikuks
on sekund, s. Sekund on ligilähedaselt 1/(365.25x24x60x60)
keskmise astronoomilise ööpäeva pikkusest, kuid tema
täpne väärtus on praegu seotud teatud aine poolt
kiiratava valguse võnkeperioodiga. Sekund on üks kolmest
põhiühikust ja teda ei saa tuletada teiste ühikute
kaudu. Näiteks kiiruse ühik on m/s ehk m s-1 ja
see on tuletatud põhiühikutest. Suurem osa tuletatud
ühikuid on seotud põhiühikutega andes viimastele
väärtuse 1.
Nii
teepikkus kui ka kiirus on vektorid, millel on x, y, ja z- suunalised
komponendid. Kahemõõtmelisel (tasapinnalisel juhul)
vektori s kaks komponenti on sx=scos;
sy=ssin Ebaühtlase
liikumise kiirendus (a) on füüsikaline
suurus, mida mõõdetakse kiiruse muutusega ajaühikus.
Sirgjoonelise liikumise kiirendus on kiiruse muutumise kiirus, seega
teine tuletis teepikkuse muutumisest: Ka
kiirendus on vektor, s.t., valem (1.3) kehtib sx,
sy ja sz suhtes eraldi.
Kiirenduse ühik on m s-1 s-1 = m s-2
(loe: meeter sekundis sekundis). Kiirendusega
liikumise kiirus kui
alghetkel kiirus ei olnud mitte null vaid v0. Kiirendusega
liikumisel läbitud teepikkus, kui aega hakkame lugema nullist
(integraali alumine rada on null ja arvutada tuleb ainult ülemine
rada): ja
teepikkuse s läbimiseks kuluv aeg
Juhul, kui
algkiirus on null, siis kust
leiame aja, mis kulub teepikkuse s läbimiseks:
ja kiiruse
v, mis saavutatakse teepikkuse s läbimisel Maa
raskuskiirendus on g=9.81 m s-2 ja see
määrab vabalt langevate kehade liikumise kiirenduse. Ülesanded:
Kuidas määrata torni kõrgust ampermeetri ja stopperi
abil? Kui suure
algkiirusega peab pumpama vett, et purskkaevu juga kerkiks 30 m
kõrgusele? Kui
kõrgele ja kui kaugele ulatub sama juga kui see suunata 45
kraadi all kaldu? Kuidas
peab piloot juhtima lennukit, et kabiinis tekiks kaaluta olek? Vähemalt
kui suure algkiirusega peab toimuma kaugushüppaja äratõuge
ja missuguse nurga all tuleb see suunata, et püstitada uus
maailmarekord (oletame, et praegune maailmarekord on 9 m)? Ringikujulisel
(elliptilisel) trajektooril liikuvate kehade orbiidi leidmiseks
tutvume kõverjoonelise liikumise kiirendusega, millest
lihtsaim on ringjooneline liikumine.
Kõverjoonelise
(ringjoonelise) liikumise tangentsiaal- (puutujasuunaline) kiirus kus r
on raadius, on
tiirlemisperiood ja on
tiirlemissagedus. Ristikiirendus kus on
nurk-kiirus. Nurkkiirust mõõdetakse pöördenurga
suurenemise kiiruse kaudu, ühik on radiaan sekundis. Täisring
on 2 radiaani, seega üks
tiir sekundis tähendab nurkkiirust 2
radiaani sekundis. Dünaamika
põhimõisted ja seadused: jõud, impulss, töö,
energia Newtoni
esimene seadus (ka Galilei seadus, inertsiseadus): Iga keha liigub
ühtlaselt ja sirgjooneliselt seni kuni teiste kehade mõju
(jõud) ei põhjusta selle seisundi
(kiiruse) muutumist. Ühtlane
ja sirgjooneline liikumine on võimalik ainult avakosmoses väga
kaugel taevakehadest. Maa pinnal on kõik kehad
gravitatsioonivälja mõjusfääris ja neile mõjub
Maa külgetõmbejõud. Demonstratsioonkatseks on
mõjudeta liikumisele ligilahedane teraskuuli veeremine
horisontaalsel peegelpinnal, kus raskusjõud on liikumisega
risti ja hõõrdumisjõud on minimaalne. Ka
piljardikuulid liiguvad küllatki ühtlaselt ja
sirgjooneliselt kuni põrkumiseni. Newtoni
teine seadus: Liikumise muutumise kiirus (kiirendus)
on võrdeline rakendatud jõuga ja toimub jõu
suunas. kus f
on jõud, m on keha mass ja a on
kiirendus. Võrdetegur, mis seob kiirenduse jõuga
on pöördvõrdeline keha massiga, s.t. üks ja
seesama jõud põhjustab seda suurema kiirenduse mida
väiksem on keha mass. Jõud f ja kiirendus a on
vektorid (suunaga suurused), m on skaalar (suunata suurus).
Massi ühik on kilogramm (kg). Üks
kilogramm on ligilähedaselt ühe dm3 puhta vee
mass, kuid täpne massi etaloon on plaatina-iriidiumi sulamist
metallkeha, mis on hoiul Pariisi lähedal. Kilogramm on seega üks
kolmest põhiühikust, mille suurus on kokkuleppeline ja
mida ei saa tuletada teiste ühikute kaudu. Tuletatud ühiku
näiteks on jõu ühik: üks njuuton (N) on
jõud, mis annab massile üks kilogramm kiirenduse üks
m s-2
Mass: kaal ja inerts Massil on
kaks omadust: inerts ja gravitatsioon. Huvitaval kombel on need kaks
omadust alati võrdelised ja massi suurust saab määrata
nii ühe kui teise kaudu. Kaalumine on massi mõõtmise
viis gravitatsioonijõu kaudu. Mitu N kaalub keha massiga 1 kg?
Kaal on raskusjõud, millega Maa tõmbab keha. Raskusjõud
annab massile 1 kg kiirenduse 9.8 m s-2, sel ajal kui 1 N
annab kiirenduse vaid 1 m s-2. Seega, mass 1 kg kaalub 9.8
N. Sama mass 1 kg kaaluks Kuu peal umbes kuus korda vähem,
seega umbes 1.6 N. Keha kaal sõltub ka asukohast Maal
(ekvaatoril on Maa pöörlemisest tulenev tsentrifugaaljõud
suurem ja see vähendab kaalu). Kaalu vähendab ka õhu
üleslüke. Seega, üks kilogramm udusulgi kaalub vähem
kui 1 kg rauda, kui ei arvestata õhu üleslükke
parandit. See parand on seda suurem, mida lähdasemad on
kaalutava keha ja õhu tihedused, kuni selleni, et vesinikuga
täidetud õhupall omab negatiivset kaalu. Õige
kaalu määramine oleks õhu üleslüket
arvestades, kuid praktikas, kui on tegu tahkete ainete või
vedelikega, on selle tähtsus suhteliselt väike. Kui küsite
poest ühe kg leiba, siis soovite te tõepoolest leiva
massi, mitte selle kaalu. Seega küsimine kilogrammides ja mitte
njuutonites on füüsikaliselt õige. Kui müüja
kaalub leiva vedrukaaluga, siis saab ta tulemuse njuutonites ja see
sõltub laiuskraadist. Kui aga kasutatakse kangkaalu, siis
võrreldakse omavahel kaalutavat keha kaalupommide massiga ja
tulemus ei sõltu laiuskraadist.
Newtoni kolmas seadus: Mõju (jõud) on
võrdne vastumõjuga (vastujõuga)
Kahe keha
vastasmõjul saavad mõlemad kiirenduse pöördvõrdeliselt
nende kehade massiga:
Newtoni
kolmandal seadusel põhineb rakettmootori töö. Igal
ajamomendil paiskab reaktiivmootor suhteliselt väikest kütuse
massi suure kiirendusega tahapoole, selle tulemusena liigub rakett
kui suurem mass väiksema kiirendusega vastassuunas. Protsess on
pidev seni kuni mootor töötab ja kuna kiirendus mõjub
mõlemale, nii raketile kui kütusele võrdse aja
jooksul, siis lõppkokkuvõttes suhtuvad ka raketi ja
ruumi väljapaisatud kütusemassi kiirused nii nagu valem
(2.2) näitab kiirenduste kohta. Kui näiteks raketi ja
kütuse massid on võrdsed, siis on lõpuks võrdsed
ja vastassuunalised ka nende kiirused. Erinevus raketi ja
ruumipaisatud kütuse vahel on aga selles, et rakett kui tahke
keha omab ühte kindlat kiirust, kütuse põlemisprodukt
aga on gaasiline ja valem (2.2) kehtib selle ruumilise massikeskme
kohta.
Ka lindude lendamine (ja isegi loomade või inimese ujumine) on
sisuliselt reaktiivliikumine, sest teist võimalust kui Newtoni
kolmanda seaduse abil õhust raskemal kehal õhus (veest
raskemal kehal vee peal) püsimiseks ei ole. Lind lükkab
tiibadega õhku allapoole, mõjutades õhumassi
jõuga ja andes õhule allapoole liikumise kiirenduse,
samal ajal vastujõud tõukab lindu ülespoole. Linnu
ülespoole liikumise kiirendus on niisama suur kui
raskuskiirendus, kuid sellega vastassuunaline, nii et mõlemad
kompenseeruvad ja lind lendab konstantsel kõrgusel.
Matemaatiliselt,
Ülesanne: Selgitada, mis ühist on lennuki
reaktiivmootoril, propellermootoril, lendamisel tiivalehvitamisega ja
planeerimisel. Üks
tähtsamaid kiirendusest tulenevaid jõude on kesktõmbejõud
ja kesktõukejõud ringlikumisel, mis on võrdsed
javastassuunalised. Keha liigub ringikujulist trajektoori mööda
tänu jõule, mis tõmbab teda keskpunkti suunas.
Kesktõmbejõud võib olla gravitatsioon (Maa
tiirlemine ükber Päikese), elektromagnetiline (elektroni
tiirlemine ümber tuuma) või mehaaniline (nöör
mis ühendab lingukivi käega, tsentrifugaalpumba korpus, mis
suunab vedeliku ringtrajektoorile, aga ega nedes kehadeski esine
lõppkokkuvõttes muud kui elektromagnetilised jõud).
Kesktõukejõud tekib keha inersti tõttu, tema
püüdest likuda sirgjooneliselt puutujat mööda.
Kesktõukejõud ringliikumisel avaldub järgmiselt
kus
on nurkkiirus. Nurkkiirus seostub lineaarkiirusega järgmiselt:
Kui suur
on 100 kg-se mehe kaaluvahe poolusel ja ekvaatoril? Maakera raadius
on 6000 km. Nurkkiirus on 2/(24x3600)
= 7.27x10-5 radiaani sekundis. Asendades need värtused
valemisse (??) saame f=100x(7.27x10-5)2x6x106
= 100x52.8x10-10x6x106= 3.168 N. Poolusel
kaalub 100 kg 981 N. Suhteline kaalu kahanemine on 3.17/981=0.0032
ehk 0.32%. Meie laiuskraadil ja ekvaatoril on see suhe veel umbes
poole väiksem.
Tsentrifugaaljõu praktilisi rakendusi: tsentrifugaalpumbad ja
ventilaatorid. Kuidas muutub ventilaatori ja tsentrifugaalpumba
arendatav rõhk mootori pööretest? Liikumise
hulk ehk impulss. Kui püüate
väga massiivset keha, näiteks autot, liikuma lükata,
siis tuleb jõudu rakendada küllalt kaua, enne kui
saavutate vajaliku kiiruse, näiteks küllaldase mootori
käivitamiseks ilma starteri abita. See tähendab, et keha
poolt saavutatud kiirus sõltub jõu mõjumise
ajast. Kasutame kiiruse arvutamiseks kahte seost:
Suurust mv
nimetatakse liikumise hulgaks ehk impulsiks. Impulsi muutus on
võrdeline jõuga ja selle mõjumise ajaga ning
toimub jõu suunas. Impulsi
jäävus liikuvate kehade vastasmõjudes on energia
jäävuse kõrval üks looduse põhiseadusi.
Näiteks kahe piljardikuuli põrkel või kahe
gaasimolekuli põrkel Impulsi
muutus kehade vastasmõjul on võrdne ja vastassuunaline,
süsteemi summaarne impulss on konstantne. Impulsi mõistet
kasutame allpool gaaside rõhu arvutamisel. Töö
ja energia. Töö
on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse jõu
ja jõu suunas läbitud teepikkuse korrutisega Töö
ühik on Dzhaul (Joule), [J] = [N]x[m]. Dzhaul on töö,
mida teeb jõud üks njuuton ühe meetri pikkusel teel.
Tööd tehakse siis, kui liigutatakse mingit keha avaldades
sellele jõudu. Näiteks, tõstes 50 kg viljakotti
maast 1m kõrgusele vankrile tehakse töö mis võrdub
koti kaal (njuutonites !) korda vankri kõrgus, 50x9.8x1=490 J.
Kui vesi langeb 20 m kõrguses joas käivitades turbiini,
siis iga kg vett teeb tööd 20x9.8=295 J.
Kui jõud
on teepikkuse (koordinaadi) funktsioon (on muutuv sõltuvalt
asukohast), siis tuleb rakendada integreerimist. Integreerida võib
liikumise ja jõu kui vektori komponente kolme koordinaadi
suunas eraldi Tüüpiline
muutuva jõu poolt tehtud töö arvutus on seotud keha
asukoha muutusega teise keha gravitatsiooni- või
elektriväljas. Näiteks, Newtoni gravitatsiooniseadus
väidab, et kahe keha vahel mõjub gravitatsioonijõud,
mis on võrdeline nende kehade masside korrutisega ja
pöördvõrdeline nedevahelise kauguse ruuduga:
Elementaartöö,
mida tehakse selleks, et suurendada kehade vahelist kaugust dx võrra
oleks ja
liikumisel üle mingi pikema vahemiku tehtud töö oleks Kui
teepikkus on määratud, tuleb integraal võtta radades
liikumise algpunktist lõpp-punkti. Valem ??? näitab, et
kui kahe keha vaheline jõud kahaneb kauguse suurenedes
pöördvõrdeliselt kauguse ruuduga, siis tehtud töö
kasvab kauguse kasvades pöördvõrdeliselt kaugusega.
Tõmbuvate kehade vahelise kauguse suurendamiseks tuleb teha
välist tööd, kui kehad lähenevad, siis nad teevad
ise tööd. Tõukuvate kehade, näiteks
samanimeliste laengute vahel, on olukord vastupidine: tõukuvate
kehade lähendamiseks tuleb teha välist tööd, kui
need kehad eemalduvad teineteisest, siis nad teevad ise tööd.
Viimase juhu näiteks oleks aatomite lähenemine, kus välise
elektronkihi elektronid tõukuvad üksteise elektriväljas.
Tahkete kehade kokkupuude ja hõõrdumine ongi väliste
elektronkihtide tõukumine, tegelikku füüsilist
kokkupuudet ei esine kunagi. Võimsus
on füüsikaline suurus, mida mõõdetakse
ajaühikus tehtud töö hulgaga. Võimsust
kasutatakse näit. mootorite ja küttekehade hindamisel,
teadmaks kui palju tööd need suudavad ajaühikus teha.
Võimsuse ühik on Watt [W] = [J] [s]-1 üks
Dzhaul sekundis. Elektripirnide tarbitav võimsus on näiteks
40 – 100 W, elektripliit 600 – 2000W, automootor 50 –
100 kW. Elektrienergia hulga mõõtmiseks kasutatakse
ühikut kilovatt-tund (kWh), see on töö, mida teeb
võimsus 1 kW ühe tunni = 3600 s jooksul. Üks kWh =
1000 J s-1 x 3600 s = 3600000 J = 3600 kJ.
Energia
on keha võime teha tööd. Energiat
on kahte liiki, liikuva keha kineetiline energia ja jõuväljas
asuva keha potentsiaalne energia. Energia jäävuse
seadus on looduse põhiseadus: Energia ei teki ega kao, vaid
muundub ühest vormist teise. Seega, looduses toimub
kineetilise energia muundumine potentsiaalseks ja potentsiaalse
energia muundumine kineetiliseks. Liikuva
keha kineetiline energia. Arvutame, kui palju tööd
tuleb teha, et keha (massiga m) kiirust suurendada
paigalseisust kuni väärtuseni v. See töö
moodustabki likuva keha kineetilise energia. Töö=energia: Kui suur
aga on teepikkus s mille lõpuks saavutatakse kiirus v?
Kasutame seost (1.7)
Teades, et
Nüüd
on selge, et
Kineetiline
energia on võime teha tööd. Liikuva keha peatumisel
võib ta enese ees lükata teist keha mõjudes
sellele jõuga ja tehes tööd. Kui auto sõidab
vastu puud, siis auto kineetiline energia liigutab plekke paigast ja
murrab sõitjate luid. Tähelepanu, et auto kiiruse
suurenemisel kaks korda suureneb kineetiline energia neli korda!
Niisugustel deformeerivatel põrgetel muutub kineetiline
energia peamiselt molekulide soojusenergiaks. Kineetiline energia
muutub potentsiaalseks energiaks kui liikuvat keha peatab jõuväli,
näiteks kui viskame kivi ülespoole. Gravitatsioonivälja
jõud peatab lõpuks kivi liikumise, kuid kivi
kineetiline energia on muundunud tema potentsiaalseks energiaks. Sama
juhtub elektronidega, kui nad saavad lisaks kineetilist energiat
(näiteks aatomite põrgetel või valguse
neeldumisel): nad liiguvad tuumast kaugemale. Jõuväljas
asetseva keha potentsiaalne energia.Vaatleme esialgu
gravitatsioonivälja maapinna lähedal. Arvutame, kui palju
tööd tuleb teha keha (massiga m) tõstmiseks
kõrgusele h.
Gravitatsiooniväli
ja elektriväli on nn. potentsiaalsed väljad, kus keha
potentsiaalse energia muutus sõltub ainult alg-ja
lõppasukohast, mitte aga vahepealse liikumise trajektoorist.
Tehtud töö on sama, ükskõik millist rada mööda
liigutakse samade alg- ja lõpp-punktide vahel. Vabal inertsel
liikumisel jõuväljas (ilma välismõjudeta)
potentsiaalne ja kineetiline energia pidevalt muunduvad teineteiseks,
nii et summaarne energia on kogu aeg sama:
Näiteks
kõrguselt h kukkuva keha kiiruse leiame teades et
kukkumise lõpuks
Ülesvisatava
kivi maksimaalkõrguse võime samuti leida tema
algenergia (algkiiruse) kaudu.
Kineetilise
ja potentsiaalse energia muundumine toimub ka lihastetöös.
Näiteks võib teoreetiliselt arvutada, kui kõrgele
saab hüpata kirp, kelle kehas keskmine ATP kontsentratsioon on
0.1 mM, eeldades, et ATP keemiline energia kõik muutub hüppel
kineetiliseks energiaks.
Eelmised
ülesanded on lihtsad, sest ülesvisatud keha kõrgus
muutub suhteliselt Maa raadiusega sedavõrd vähe, et
rakusjõudu saab lugeda konstantseks. Kui aga kaugus muutub
suhteliselt palju, näiteks nagu kosmoselendudel, või nagu
elektroni kaugus muutub tuuma suhtes, siis ei saa ei gravitatsiooni-
ega elektrivälja jõudu enam konstantseks lugeda vaid töö
(energia) arvutamisel tuleb arvestada, et jõud muutub koos
kaugusega.
Jõudude
tasakaal, kiirus ja energia ringjoonelisel tiirlemisel. Looduses
asuvad kõik kehad üksteise jõuväljades,
suuremad kehad gravitatsiooniväljas, väikeste kehade puhul
on oluline elektriväli. Ometi ei kuku tõmbuvad kehad
üksteise peale, sest sellisel juhul oleks kogu Universum ammu
kokku kukkunud, elektronid oleksid kukkunud aatomituumadesse ja
planeedid nende Päikestesse. Loodust stabiliseerib see, et kehad
tiirlevad üksteise ümber, nii et kesktõmbejõud
ja kesktõukejõud on võrdsed ja radiaalsuunalist
kiirendust (jõudu) ei esine. Kasutades füüsikast
teadaolevaid valemeid gravitatsioonilise (elektrilise) kesktõmbejõu
ja inertsiaalse kesktõukejõu kohta saab nende
tasakaalutingimustest tuletada näiteks kui suur on tiirleva keha
potentsiaalne, kineetiline ja summaarne energia. Mõlemad,
nii elektrivälja kui ka gravitatsioonivälja tugevus (mõjuv
jõud) kirjelduvad ühe ja sellesama seadusega:
gravitatsiooniväli:
kus m
on keha mass, e on keha laeng (indeksid näitavad esimese
ja teise keha oma eraldi), r on nendevaheline kaugus ka konstant k
määrab seose kasutatava ühikute süsteemiga. Kui
masse mõõdetakse kilogrammides, siis gravitatsioonijõu
saamiseks Njuutonites omab gravitatsioonikonstant kg
väärtust ????. Kui laenguid mõõdetakse
Coulombides (Kulonites, C) siis elektrostaatilise tõmbejõu
saamiseks Njuutonites elektriväljakonstant ke
omab väärtust ????.
Muide,
selles, et need konstandid ei oma väärtust 1, väljendub
füüsikalise mõõtühikute süsteemi
ajalooliselt kujunenud ebajärjekindlus. Süsteemselt õige
oleks olnud massiühikuks võtta niisugune mass, mis teist
samasugust tõmbab ühe pikkusühiku kauguselt
ühikulise jõuga. Seesama ühikuline jõud aga
peab andma ühikulisele massile ka ühikulise kiirenduse. Et
see aga nii tuleks, peaks nii massi, pikkuse kui ajaühikut
vastavalt muutma. Praegused põhiühikud ei ole üldse
seotud gravitatsiooniseadusega. Samasugune on lugu
elektrilaenguühikutega. Formaalselt peaks laenguühik
Coulomb (Kulon) olema defineeritud kui laeng mis tõmbab teist
samasuurt vastasmärgilist laengut pikkusühiku kauguselt
ühikulise jõuga. Tegelikult on aga Coulomb defineeritud
hoopis magnetvälja kaudu: Coulomb on laeng, mis liikudes ühe
sekundi jooksul läbi 1 m pikkuse traadi mõjutab teist
samasugust traati, milles voolab niisama tugev vool, 1 m kauguselt
jõuga 1 N. See definitsioon baseerub magnetväljal, mis on
liikuvate laengute ümber ruumis. Elektrivälja jõud
avaldub nüüd aga ülaltoodud kaliibrimiskonstandi
kaudu. Leiame
keha (laengu) potentsiaalse energia tsentraalsümmeetrilises
gravitatsiooni- (elektri-) väljas. Kuna jõud on tugevasti
kaugusest sõltuv, siis tuleb kindlasti rakendada
integreerimist. Laengu liikumisel elektriväljas väga
lühikesel teepikkusel tehtud töö on kus
liikumise teepikkust tähistame seekod raadiuse (kugus tsentrist)
muutusena dr. Kui laeng liigub raadiuselt r1
raadiusele r2, peame integreerima vastavates
radades: Valem
näitab, et tsentraalsümmeetrilises elektriväljas
liikudes muutub laengu potentsiaalne energia pöördvõrdeliselt
kaugusega tsentrist. Analoogiline valem kehtib ka gravitatsioonivälja
kohta, ainult et seal esinevad kahe laengu asemel kaks massi ja
elektrivälja konstandi asemel gravitatsioonikonstant. Kui laeng
liigub tsentrist eemale, siis r2>r1
ja negatiivne liige on väiksem kui positiivne,
seega siis potentsiaalne energia kasvab. Vastupidi, potentsiaalne
energia kahaneb, kui laeng liigub tsentrile lähemale.
Potentsiaalse energia nullnivoo on aga kokkuleppeline. See võiks
olla üks äärmuslikest seisunditest, kas
Kuna see
energia kuhugi kaduda ei saa, siis muutub ta elektroni liikumise
kineetiliseks energiaks, st., lähenedes tuumale elektron liigub
kiirenevalt, nii nagu näiteks asteroid liigub kiirenevalt
lähenedes Maa pinnale. Vahe on siiski selles, et elektron ei
lange kunagi tuumale, vaid jääb tiirlema mingil kaugusel
ümber tuuma. Tiirlemise kaugus (raadius, on määratud
sellega, millal elektriline tõmbejõud võrdub
inertsiaalse kesktõukejõuga. Matemaatiliselt avaldub
see tingimus järgmiselt: Selle
valemi vasak pool on varasemast tuttav kesktõukejõu
valem keha massiga m ringliikumisel joonkiirusega v
ümber tsentri kaugusel r. Valemi parem pool on
elektrostaatilise tõmbejõu valem, kuid siin on juba
arvestatud, et aatomis positiivne ja negatiivne laeng on võrdsed,
mõlemad väärtusega e. Eelmisest
valemist saab leida raadiuse, mille saab siduda nii elektroni kiiruse
kui tema kineetilise energiaga:
või
Ümber tuuma tiirleva elektroni kineetiline energia kasvab kui
elektron läheneb tuumale (r kahaneb). Tuletame meelde, et
potentsiaalne energia samal ajal kahanes:
ja
summaarne energia Elektroni
summaarne energia kahaneb kui elektron asub tiirlema orbiidile mis on
tuumale lähemal. Kuhu see energiavahe siis läheb,
millisesse vormi muutub (kaduda ju ei saa)?
See energiavahe peab aatomist eralduma ja seda ta ka teeb, kas
valguskvandi kujul, või kandub üle mõnele
naaberaatomile, tõstes selle elektroni vastavalt kõrgemale
energianivoole, või eraldub soojusena, s.o. muutub aatomi
translatoorseks (kulgevaks) liikumiseks. Niisugune elektronide ja
tuuma vahelise kauguse muutumine, elektronide tiirlemine erineva
raadiusega orbiitidel, on peamine keemiliste ainete siseenergia,
keemilise energia olemus. Ained, mille molekulides elektronid
tiirlevad tuumadest kaugemal, on energiarikkamad ja võivad
seda vabastada kui keemilise reaktsiooni tulemusena toimuvad
muutused, mille tulemusena elektronid saavad tuumadele lähemale
asuda. Bioloogiliste protsesside energeetika on samadel alustel:
fotosünteesis tõstetakse elektron valguskvandi abil
kõrgemale energianivoole, tuumast kaugemale orbiidile, ja
metabolismi käigus ta järkjärgult läheneb
tuumale, vabastades niimoodi kvandi poolt talle antud energia.
Kas aga elektronid saavad tiirelda ümber tuuma igasugustel
kaugustel? Kui see nii oleks, võiks ju vabastada väga
suuri keemilise siseenegia koguseid lubades elektronil asuda tuumale
väga-väga lähedale (lastes raadiuse nulli lähedale).
Tõepoolest, klassikaline füüsika seda lubaks, kuid
tegelikkuses seda ei juhtu. Siin tulevad sisse kvantmehaanilised
piirangud, mis klassikalise füüsika abil ei seletu.
Järgnevas tutvumegi atomaarse kvantteooria põhialustega.
BOHRI AATOMIMUDEL
Eelmises lõigus tuletasime valemid, mis kirjeldavad ümber
tuuma tiirleva elektroni kiirust ja energiat. Igale elektroni
kineetilise energia väärtusele Ek vastaks
kindel raadius r. Klassikalise füüsika seisukohtade
kohaselt tekitab aga tiirlev elektron muutuva elektromagnetilise
välja: elektron on perioodiliselt kord tuumast parmal, siis
jälle vasemal, seega ‘pluss’ ja ‘miinus’
vahelduvad nagu televisiooni saateantenni varrastes, vahe on ainult
mõõdus ja tiirlemise sageduses. Muutuva
elektromagnetilise välja kaudu peaks elektroni tiirlemisenergia
välja kiirguma, elektron peaks tuumale lähenema ja lõpuks
tuumale kukkuma. Tegelikult seda ei toimu, kõik aatomid
maailmas on stabiilsed ja tavaliselt ei kiirga energiat. Selles on
klassikalise mehhaanika põhivastuolu tegelikkusega. Seda
vastuolu ei saa eletada, see tuleb lihtsalt teadmiseks võtta
ja postuleerida, et teatud kindlate energiaväärtuste puhul
on elektronide orbiidid aatomis stabiilsed ja energiat ei kiirgu,
kuigi põhjus, miks ei kiirgu, ei ole teada. Kui see aga
teadmiseks võtta, siis saab sellele üles ehitada uut
sorti mehanika – kvantmehaanika. Esimeseses järjekorras
tuleb postuleerida, missugused on need orbiidid, millel elektron saab
stabiilselt tiirelda ilma energiat kiirgamata.
Uurides kuumutatud kehadelt kiirguva valguse spektreid leidis Max
Planck (1900) ka siin vastuolu, mis lahenes, kui eeldati, et valgusel
on kvantiseloom: valgus kiirgub energiaportsjonite e. kvantide kaupa,
millest igaühe energia
Lähtudes
sellest postuleeris Bohr (1913): elektroni tiirlemisel ümber
tuuma elektrmagnetilist lainet (=valgust) ei kiirgu, kui elektron
tiirleb orbiitidel millel potentsiaalne on
Kineetiline
energia oli positiivne ja pool potentsiaalsest energiast:
Nendes
valemites on elektroni
tiirlemise sagedus, n aga mingi täisarv 1, 2, 3, 4 jne. Kasutades
seost joonkiiruse ja nurkkiiruse vahel, mille abil sagedus
teisendatakse joonkiiruseks, saame:
ja võime
kirjutada
ehk
või
võttes mõlemad pooled ruutu saame:
Elektrostaatilise tõmbejõu valemist (???) saame massiga
m läbi korrutades:
Kahe
viimase valemi vasakud pooled on võrdsed. Paremate poolte
võrdsustamisel saame avaldada lubatud raadiuse Need nn.
Bohri raadiused ongi võimalikud raadiused millel elektron saab
asuda stabiilselt ilma energiat kiirgamata.
Avaldame elektroni kineetilise energia tema massi m ja laengu
e kaudu. Selleks asendame r valemisse (???) või
(???). Saame
Samale
orbiidile vastav potentsiaalne energia
ja
koguenergia, mis vastab orbiidile, mida iseloomustab täisarv n
Võimalike
naaberorbiitide energiate vahe
Elektroni
tiirlemissageduste vahe kahel naaberorbiidil võrdub
väljakiiratava (või neelatava) valguse sagedusega kahe
orbiidi vahelisel üleminekul: Arvulisi
andmeid: e = 1. 6021892·10-19 kulonit; h=
6.626176·10-34 J·s; me =
9.109534·10-31 kg c =
299792458 m s-1 ke=??? Valem
(???) näitab, et elektroni võimalikud tiirlemisraadiused
suurenevad võrdeliselt täisarvude ruutudega, seega jada
on 1, 4, 9, 16, 25, 36 ... Valem
(???) näitab,et elektroni koguenergia võimalikel
orbiitidel suureneb raadiuse kasvades pöördvõrdeliselt
täisarvu n ruuduga, seega jada oleks
Kõige
sügavama energianivoo (põhinivoo) väärtus on
vesiniku aatomis -13.6 eV, nivoode jada elektronvoltides oleks siis
-13.6;
-3.4; -1.5; -0.85; -0.54; -0.38 ...eV Volt
(Itaalia teadlase Volta nimest) on elektrivälja potentsiaali
(potentsiaalse energia) ühik. Elektrivälja kahe punkti
potentsiaalide vahe on üks Volt kui laengu üks kulon
viimisel ühest punktist teise tehakse tööd üks J.
Ühe elektroni viimisel läbi potentsiaalide vahe üks
volt tehakse tööd üks elektronvolt. Energeetiliselt
elektronvolt on dzhaulist niisama palju kordi väiksem kui
elektroni laeng on väiksem kulonist, seega 1 eV = 1.
6021892·10-19 J.
Orbiitide ja energianivoode joonised.
Nähtav ja nähtamatu elektromagnetiline kiirgus, valgus. Energianivoode-vahelisel
üleminekul kiiratakse kvant kui üleminek toimub tuumale
lähemale ja neelatakse kvant kui üleminek toimub tuumast
kaugemale. Kvandi energia on niisama suur kui vastavate orbiitide
energianivoode vahe. Võtame teadmiseks, et vesiniku
sügavaimale energianivoole vastab 13.6 eV ja arvutame sellele
üleminekule vastava lainepikkuse.
See on silmale nähtamatu lühilaineline
ultraviolett-kiirgus. Silm näeb ‘valgust’, mis on
defineeritud kui elektromagnetiline kiirgus lainepikkuste vahemikus
400-700 nm ehk kvandi energiavahemik 3.10 kuni 1.77 eV. Vesiniku
aatomisisestest üleminekutest kiirguks nähtavat kiirgust
üleminekutel kõrgematelt nivoodelt teisele nivoole,
teiselt esimesele nivoole üleminek kiirgab kvandi lainepikkusega
121.7 nm.
Seega, valguse ja sellest lühemate lainepikkustega kvandid
kiirguvad elektroni üleminekul kõrgema energiaga
orbiidilt madalama energiaga orbiidile, energiavahe kiirgub kvandina.
Ka vastupidine protsess, kvandi neeldumine aatomis põhjustades
elektroni ülemineku madalamalt orbiidilt kõrgemale, on
võimalik. Nagu vesiniku aatomi analüüs näitas,
on lubatud täiesti kindlad energianivood, seega niisuguses
aatomis kiirguvad ja neelduvad ainult väga täpselt määratud
lainepikkustega kvandid. Vesiniku aatomis on põhinivoo nii
sügaval, et sinna üleminekul saavad kiirguda vaid
ultraviolett-kvandid. Paljelektroniliste aatomite väliste
kihtide lubatud põhinivood ei asu mitte nii sügaval ja
neis kiirguvad/neelduvad ka nähtava valguse kvandid. Näiteks,
tihti kasutatakse elavhõbe-auru ja naatriumi-auruga täidetud
lampe, kus elektrienergia abil sunnitakse metalliaatomeid kiirgama
nähtavat valgust. Kui aatomid asuvad gaasis tihedalt
lähestikku, siis nad põrkuvad soojusliikumise tõttu
ja need põrked moonutavad orbiitide kuju. Tulemusena nihkub
igas moonutatud orbiidiga aatomis energianivoo veidi ja kogu gaas ei
kiirga enam mitte joonspektrit teatud kindlate lainepikkustega, vaid
nn. ribaspektrit, kus jooned on laienenud ribadeks.
Joonis: ribaspektri näidis kõrgrõhu
elvhõbeauru-lambis. Tahkes
kehas asuvad aatomid nii tihedasti koos, et iga üksiku aatomi
energianivoo muutub väga ebamääraseks. Kui tahket
keha, näiteks metalli või sütt kuumutada, siis see
hakkab valgust kiirgama. Madalamal temperatuuril on see kiirgus
pikemalainelisem, nähtavaks muutub see tumepunasena kusagil 600
°C juures. Temperatuuri edasisel tõstmisel hakkab
domineerima järjest lühemalainelisem kiirgus, muutudes
silmale nähtavalt kollakaks, valgeks (nagu Päike) või
isegi sinakaks (nagu kuumad tähed). Niisugustes kuumutatud
tahketes kehades on kiirguse energiaallikaks aatomite (molekulide)
soojusliikumine, mis põrgetel ‘ergastab’
elektrone, lükates neid ajutiselt kõrgematele niivoodele,
kust nad siis kohe jälle alla kukuvad, kiirates kvante. Kuna
aatomid asuvad väga tihedalt, siis on ka lubatud energianiivood
väga tihedalt ligistikku, nii et igasuguse energiaga kvantide
kiirgumine on võimalik. Sellest tulenevalt on kuumutatud
tahkete kehade kiirgus pideva spektriga. Kuumutatud gaasides aga
kiirgub ikkagi joon- või ribaspekter. Nagu öeldud, on
madala temperatuuriga kehades lühilaineliste (kõrge
energiaga) kvantide kiirgumine vähetõenäone ja neis
domineerivad pikemalainelised kvandid. Näiteks Maa keskmine
temperatuur on umbes 290 °K ja Maa kiirgab kosmosesse infrapunast
kiirgust lainepikkuse maksimumiga umbes 10 m.
Seevastu Päikese temperatuur on umbes 6000 °K ja tema
kiirgusmaksimum on 0.5 m
lainepikkuse juures. Hõõglampide niidi temperatuur on
umbes 2000-3000 °K ja kiirgusmaksimum umbes 1 m
juures. Nagu näeme, on silm kohastunud nägema just selles
spektripiirkonnas, kus Päike kiirgab maksimaalselt. Seevastu
hõõglampide spektrist suurt osa silm ei näe.
Sellepärast ongi hõõglampide valgusviljakus
(valguslik kasutegur) suhteliselt madal (10-20%). Joonised:
Päikese ja hõõglampide spektri näited. Uurides
musta tahke keha kiirgusspektrit leidis Max Planck (1900), et see
vastab energia juhuslikule jaotusele ainult tingimusel, et mitte
igasugune kiirgumine ei ole võimalik, vaid ainult kiirgumine
portsjonite, kvantide kaupa, mille igaühe energia ja
võnkesagedus on seotud järgmiselt:
kus
on võnkesagedus
ja h nn. Planck’i konstant, mis on üks looduse
universaalsetest konstantidest. Veidi hiljem leidis Alber Einstein
oma üldrelatiivsusteooriast et elementaarosakeste (prootonite,
elektronide jne.) mass ja energia on omavahel seotud: kus c
on valguse kiirus. Nendest kahest valemist järgneb, et kvandil
(footonil) kui elektromagnetiliste lainete ‘paketil’ peab
siiski olema ka mingi mass Seega on
footon kahesuguste omaduste, nii lainepakett kui ka massiga osakene.
De Brouglie (1927) arendas seda mõtet edasi, et absoluutselt
iga osakene, millel on mass, omab samaaegselt ka lainelisi omadusi.
Kui eelmine valem teisendada, saame
kust See valem
on kirjutatud footonite jaoks, mis alati liiguvad kiirusega c ja ei
saa kunagi liikuda väiksema kiiruega. De Brouglie aga oletas, et
massi ja lainepikkust siduv valem kehtib iga osakese kohta, ka nende
kohta, mis võivad seista paigal või liikuda valguse
kiirusest väiksema kiirusega. Sellisel juhul valem sisaldaks
valguse kiiruse asemel osakese (keha) tegelikku kiirust Vaatame,
mida see hüpotees tähendaks Bohri aatomimudelis tiirleva
elektroni kohta, milline oleks selle ‘lainepikkus”? Elektroni
kineetiline energia orbiidil, millele vastas täisarv n
oli
Avaldades
siit kiiruse v saame ja vastava
elektroni lainepikkuse Võrdleme
elektroni lainepikkust Bohri raadiusega ehk Viimases
valemis lisasime raadiusele indeksi n näitamaks, et tegu
on just nimelt täisarvule n vastava raadiusega. Valem ise
aga näitab, et täisarvule n vastavale orbiidile
mahub just nimelt n täislainet. Tuletame meelde, et
kõrgemal orbiidil on elektroni kiirus väiksem, seega
lainepikkus suurem. Siit järeldub, et orbiidi ümbermõõt
(ka raadius) suureneb kahel põhjusel: elektroni lainepikkus
suureneb ja orbiidile paigutatavate lainete arv ka suureneb. Siit
tulenebki väliste orbiitide läbimõõdu kiire
kasvamine kui elektroni summaarne energia hakkab nullile lähenema
(elektron kaugeneb tuumast väga kaugele).
Lainemehaanika
alged Lained on
ruumis edasilevivad võnkumised. Edasilevimine tuleb sellest,
et mingis ruumipunktis toimuv muutus kutsub esile sarnase muutuse
naaberpunktis, aga veidi hiljem. Elektroni orbiidil ringlevad samuti
lained, kuid kummas suunas? Et eelissuunda ei ole, siis levivad
lained mõlemas suunas liikudes vastamisi. Kui seejuures on
veel orbiidil täisarv laineid, siis tekib resultatiivselt nagu
laine seiskumine, vastassuunalised levimised kompenseeruvad. Seega,
elektron aatomi orbiidil moodustab seisva laine. Üldse, madalama
potentsiaalse energiaga ruumiosas kinnihoitavad lained moodustavad
alati seisvad lained, ja seda madalama potentsiaaliga ruumiosa
kutsutakse ‘potentsiaaliauguks’. Gravitatsiooniväljas
on kahemõõtmeline potentsiaaliauk näiteks kaev,
kus ergastatud lained peegelduvad kaevu seintelt ja moodustavad
veepinnal seisvaid laineid. Kolmemõõtmeline
elektripotentsiaali auk on näiteks tuuma ümbrus, mis hoiab
elektrone kinni kui seisvaid laineid. Seisvat lainet kirjeldav
matemaatika on lihtsam kui levivat lainet kirjeldav, sest ajalisi
muutusi ei esine ja vastav diferentsiaalvõrrand aega ei
sisalda. Juba
varem leidsime, et võnkumiste võrrand on teist järku
diferentsiaalvõrrand. Näiteks massi ajaliste võnkumiste
jaoks oli põhiprintsiip, et tasakaalu poole suunatud jõud
on võrdeline hälbega tasakaalupunktist, seega kiirendus
on võrdeline hälbega tasakaalupunktist. Ruumilise
võrrandi põhimõte on sama, ainult jõu ja
kiirenduse mõistet siin kasutada ei saa:
Võrrand
on ühemõõtmeline, kus mingi suurus A
lainetab x-telje suunas. Kui lainetus võib esineda kolmes
ruumisuunas, siis kirjutatakse lainefunktsiooni lühidalt
Asendades
Et
lainete oluliseks parameetriks on mitte kiirus, vaid energia, siis
avaldame kiiruse kineetilise energiaga kui koguenergia ja
potentsiaalse energia vahega:
ja
See on
kvantmehaanika põhivõrrand, nn. Schrödingeri
võrrand, ja tema kolmemõõtmeline lahend esitabki
lainefunktsiooni, mis kirjeldab elementaarosakest kui seisvat lainet
potentsiaaliaugus. Viimane tingimus tähendab, et lahend on
olemas kui koguenergia on negatiivne. Selle võrrandi ruumiline
(kolmemõõtmeline) lahend esitabki elementaarosakese kui
võnkumise. Lainetav osakene võib esinaeda teatud
tõenäosusega igas ruumipunktis. Osakese esinemise
tõenäosuse tihedust kirjeldab lainefünktsiooni ruut
Oluline
on tähele panna, et Schrödingeri võrrand ei sisalda
aega, seega elektroni leidmise tõenäosus mingis punktis
on kogu aeg üks ja seesama, elektron asub kogu aeg mingis
piiratud ruumiosas. Elektroni hoiab selles ruumiosas elektriväli,
mille potentsiaal on negatiivne, st., mis tõmbab elektroni.
Tõmbavat, madalama potentsiaaliga (elektroni potentsiaalse
energiaga) ruumiosa nimetatakse ‘potntsiaaliauguks’,
analoogia põhjal auguga maapinnas, kuhu sissekukkunud kehad
sealt ise enam välja ei pääse. Tuumale lähenenud
elektron ongi kukkunud potentsiaaliauku. Joonisel on näidatud
lihtsaim ühemõõtmelise potentsiaaliaugu juht, kus
väljaspool ‘auku’ on potentsiaal ühtlaselt
kõrgem ja augus sees ühtlaselt madalam, tuletades meelde
näiteks kaevu maapinnas. Elektroni lainetamist niisugune
potentsiaaliaugus on matemaatiliselt lihtne arvutada, sest summaarne
energia E-Ep on augus sees
kõikjal sama ja võrrand (???) laheneb sinusoidaalsete
võnkumistena. Tähtis on, et võrrand ei lahene
mitte igasuguse energiaväärtuse puhul, vaid ainult
niisuguste puhul, mis võimaldavad augu mõõtmesse
paigutada täisarvu poollaineid. Sisuliselt tähendab see
tingimus, et augu servas, kus potentsiaal järsult tõuseb,
peab elektroni leidmise tõenäosus olema null (vt.
joonist). Siit tulenebki potentsiaaliaugus asetseva lainetava
elektroni lubatud energia kvantiseeritus, mille tulemusena võrrand
laheneb ainult teatud täisarvuliste kordajatega n seotud
energiaväärtuste jaoks. Kvantarvu n mõte on
sama, mis Bohri aatomis, ta seob elektroni lubatud energia Plancki
konstandi h kaudu võnkesagedusega, lainepikkusega, mis
täpselt mahub ‘potentsiaaliauku’. Kuigi
elektroni leidmise tõenäosus mingis ruumipunktis on
konstant, sõltub see oluliselt, millist ruumipunkti me
vaatleme. Näiteks potentsiaaliaugu serval on see null ja on null
iga poollaine järel. Poollaineid on seda rohkem, mida kõrgem
on elektroni energia. Muide, täpselt null on elektroni leidmine
seina-ääres ainult siis kui ‘sein’ on lõpmatu
kõrge, st. potentsiaaliauk on väga sügav, väga
madala pontentsiaaliga. Madalasse seina tungib elektron veidi sisse,
ja kui see sein ei ole mitte väga paks, siis ulatub lektroni
lainetus veidi ka naaberauku (Joonis tunnelefekti kohta). Seega,
elektron, mis asub piiratud madala potentsiaaliga ruumiosas võib
siiski teatud väikese tõenäosusega sattuda ka
naaberauku, kuigi nende vahel on sein. Seda nähtust nimetatakse
tunneleffektiks ja sellel on bioloogias suur tähtsus elektroni
ülekandeprotsessides: Kui lähestikku asuvad kaks aatomit,
siis võib elektron kanduda üle ühelt teisele, kuigi
vahepeal on kõrge potentsiaaliga ruumiosa (‘sein’).
Nagu
öeldud, on Schrödingeri võrrand lihtne lahendada ja
annab siinusekujulised lained ainult siis kui summaarne energia on
potentsiaaliaugus konstantne. Aatomituuma ümbruses aga on
potentsiaaliauk hoopis sügava lehtri kujuline, langedes
pöördvõrdeliselt kaugusega tuumast. See teebki
võrrandi lahendamise keeruliseks ja annab tulemuseks mitte
konstantse lainepikkusega siinuselised lained, vaid pidevalt lüheneva
lainepikkusega lained, seda lühema lainepikkusega, mida madalam
on potentsiaal antud kaugusel. Kirjutame need lahendid vesiniku
aatomi jaoks siiski välja, sest nendest tulenevad kvantarvud, n,
l, ja m, mis määravad elektronide võimaliku
paigutuse aatomis. Schrödingeri
võrrandi lahendamine ümber tuuma asetseva elektroni jaoks
on eelmises punktis vaadeldust keerukam kahel põhjusel:
esiteks, lahend ei ole mitte ühemõõtmeline, vaid
kolmemõõtmeline ja potentsiaaliauk ei ole mitte sileda
põhjaga, vaid lehtrikujuline. Kuna probleem on ilmselt
tsentraalsümmeetriline, siis on otstarbekas Schrödingeri
võrrand kirjutada ruumilistes polaarkoordinaatides r,
ja
Tuletame
meelde, et rist-ja polaarkoordinaadid on omavahel seotud järgmiselt: Asendades
need Scrödingeri kolmedimensionaalsesse võrrandisse saame
matemaatiliselt järgmise üldvõrrandi elektroni kohta
vesiniku aatomis Siin me
on elektroni mass. Selle võrrandi lahendamine üldjuhul ei
olegi võimalik, vaid vaja on teha teatud eeldusi. Nimelt
eeldatakse, et kolmemõõtmeline lainefunktsioon
avaldub kolme
ühemõõtmelise lainefünktsiooni korrutisena:
See on
füüsikaliselt väga oluline koht, eeldades, et
võnkumised kolmes eraldi ruumi suunas toimuvad sõltumatult,
üksteist mõjutamata. Elektroni summaarne energia kujuneb
välja kolmesuunaliste võnkumiste energiate summana.
Rakendades seda eeldust ja tehes matemaatilised teisendused saame
kolm eraldi võrrandit, igaüks oma koordinaadis toimuvate
võnkumiste kohta: Nendes
võrrandites m ei ole elektroni mass vaid mingi täisarv,
samuti nagu Esimene
kolmest võrrandist lahendub väga lihtsalt. Nagu oodatud,
on võnkumised polaarnurga suunas siinuselised, sest asimuudi
suunas on ju
potentsiaalne energia konstantne. Täisarv m on siin lubatud
energiat määrava kvantarvu rollis. Samuti
annab siinuselise lahendi teine võrrand, sest ka polaarnurga
suunas on
potentsiaalne energia konstantne. Siin on aga lahend keerukam, sest
sisldab kahte kvantarvu, m ja
Keerukaim lahend on aga raadiusesuunaline, sest siin on potentsiaalne
enegia muutlik, pöördvõrdeline raadiusega. Ometi
onkasee lahendatud ja leitud tingimused kvantarvu n jaoks,
mille puhul lahend on olemas (lubatud energiate väartused).
Ülatoodud
võrrandites on kvantarvud esitatud siiski keerukamal kujul kui
lihtsas Schrödingeri võrrandis. Põhjus on selles,
et, nagu mainisime, on elektroni summaarne energia nüüd
määratud kolme energia summaga, vastavalt igas koordinaadis
toimuvale võnkumisele. Keemiliste ja füüsikaliste
protsesside jaoks on aga tihti kõige tähtsam summaarne
energia, pealegi võimaldaks ühe summaarset energiat
väljendava kvantarvu sissetoomine siduda kolmemõõtmeliselt
võnkuva elektroni ühemõõtmeliselt tiirleva
elektroni kvantiseeritud energiaga, nii nagu see oli Bohri aatomis.
Seega, tuleks tuua sisse peakvantarv n, mis näitab kõigis
koordinaatides toimuvate võnkumiste energiate summat, ja
kõrvalkvantarvud, mis näitavad, kui suur osa summaarsest
energiast on jaotunud ühe või teise koordinaadi suunas.
Niisuguset loogikast tulenebki, et võrrandid ja
jaoks sisaldavad
juba ise mingeid täisarve, mis on allutatud täisarvule n,
mis ei sisaldu R võrrandis vaid tuleneb selle
lahenduvuse tingimusena. See alluvuste jada on järgmine: Täisarv
n, peakvantarv, võib omada täisarvulisi
positiivseid väärtusi alates nullist: n=0, 1, 2, 3,
... Füüsikaliselt,
n näitab võngete (lainete) koguarvu raadiuse r
ja tõusunurga suunas
kokku.
Valemis
???
Seega, seoses sellega, et ruum on kolmemõõtmeline, on
elektronil kolm kvantarvu, mis iseloomustavad võngete arvu iga
koordinaadi suunas. Selleks, et üks kvantarv iseloomustaks
võimalikult hästi koguenergiat, on võrrandid
lahendatud nii, et peakvantarv n vastab kahe koordinaadi
raadiuse ja tõusunurga suunas toimuvate võngete
koguarvule.Asimuudi suunas toimuvad võnked ei mõjuta
elektroni koguenergiat muidu kui aatom ei asetse välises
magnetväljas, seetõttu on magnetkvantarv m summast
välja jäetud. Peame meeles järgmised reeglid:
n=1,2,3,4,5....
l=0, 1, 2 ...(n-1)
m=0, ±1, ±2, ...±l. Peakvantarv
n võib omada positiivseid täisarvulisi väärtusi. Orbitaalkvantarv
ehk kõrvalkvantarv l võib omada täisarvulisi
väärtusi alates nullist kuni ühe võrra väiksema
väärtuseni kui n. See tähendab, et tõusunurga
suunas ei pruugi toimuda ühtegi võnget, võib
toimuda üks, kaks jne, võnget, kuid vähemalt üks
võnge peab jääma raadiuse suunale, muidu kaotaks
aatom raadiusemõõtme, mis on ju ainuke pikkuse
dimensiooniga suurus kolme polaarkoordinaadi hulgas. Magnetkvantarv
m on allutatud kõrvalkvantarvule ja võib omada
väärtusi alates –l läbi nulli kuni +l
–ni. Keemikud on mugavuse mõttes tähistanud
kvantarvude väärtusi ka tähtedega: Peakvantarvu
jaoks: K(n=1); L(n=2); M(n=3); N(n=4) jne kõrvalkvantarvu
jaoks: s(l=0); p(l=1); d(l=2) f(l=3). Joonisel
on illustreeritud rariaalkomponendi R kuju sõltuvalt
peakvantarvu n ja kõrvalkvantarvu l väartustest.
Kui n=1 siis on elektronil ainult üks laine ja see peab
olema raadiusesuunaline (l=0). Laine ei ole aga siinuseline,
vaid muutub väga kõrgeks ja teravaks tuumale lähedases
ruumiosas, seoses sellega, et seal potentsiaaliauk kukub kiiresti
sügavaks. Kui n=2 ja l=0, on raadiusesuunas kaks
lainet, kui n=3 ja l=0, on raadiusesuunas kolm lainet.
Nüüd on eriti selgesti näha, kuidas potentsiaali
langemine tuuma suunas põhjustab lainepikkuse pidevat
lühenemist. Pange tähele ka, kui kaugele aatomi tsentrist
elektroni lained ulatuvad: ühe võnke puhul umbes 4 A
(A=Ongström, = 10-10 m= 0.1 nm), kahe võnke
puhul 6A ja kolme puhul 12 A. See arv kahekordselt on vesinikuaatomi
läbimõõt sõltuvalt sellest missugusel
energianivool elektron asub (kas n=1,2 või 3). Seega,
põhisesundis n=1 katab aatomi lainefunktsioon diameetri umbes
8A, kuid ergastatud seisundis (n=2 või 3) kuni 20 A. Kui l =1,
on raadiuse suunas üks võnge vähem, kui l=2
siis kaks võnget vähem, kuid aatomi üldmõõt
sellest ei muutu, vaid raadiusesuunaline lainepikkus vastavalt
suureneb. (Kuidas see ühtib väitega, et muutujate
lahutamine tähendab eeldust, et võnked kolmes
koordinaadis on sõltumatud??). Eelmises
lõigus leidsime, et elektroni leidmise tõenäosuse
tihedust esitab lainefunktsiooni ruut (lainefunktsioon võib
olla ka negatiivne, kuid ruut on ikka positiivne). Tõenäosuse
tihedus korrutatud vastava ruumi suurusega annab elektroni leidumise
tõenäosuse selles ruumiosas. Juhul kui l=0 on
lainefunktsioon maksimaalne kohal r=0, seega tuuma vahetus
ümbruses on elektroni tõenäosustihedus suurim. Kuna
aga tuum ise on tohutult pisike (ruum väheneb raadiuse kuubiga!)
siis elektroni leidumise tõenäosus otse tuumas on ikkagi
väga-väga väike, nagu näha ka vastavalt
jooniselt. Sõltuvalt raadiusesuunaliste leinete arvust
moodustab elektron tõenäosuspilve millel on üks,
kaks, kolm või enam suurma tihedusega kohta, tuumast
keskmiselt seda kaugemal, mida suusrem on n. See langeb kokku
Bohri aatomi analüüsil saadud tulemusega, et elektron võib
tiirelda kindlatel kaugustel, seda kaugemal, mida suurem on energia,
kuid lainemehaanikast näeme, et elektroni orbiit ei ole mitte
kindel joon vaid muutuva tihedusega tõenäosuse pilv.
Pilt
läheb veelgi huvitavamaks kui katsume lainefunktsiooni kolme
koordinaadi suunalisi komponente korraga ette kujutada, seega aatomi
ruumilist pilti ette kujutada. Aatom on lihtne kerakujuline ainult
juhul kui võnked on ainult raadiuse suunas (l=0 ehk
s-orbitaalid). Kui l=1 (p-orbitaalid) on tõusunurga
suunas ka võnge, mis moonutab kerakujulise tõenäosuspilve
kaheksakujuliseks. See kaheksakujuline moodustis võib ruumis
paikneda kolmel viisil, vastavalt m=-1,0+1, nii nagu näidatud
joonisel. Kui välist magnetvälja ei ole, siis need erinevad
paiknemisviisid koguenergiat ei mõjuta. Magnetvälja
olemasolul aga mõjutavad ja vastavalt jagunevad spektrijooned
kolmeks. Siit siis kolmanda kvantarvu nimetuski - magnetkvantarv. Kui
l=2 ja tõusunurga suunas on kaks võnget, tekivad
veelgi kummalisema kujuga moodustised viiel erineval moel. Seega,
joonisel ?? toodud raadiusesuunalised tõenäosuspilved l
väärtuste 1 ja 2 jaoks on kehtivad nendes ristlõigetes
kus raadiusesuunaline tõenäosus on maksimaalne. Milleks
me bioloogilises füüsikas tungime nii sügavale
kvantmehaanikasse? Selleks, et mõista, et ainult tänu
aatomite lainelisele ehitusele on elu võimalik.
Elusstruktuurid moodustuvad keerukast aatomite süsteemist, mis
seostuvad üksteisega kindlates järjestustes ja kindlates
suundades. Ruumiline struktuursus on ju valgu molekuli peamine
omadus. Kui kõik valku moodustavad aatomid oleksid kujult
ümargused nagu herneterad (näit. nagu Bohri aatomi
ringikujulised orbiidid), siis ei oleks aatomite sidumine kindlates
suundades võimalik. Ei ole ju herneteradest võimalik
kokku panna keerulisi ehitisi, küll on see aga võimalik
näiteks Logo elementidest, mis ei ole ümargused. Isegi
lihtne vee molekul näeks siis hoopis teistsugne välja kui
aatomid oleksid ümargused. Tänu sellele, et p ja d
orbitaalid (l=1 ja 2) moodustavad ruumilis kujundeid millel on
väljavenitused kindlates suundades, haakuvad nendega teiste
aatomite p- ja d-elektronid moodustades kindlasuunalisi sidemeid.
Niimoodi, üksteisest kindlatel kaugustel ja kindlates suundades
paigutatud aatomitest ehituvad üles elusaine molekulid, nendest
omakorda rakud ja koed ja organismid. Aatomite paigutus molekulis ja
molekulide omavaheline haakumine määrabki selle kuidas
elusaine üles ehitatakse. Seega, elu olemust saab mõista
ainult mõistes kvantmehaanika põhialuseid.
Mitme
elektroniga aatomid Kuigi
vesinik on üks tähtsamaid looduses esinevaid elemente, on
bioloogias siiski tähtsad veel süsinik, lämmastik,
hapnik ja veel mitmed teised elemendid. Süsinikul on kuus,
lämmastikul seitse ja hapnikul kaheksa elektroni.
Kvantmehaanilist lainevõrrandit saab aga täpselt
lahendada ainult kahe keha jaoks, seega ühe elektroni ja ühe
prootoni jaoks. Mitme elektroniga aatomites on oluline veel
elektronide omavaheline mõju ja selle täpne arvestamine
ei ole võimalik. Meie siin unustame elektronide vastatstikuse
mõju ja kujutame ette, missugune oleks mitme elektroniga aatom
kui elektronid omavahel üksteist ei mõjutaks vaid kõik
oleksid vastasmõjus ainult tuumaga.
Kui
elektrone on mitu, on ka prootoneid mitu ja vastavalt on tuuma laeng
suurem ja elektriline külgetõmme tugevam. Seega on tuuma
ümbruses ‘potensiaaliauk’ sügavam
(potentsiaalne energia langeb kiiremini) ja põhisesundi n=1
lainefunktsioon koondub tuumale lähemale. Samuti on tuumale
lähemal ka teised, kõrgemale energiale vastavad
orbitaalid. Kuidas aga paigutuvad elektronid, kas kõik ühel,
kõige madalama energiaga orbitaalil? Ei, selgub, et täpselt
ühesuguse lainefunktsiooniga elektrone saab aatomis olla ainult
üks. See on nn. Pauli printsiip, mille kohaselt elektronid
jaotuved erinevate energianivoode vahel täites need madalamast
kõrgemani. Seega peaks igale orbitaalile mahtuma ainult üks
elektron, mis on iseloomustatud kolme kvantarvuga n, l,
m. Selgub aga, et elektronil on veel üks omadus, mis
lisab veel ühe kvantarvu, spinn s, mis kirjeldab
elektroni sisemine pöörlemise suunda. Kuigi on raske ette
kujutada kuidas üks tõenäosuspilv veel sisemiselt
iseenese ümber pöörleb nagu värten (inglise
keeles “spin”) ilmneb see sellest, et elektronil on
magnetmoment. Iga elektron on nagu pisike magnetike, mis võib
olla suunatud tuuma magnetvälja suhtes (ka tuumal on
magnetmoment) kahes erinevas suunas. Vastavatest võrranditest
tuleneb selle kvantarvu väärtuseks kas +1/2 või
–1/2. Ühele ja samale orbitaalile mahub seega kaks
elektroni, üks spinniga =1/2 ja teine spinniga –1/2. Nüüd
on meil käes kõik tingimused, et asuda üles ehitama
paljuelektroniliste aatomite elektronkatte struktuuri: elektrone
tuleb juurde lisada orbitaalidele järjekorras, alates madalamate
energiatega seisunditest kõrgemate suunas, mahutades igale
orbitaalile mitte rohkem kui kaks elektroni. Teeme selle programmi
läbi kuni teise perioodi (n=2) kõigi nivoode täitumiseni,
sest see kaasab ka bioloogiliselt tähtsad elemendid C, N, O. H: n=1;l=0;m=0;s=1/2
üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne He: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid
paardunud spinnidega, inertgaas Li: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 üks
paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne Be: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2
n=2;l=0;m=0;s=-1/2 kõik elektronid paardunud spinnidega,
keemiliselt inertne B: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2
üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt aktiivne C: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2
kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne N: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2 kolm
paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne O: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=1/2
kaks paardumata spinniga elektroni, keemiliselt aktiivne F: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 üks paardumata spinniga elektron, keemiliselt
aktiivne Ne: n=1;l=0;m=0;s=1/2
n=1;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=0;m=0;s=1/2 n=2;l=0;m=0;s=-1/2 n=2;l=1;m=-1;s=1/2 n=2;l=1;m=-1;s=-1/2
n=2;l=1;m=0;s=1/2 n=2;l=1;m=0;s=-1/2
n=2;l=1;m=1;s=1/2 n=2;l=1;m=1;s=-1/2
kõik elektronid paardunud spinnidega, inertgaas Ülaltoodud
orbitaalide täitumise järjekorrast näeme, et
kõigepealt täituvad orbitaalid ühe elektroniga ja
alles nende võimaluste ammendumisel asub teine, vastupidise
spinniga elektron samale orbitaalile. Illustratsiooniks
toome täieliku perioodilise süsteemi tabeli, mis näitab
orbitaalide täitumise järjekorda ka kõrgema n
väärtuse jaoks kui n=2. Põhimõte on
see, et s-orbitaalidele (l=0) mahub kaks elektroni 2x(m=0);
p-orbitaalidele (l=1) mahub kuus elektroni 2x(m=-1,0+1);
d-orbitaalidele (l=2) mahub kümme elektroni
(m=-2,-1,0,1,2). Aga juba alates komanda perioodi lõpust
tekivad ebaregulaarsused, mis on põhjustatud sellest, et
võnked tõusunurga suunas on mõnevõrra
energiarikkamad kui võnked raadiuse suunas. Seetõttu
pärast Argooni (Ar) oleks oodata elektronide asumist 3d nivoole,
kuid K ja Ca aatomites täituvad enne hoopiski 4s orbitaalid, mis
asuvad energeetiliselt madalamal kui 3d orbitaalid. Alles seejärel
täituvad järjekorras 3d orbitaalid, jättes 4s
orbitaalile kogu aeg 2 (või üks ) elektroni. Seetõttu
omab terve rida aineid Sc kuni Zn –ni keemiliselt sarnaseid
metallilisi omadusi ja terve see rida kannab ühist nimetust
muldmetallid. Samasugused ebaregulaarsused korduvad veelgi enam
kõrgemate n väärtuste puhul. Bioloogias on
olulised elemendid Fe, Cu, Mn, mis võivad kergesti loovutada
ühe või kaks väliskihi (n=4) elektroni, kuigi
eelmises, 3d kihis on veel vabu orbitaale. Neid viimaseid, vabu 3d
orbitaale, on loodus osanud kasutada nende aatomite sidumiseks
valkudega, et neid paigutada kindlatele kohtadele ja seal fikseerida,
samal ajal kui n=4 kihi elektrone saab aatom loovutada või
juurde võtta. Seetõttu on nimetatud metallid kõige
tüüpilisemad elektroni ülekandjad, olles kinnistatud
nn. tsütokroomidesse (Fe) või teistesse
valkstruktuuridesse (Cu, Mn).
Huvitaval
kombel on plaatina ja kulla (Pt, Au) väliskihi struktuur sarnane
kaaliumi (K) omaga. Viimane on aga keemiliselt väga aktiivne,
samal ajal kui kuld võib kolmsada aastat merevees püsida
tuhmumata. Molekulide
moodustumine – kovalentne side aatomite vahel. Orbitaalil
üksi asuv elektron omab magnetmomenti ja püüab
paarduda teise, vastassunalise spinniga elektroniga, nii nagu kaks
pulkmagnetit tõmbuvad kui põhja- ja lõunapoolused
satuvad vastatstikku. Seetõttu on keemiliste elementide
aatomid ja ka molekulid, mille koosseisus on paardumata elektrone,
keemiliselt aktiivsed ja neid nimetatakse radikaalideks. Kui lähedal
juhtub olma teine aatom, millel vaba elektron on vastasmärgilise
spinniga, võiksid need kaks elektroni põhimõtteliselt
paari moodustada, kuid selleks peavad nad enne teineteisele küllat
ligidale saama. Probleem on selles, et dipoolsed magnetid
(kahepooluselised) magnetid tõmbuvad piisavalt tugevasti
ainult väikeselt kauguselt, välised elektronid aga tõukuvad
omavahel juba suurelt kauguselt. Seetõttu molekuli
moodustumiseks peavad elektronkatted alguses lähenedes isegi
teatud määral tõukejõudude poolt moonutatud
saama, enne kui tõmbuvad jõud piisava tugevuse
saavutavad. Molekuli moodustumine on kvantmehaaniliselt väga
keerukas protsess ja vastavaid lainevõrrandeid täpselt
lahendada ei ole niikuinii võimalik. Näiteks on
niisuguses kahe paardunud elektroni lainefunktsioonis elektroni
maksimaalne tõenäosustihedus otse tuumade vahel. Seega,
lisaks spinnide kui magnetite vastastikusele tõmbele on
oluline veel mõlema tuuma tõmme nende vahel asuva
elektroni suhtes. Meie kursuse piires on piisav mõista, et
keemilise sideme kahe aatomi vahel saavad moodustada ainult kaks
paardumata elektroni, millel on vastassuunalised spinnid, ja
paardunud elektronidest tingitud tugev aatomitevaheline tõmme
on mõjus ainult väikestel kaugustel.
Vaatleme
molekuli moodustumist energeetilisest aspektist. Kui kaks aatomit
asuvad kaugel, võib nende omavahelise mõju
potentsiaalse energia lugeda nulliks (mõju ei ole). Lähenedes
hakkab tunda andma kõigepealt väliste elektronide
omavaheline tõukumine. Seda tõukejõudu ületades
potentsiaalne energia suureneb, muutudes positiivseks. Potentsiaalse
energia suurnemine toimub loomulikult kineetilise energia vähenemise
arvel, s.t. molekulid lähenevad inersi tõttu ja lähenedes
kiirus aeglustub. Kui algkiirus oli küllalt suur võivad
elektronid üksteisele nii lähedale sattuda (potentsiaalne
energia saavutab maksimumi), et antiparalleelsete spinnidega
elektronide tõmme hakkab domineerima Seevastu elektronpilvede
tõukumine isegi väheneb, sest elektronid asuvad nagu
üksteise sees, orbitaalid osaliselt kattuvad. Tõmbejõu
sfääris hakkab potentsiaalne energia uuesti kahanema,
kineetiline seevastu aga suurenema. Tuumade teatud omavahelise
kauguse puhul saabub potentsiaalse energia miinimum, aga muidugi
uuesti kineetilise energia maksimum. Kui selles seisus aatomipaar
energiat ära ei anna, siis stabiilset molekuli ei moodustu.
Põrgates naabermolekuliga või energiakvanti kiirates
saab ülearusest energiat vabaneda ja siis stabiliseerub
potentsiaalse energia miinimumi seisund. Pange tähele, et
vabanenud energia muutub just kogu molekuli energiaks, mitte uuesti
nendesamade aatomite kineetiliseks energiaks, mis reaktsiooni
astusid. Reageerivad aatomid on oma kineetilise energia abil ületanud
nn. aktivatsioonienergia barjääri ja moodustanud stabiilse
molekuli, vabanedes seejuures ülearusest energiast. Uus
energiamiinimum, mis vastab molekuli olekule, võib olla kas
madalam või kõrgem kui aatomite esialgne potentsiaalse
energia nivoo (null). Kui lõppnivoo on madalamal kui algnivoo,
siis selles reaktsioonis vabanes energiat (ka see muutus molekulide
liikumise energiaks, soojuseks). Kui lõppnivoo on kõrgem
kui algnivoo, siis reaktsioonis kokkuvõttes neeldus
kineetilist energiat, s.t. osa aatomite kineetilisest energiast ei
muutunud mitte molekulide kineetiliseks energiaks, vaid jäi
molekulisiseseks potentsiaalseks energiaks. Niisuguse reaktsiooni
tulemusena segu jahtub, molekulide kineetiline energia väheneb. Ülaltoodud
mudel ei kehti mitte üksne molekuli moodudstumise puhul
aatomitest vaid ka teiste keemiliste reaktsioonide puhul, mis
toimuvad molekulide vahel ja mille tulemusena moodustuvad teised
molekulid. Molekulide moodustumise puhul aatomitest on molekuli
potentsiaalne energia tavaliselt negatiivsem kui reageerivate
aatomite oma (energiat vabaneb). Molekulidevaheliste reaktsioonide
puhul esineb nii negatiivsemat kui positiivsemat lõppseisundit.
Paarduda
ja kovalentseid sidemeid moodustada võivad omavahel nii
erinevate aatomite s-p ja d-elektronid kui ka s, p, ja d elektronid
kombinatsioonides. Vastavalt paarduvate elektronide orbitaali kujule
võivad sidemed kujuneda erineva pikkusega ja erinevate nurkade
all. Lihtsaim juht, kui paarduvad kaks s-elektroni, annab tulemusena
hantlikujulise molekuli, kus kaks kerakujulist orbitaali on osaliselt
ühinenud (Joonis). s-elektronide paardumisel moodustun nn.
-side, millel ei ole
kindlat suunda. p-elektronidel on kaheksakujulised orbitaalid ja need
võivad s-elektroniga paarduda otstest. Sel juhul on -side
kaheksakujulise p-orbitaali otsa pikenduseks, suund on määratud
p-orbitaali poolt. p-orbitaalid võivad omavahel paarduda kahel
viisil, kas ka otstest (sel juhul on sideme nimetuseks ikkagi
-side), või
külgedelt. Viimasel juhul kutsutakse sidet -sidemeks.
-sideme oluline omadus on
see, et ta ei lase sidet moodustavaid aatomeid omavahel pöörelda,
kuna side seda
lubab. -sideme näiteks
s- ja p-orbitaali vahel toome vee molekuli, kus s-orbitaaliga
vesiniku elektron on paardunud p-orbitaaliga hapniku elektroniga
(joonis). -sidemete näiteks
toome lämmastiku molekuli, milles N aatomites on kolm omavahel
risti olevat paardumata p-orbitaali. Üks neist paardub teise N
aatomi p-elektroniga -sideme
abil, kuna kaks paarduvad -sidemete
kaudu, moodustades nii kolmekordse sidemega seotud (väga
stabiilse, raskesti lõhutava) molekuli. Aatomite
põhiseisundis (madalaimal energiatasemel) on nende kovalents
võrdne paardumata elektronide arvuga, mis oleks H: 1 He: 0 Li: 1 Be: 0 B: 1 C: 2 N: 3 O: 2 F: 1 Ne: 0 Tegelikult
aga ei ole valentssidemete arv alati niisugune ja võib olla
isegi muutlik sõltuvalt ühenditest. See tuleneb
asjaolust, et 2s elektronpaar ei ole mitte väga tugevasti
omavahel seotud ja termiline energia on juba võimeline seda
sidet lõhkuma, viies ühe 2s elektronidest üle 2p
seisundisse. Selle tulemusena on näiteks Be ja ka Ca tavaliselt
kahevalentsed, kuigi mõlemad sisaldavad põhiseisundis
2s paari ja mitte ühtegi p-elektroni. Sama lugu on süsinikuga:
see peaks teoretiliselt olema kahevalentne (2s paar ja kaks
paardumata 2p elektroni), kuid on peaaegu kõigis ühendites,
seljuures kõigis orgaanilistes hendites neljavalentne. Üks
2s elektronidest ergastub kolmandale vabale 2p orbitaalile ja kõik
neli teise nivoo elektroni osutuvad mittepaardunuiks. Kui niisugusest
ergastusseisundist kiiresti moodustuvad valentssidemed, nii et
lisandunud tekkinud sidemetest vabaneb rohkem energiat kui kulus
ergastusele, siis on niisugune vahepealse ergastuse kaudu moodustunud
neljavalentne lõppseisund energeetiliselt madalalmal tasemel
kui ergastumata seisundist moodustunud kahevalentne lõppseisund.
Kuna valentssidemete moodustumisel vabanenud energia võib olla
mitmesugune sõltuvalt moodustunus ühenditest, siis ei ole
ka aatomi valents mingi kindel suurus. Küll aga on kindlam
suurus maksimaalne võimalik valents, mis on määratud
antud peakvantarvule n vastavate s ja p-nivoode üldhulgaga,
eeldades, et teatud ergastusseisundites võivad need kõik
olla asustatud paardumata elektroniga. Niisiis oleks teise perioodi
elementide maksimaalne valents 4 (1 s ja 3p orbitaali) ja kolmanda
perioodi elementidel 6 (1 s ja 5 p-orbitaali). Kahjuks tekib ka siin
erandeid juhtudel kus kõrgema n väärusega
s-orbitaalid on energeetiliselt madalamad kui uhe võrra
madalama n-ga d orbitaalid.
Doonor-aktseptorside.
Valents-sideme polariseeritus. Vesinikside. Siiani
oleme eeldanud, et kovalents-sideme moodustavad paardudes elektronid,
millest üks kuulub ühele ja teine teisele aatomile.
Kvantmehaanika lainevõrrandid aga ei tunnusta elektroni
‘kuuluvust’ vaid ainult tema kvantarve
(energiaseisundeid). Seetõttu on peaaegu samaväärselt
tõenäone juht, kus ühe aatomi elektronpaar moodustab
sideme kasutades teise aatomi tühja orbitaali. Tähtis on
ainult, et kuuludes kahele aatomile korraga omaks see paar madalamat
energiat kui kuuludes ainult ühele aatomile. Niimoodi
moodustuvad nn. koordinatsioonilised -sidemed,
mis kasutavad näiteks Fe aatomi vabu d-orbitaale, et fikseerida
seda aatomit erilises valkstruktuuris, nn. tsütokroomis, kus ta
osaleb elektroni ülekandjana. Tsütokroomidel on
bioenergeetikas esmajärguline roll.
Kui
elektronpaar on moodustanud valents-sideme ja kuulub seega kahele
aatomile korraga, siis see ei tähenda sugugi, et elektronid
kuuluvad kummalegi aatomile võrdselt. Aatomitel on omadus
tõmmata kogu paari suuremal või vähemal määral
omaenda orbitaalile, jättes naabri orbitaali vastavalt
tühjemaks. Selle tulemusena omandab eltronpaari tõmbav
aatom negatiivsema kogulaengu kui tema partner ja seda omadust
iseloomustatakse aatomi elektronegatiivsusena. Hapnik on üks
elektronegatiivsemaid elemente (Tabel), seega ühendites tõmbab
ta elektronpaari tugevasti enesele, jättes partneri orbiidi osa
aega tühjaks. Niimoodi kovalentne side polariseerub.
Polariseerumise äärmuslikuks väljenduseks on nn.
ioonside, kus üks aatom on elektroni täielikult teisele üle
andnud. Tüüpilised ioonsidemega seotud ühendid on
leelismetallide soolad, nagu NaCl, kus Na on kaotanud elektroni ja
muutunud positiivseks iooiks, Cl aga liitnud elektroni ja muutunud
negatiivseks iooniks. Kovalents-sideme
polariseerituse ja doonor-aktseptor-sideme kombinatsioon on
bioloogias ülitähtis vesinikside. Vesinikside moodustub
positiivse osalaenguga aatomi vabaksjäänud orbitaali ja
mingi teise aatomi olemasoleva elektronpaari kaudu. Näiteks
vees on positiivse osalaenguga aatomiks vesinik, millelt hapnik on
elektroni osaliselt ära tõmmanud, ja millel seetõttu
1s orbitaal on osa aega elektroniga asustamata. Mingi vee molekuli
hapnikuaatomi 2s või 2p elektronpaar võib moodustada
doonor-aktseptorsideme teise vee molekuli vesiniku osaliselt vaba
orbitaali kasutades ajal mil see on vaba. Niimoodi saavad tekkida
kovalentse iseloomuga sidemed erinevate vee molekulide vahel, mis
neid seovad. Tulemusena on vesi vedelas olekus looduslikel
temperatuuridel samal ajal kui tema analoog H2S on
gaasiline. Vee juurde pöördume tagasi vedelike vaatlemisel.
Teiste vesiniksidemete näidetena bioloogias on valgu
sekundaarstruktuuri kujundavad vesiniksidemed ja DNA kaksikspiraali
kujundavad vesiniksidemed. Nagu
öeldud, on süsinik tüüpiliselt neljavalentne,
sest üks tema 2s elektronidest ergastub 2p nivoole ja tekib neli
paardumata elektroni, kolm 2p nivool ja üks 2s nivool. Nende
orbitaalid peaksid olema erineva kujuga, mistõttu ka koos
süsinikuga tekkinud molekulid ei tohiks olla sümmeetrilised.
Vaadeldes aga tüüpilist süsinikühendit metaani
(CH4) on leitud, et kõik neli H aatomit on täiesti
identse energiaga seotud ja paigutatud sümmeetriliselt
tetraeedri (ruumilise nelitahuka) tippudesse. Seega peavad kõik
neli orbitaali olema täiesti sarnase kujuga. See on fakt, mis
otse ei tulene kvantmehaanilisest teooriast ja millele tuli otsida
seletust, püüdes leida loogilisi võimalusi erinevate
orbitaalide kombineerumiseks. Leitigi võimalus, et uued
sümmeetrilised orbitaalid on kõik sarnased
kombinatsioonid nelja erineva orbitaali lainefunktsioonidest,
erinevused on ainult selles, missugused p-orbitaali funktsioonid
liidetakse ja missugune lahutatakse (s-orbitaal on summas alati
positiivselt). Sisuliselt tähendab see, nagu erinevate
orbitaalide lainetused liituksid ja lahutuksid erinevates
kombinatsioonides, kuid igas kombinatsioonis esinevad kõigi
nelja orbitaali lainefunktsioonid. Niisugune orbitaalide
hübridisatsiooninähtus on üsna sagedane ja isegi vee
molekulis ei ole hapniku 2p orbitaalidega moodustunud s-sidemete
vaheline nurk mitte 90° vaid 104.5°. See näitab, et
hapniku kaks vesinikuga paardunud orbitaali ja kaks hapniku enese
paari (2s ja 2p paarid) hübridiseeruvad kõik võrdseteks
sarnase kujuga orbitaalideks mis suunduvad tsentrist tetraheedri
nurkadesse, sarnaselt nagu metaani molekulis, kuid kahel puudub
partner H-aatom. Selle tulemusena on doonor-aktseptor iseloomuga
vesiniksidet võimelised moodustama kas elektronpaari, nii 2s
kui 2p paarid. Nendest näidetest on näha, kuidas tekkiva
ühendi sümmeetrilisus võimaldab saavutada
ühendmolekuli kõige madalamat energiaseisundit, hoolimata
sellest, et hapniku enese (samuti kui süsiniku)
elektronstruktuur ei ole minimaalse energia seisundis. Teisest
küljest tähendab see ka seda, et individuaalsete aatomite
kvantmehaanilisi orbitaalide kujusid ei saa võtta aluseks
keerukamate ühendite stereo-struktuuri arvutamisel, vaid
määravaks jäävad keerulise molekuli struktuurist
tulenevad energiaseisundid, mis on minimaalsed tavaliselt maksimaalse
sümmeetriaga olekutes. Resonantsi
olemuse selgitamiseks vaatleme lihtsat struktuuri, nitraatiooni
NO3-(joonis). Selles esineb lämmastik
neljavalentsena, olles saatnud ühe oma 2s elektronidest
praktiliselt täielikult hapnikule ja vabastades nii maksimaalse
koguse valents-sidemeid. Kuigi niimoodi tekkinud struktuur peaks
olema ebasümmeetriline, on katsed näidanud, et kõikide
O-aatomite seoseenergiad on võrdsed. See on võimalik
kui kaksik- ja üksiksidemed on pidevas vaheldumises, nii et
kaksiksidet ei saa lugeda kuuluvaks kindlale O-aatomile. Sarnane
näide on ka bensooli molekul, kus niisugune kaksik- ja
üksiksidemete vahelduvus katab pikema ringi, sidudes tervelt
kuus C aatomit. Kvantmehaanilises käsitluses tähendab
resonants-ringi või ka lineaarse resonants-ahela
lainefunktsioon, sarnaselt hübridisatsiooniga,
lineaarkombinatsiooni kõikidest osalevatest
lainefunktsioonidest. Seejuures on resoneeruvad sidemed tunduvalt
tugevamad kui ilma resonantsita. Samuti võib resoneeruva
lainefunktsiooni ruumiline ulatus olla tunduvalt pikem kui ühel
aatomil. Vastavalt pikeneb ka neelatava (kiirtava) elektromagnetilise
kiirguse lainepikkus. Seetõttu on loodus kasutanud
resoneeruvaid struktuure nähtavat valgust neelavate
pigmendimolekulide ehitamiseks. Fotosünteesis kasutatavate
pigmentide, klorofülli ka karotenoidide molekulides on kas
ringstruktuuriga või lineaarsed reonants-ahelad ja need ained
omavad neeldumisribasid nähtava valguse piirkonnas, samal ajal
kui tavalised valgud, aminohapped ja enamik teisi bioloogilisi
molekule neelavad ultravioletses piirkonnas. Üleminekumetallideks
nimetatakse esimese suure perioodi (n=3) metalliliste omadustega
aineid, millel järgmise perioodi (n=4) 4s nivool asub üks
või kaks elektroni, kuid samal ajal on vabu orbitaale veel 3d
nivool (Sc, Ti, V, Cr, Mn, Fe, Co, Ni, Cu). Neist bioloogias omavad
elektroni edastajatena suurt tähtsust Mn, Fe, ja Cu.
Bioloogilistes struktuurides on oluline, et aktiivsed aatomid, mis
tegelikult osalevad metaboolsetes protsessides, oleksid kinnstatud ja
asuksid vajalikul kaugusel ja vajalikus asendis oma metaboolsete
partnerite suhtes, millega neil tuleb suhelda näiteks elektrone
vastu võttes ja edasi andes või mõnel muul moel.
Valkstruktuurid täidavadki seda ülesannet, et kinnistavad
metaboolselt aktiivsed aatomid vajalikesse asukohtadesse. Loomulikult
ei saa valkudega seotus välistada aatomite termilist võnkumist
ümber keskasendi, kuid välistab pöörlemise ja
kindlasti translatoorse liikumise. Aatomite kinnistamiseks saab
kasutada kovalentseid sidemeid, mida peab aga olema piisaval hulgal,
et takistada liikumist kõikides suundades, jättes samal
ajal mõned valentsid vabaks ka metaboolse aktiivsuse tarbeks.
Nendele tingimustele vastavadki kolmanda perioodi üleminekumetallid,
millel on piisavalt täidetud või täitmata
d-orbitaale (kokku viis), et aatomit kinnistada. Seejuures sidemete
sümmeetria kindlustatakse s, p ja d-orbitaalide
hübridisatsiooniga. Tabelis toome mõned andmed
bioloogiliselt oluliste aatomite jaoks. Elektronkonfiguratsioon Mn Fe Cu M 3d54s2 3d64s2 3d104s1
M2+ 3d5 3d6 3d9
M3+ 3d4 3d5 - Ionisatsioonipotentsiaal
(eV)
esimene 7.43 7.87 7.72
teine 15.64 16.18 20.29
kolmas 33.69 30.64 37.08
Iooni raadiused (A)
M 1.17 1.16 1.17
M2+ 0.80 0.77 0.72
M3+ 0.66 0.63 -
Orbitaalide hübridisatsioon ja aatomi geomeetriline struktuur Hübridisatsioon Aatomi
kuju Sidemetevaheline nurk sp Lineaarne 180° sp2 Tasapind,
kolmnurk 120° sp3 Tetraeeder 109°28’ dsp2 Tasapind,
ruut 90° dsp3 Trigonaalne
kaksikpüramiid 90° 120° d2sp3 Oktaeeder 90° Rauaaatomi
kasutamise näiteks bioloogias on heemid, kus Fe aatom
(klorofüllis aga raua asemel Mg) asetseb tasapinnalise
porfüriiniringi keskel, olles kinnitatud
koordinatsioonisidemetega. Heemid moodustavad aktiivosa sellistes
valksüsteemides nagu hemoglobiin, müoglobiin, tsütokroomid
ja mõndes fermentides, nagu katalaas, peroksüdaas. nII
nagu aromaatilistes molekulides (näit. bensool) tavaliselt, on
ka porfüriiniringis pikk resonants-ahel, mille tulemusena
elektronid on ‘delokaliseeritud’ ja nende
lainefunktsioonid haaravad tervet ringi. Ringis osalev N aatom,
sõltuvalt asukohast, on ise ringi seotud kas kahevõi
kolme sidemega ja moodustab sideme rauaga vastavalt kas ühe
paardumata elektroni või oma 2s elektronpaari abil, doneerides
selle raua vabale 3d orbitaalile. Nii fikseeritakse N aatom neljast
nurgast nelja ligandiga. Viiendaks ligandiks ristisuunas on tihti
aminohappe histidiini üks N aatomitest mis doneerib oma
elektronpaari teisele Fe 3d orbitaalile. Niisiis on Fe aatom
fikseeritud jättes selle 4s2 elektronid vabaks
bioloogilistereaktsioonide tarbeks. Tavaliselt on need elektronid
lahkunud ja aatom asub F2+ seisundis. Hemoglobiinis, mille
molekulmass on 65000, on neli subühikut nelja heemiga.
Müoglobiinis on üksainus subühik ühe heemiga.
Hemoglobiinis on kuuendaks ligandiks kas hapnik või vesi,
sõltuvalt kas hemoglobiin on hapnikuga rikastatud või
mitte. Ka siin moodustub side sel teel, et hapnik doneerib oma
elektronpaari Fe orbiidile, jättes O2 molekuli (või
H2O molekuli) terveks. Vee ja O2 kõrval
on seostumisaktiivsed veel CO ja NO, kusjuures CO seostub
müoglobiinile umbes 50 korda ja hemoglobiinile isegi 200 korda
tugevamalt kui O2. Tsütokroomides
on Fe viis ligandi samad kui hemo- ja müoglobiinis, kuid kuna
tsütokroomid ei kanna molekule, vaid ainult elektrone, siis on
ka kuues suund seotud bioloogiliselt passiivse ligandiga, kasutades
selleks tavaliselt aminohappe metioniini S aatomi elektronpaari.
Elektronide vahetus toimub F2+/F3+ seisundite
vaheldumise teel. Valkude
struktuur on suuresti mäaratud peptiidsideme omadustega, mis
seob aminohapped pikaks ahelaks, polüpeptiidiks. Side moodustub
ühe aminohappe karboksüülrühma –COOH ja
teise aminohappe aminorühma –NH2 vahel, vee
eraldumise teel, andes tulemuseks -CO-NH- sideme. Struktuurselt näeb
side välja järgmine: Röntgenstruktuuranaüüs
aga näitas, et C-N side, mille tavaline pikkus on 0.147 nm, on
peptiidsidemes lühem, 0.132 nm. See tähendab, et ühekordse
sideme asemel moodustub tegelikult kahekordne side, vähemalt
osaliselt. Seletus on siin järgmine. Tänu oma
elektronegatiivsusele tõmbab O aatom kogu struktuuri
elektronpilve eneda suunas järjekorras N->C->O. Selle
tulemusena O paardumata elektron saab endale paarilise ja üks
kovalentsetest sidemetest O-C vahel osaliselt katkeb. Selle asemel
aga N jääb ühest elektronist osaliselt ilma ja tema
|