Измерение напряжения Задача 1. С помощью селективного микровольтметра проводились многократные измерения в одинаковых условиях ЭДС, возникающей в антенне микровольтметра. Считая, что случайные погрешности имеют нормальный закон распределения, определить на основании заданного количества измерений: 1) действительное значение (среднее арифметическое ) измеряемой ЭДС; 2) среднеквадратическое отклонение погрешности измерения ; 3) максимальную погрешность, принятую для нормального закона распределения, ; 4) наличие грубых погрешностей (промахов) в результатах измерения; 5) среднеквадратическое отклонение результата измерения (среднего арифметического значения) ; 6) доверительный интервал для результата измерения при доверительной вероятности ; 7) имеется ли систематическая составляющая в погрешности измерения ЭДС, в качестве истинного значения принять расчетное значение ЭДС Ер Исходные данные: № измерения E, мкВ 1 24,3 2 24,9 3 24,66 4 25,74 5 27,82 14 25,64 15 28,5 16 25,5 17 28,0 Доверительная вероятность Рд = 0,95 Расчетное значение ЭДС Ер =24,28 мкВ Решение: 9 наблюдений 1-5 и 14-17 Представим промежуточные расчеты в виде таблицы: № п/п № измерения Ei , мкВ Ei - , мкВ (Ei - )2 , мкВ2 1 1 24,3 -1,81778 3,30432 2 2 24,9 -1,21778 1,48298 3 3 24,66 -1,45778 2,12512 4 4 25,74 -0,37778 0,14272 5 5 27,82 1,70222 2,89756 6 14 25,64 -0,47778 0,22827 7 15 28,5 2,38222 5,67498 8 16 25,5 -0,61778 0,38165 9 17 28,0 1,88222 3,54276 ∑ 235,06 0,00000 19,78036 1) Среднее значение ЭДС: мкВ 2) Среднеквадратическое отклонение погрешности случайной величины E: мкВ 3) Максимальная погрешность, принятая для нормального закона распределения, определяется по правилу 3 сигм: мкВ 4) Грубые погрешности (промахи): Грубыми погрешностями по критерию трех сигм считаем те измерения, которые отличаются от действительного значения на величину, большую Нет измерений, для которых мкВ Следовательно, грубых промахов нет - ни одно измерение не исключается 5) среднеквадратическое отклонение результата измерения ; мкВ 6) доверительный интервал для результата измерения ЭДС при доверительной вероятности = 0,95 находим из условия, что E имеет распределение Стьюдента. По таблице значений коэффициента Стьюдента находим значение: Доверительный интервал рассчитывается по формуле: 7) Систематическая составляющая погрешности измерения ЭДС: мкВ погрешность измерения напряжение частота Задача 2. На выходе исследуемого устройства имеет место периодическое напряжение, форма которого показана на рис. 1. Это напряжение измерялось пиковым вольтметром (ПВ), а также вольтметрами средневыпрямленного (СВ) и среднеквадратического (СК) значений, проградуированных в среднеквадратических значениях синусоидального напряжения. Каждый из вольтметров имеет как открытый, так и закрытый вход. Требуется определить: 1) среднее Ucp , средневыпрямленное Ucp .В и среднеквадратическое Ucp значения выходного напряжения заданной формы; 2) коэффициенты амплитуды КА и формы Кф выходного напряжения; 3) напряжения, которые должны показать каждый их трех указанных вольтметров с открытым (ОТКР) или закрытым (ЗАКР) входом; 4) оценить относительную погрешность измерения всех вычисленных согласно п. 3 напряжений, если используемые измерительные приборы имеют класс точности δпр и предельные значения шкалы U ПР . Исходные данные E, мкВ U ПР , В 15 U М , В 10 СВ ЗАКР СК ОТКР Рисунок ж ПВ ОТКР δпр , % 2,5 рис.1 m = 0 n = 4 мс Решение: 1) Рассчитываем среднее значение напряжения: Определенный интеграл численно равен площади под треугольной функцией на интервале интегрирования: Следовательно, Cредневыпрямленное значение напряжения: Среднеквадратическое значение напряжения: 2) Определяем коэффициенты формы и амплитуды напряжения: 3) рассчитываем градуировочные коэффициенты каждого вольтметра: Пикового напряжения: Средневыпрямленного напряжения: Квадратичного напряжения: При открытом входе вольтметр будет измерять весь сигнал: При закрытом входе вольтметр будет измерять сигнал с вычетом постоянной составляющей, равной среднему значению: = 10 В Вольтметр пикового напряжения. Вход открытый В Вольтметр средневыпрямленного напряжения. Вход закрытый В Вольтметр квадратичного напряжения. Вход открытый В 4) Оцениваем относительную погрешность измерения Вольтметр пикового напряжения: % Вольтметр средневыпрямленного напряжения: % Вольтметр квадратичного напряжения: % Задача 3. В лаборатории имеется цифровой частотомер со следующими параметрами: частота опорного кварцевого генератора 1 МГц + δ0 , значение коэффициента деления частоты, определяющее время счета импульсов, можно изменять в пределах от 103 до 107 ступенями, кратными 10. Требуется: 1. Построить в логарифмическом масштабе по f график зависимости абсолютной погрешности измерения частоты fx в диапазоне от f мин до f макс при заданном коэффициенте деления пд . 2. Выбрать допустимое значение коэффициента деления частоты и определить соответствующее ему время счета для измерения частоты f 1 , с суммарной погрешностью, не превышающей значения δf доп . Исходные данные f мин , Гц 5 δf доп , % 3,5*10-1 f1 , мГц 0,5 f макс , мГц 25 пд 107 δ0 4*10-6 Решение: 1. Относительная погрешность измерения определяется по формуле: Время счета импульсов определяется по формуле: , где f 0 – частота опорного кварцевого генератора (1 МГц) с Отсюда относительная погрешность измерения: Абсолютная погрешность измерения определяется по формуле: Сводим промежуточные расчеты в таблицу: Частота fx Относительная погрешность δf Абсолютная погрешность ∆f , Гц 5 Гц 2,00040000 0,1000200 10 Гц 1,00040000 0,1000400 100 Гц (102 ) 0,10040000 0,1004000 1 кГц (103 ) 0,01040000 0,1040000 10 кГц (104 ) 0,00140000 0,1400000 100 кГц (105 ) 0,00050000 0,5000000 1 МГц (106 ) 0,00041000 4,1000000 10 МГц (107 ) 0,00040100 40,1000000 25 Мгц (2,5∙107 ) 0,00040040 100,1000000 По результатам расчетов строим график в логарифмическом масштабе: Рисунок 1. График зависимости абсолютной погрешности от частоты 2. Определяем допустимое значение коэффициента деления частоты Находим из этого условия границу коэффициента деления частоты: Следовательно, необходимый коэффициент деления частоты должен быть равен: Время счета: с Задача 4. При проектировании оборудования осуществлялись прямые измерения индуктивности катушек L, емкости конденсаторов С, сопротивления резисторов г и R, предназначенных для изготовления параллельных колебательных контуров (рис. 4.1а). В зависимости от варианта требуется определить один из следующих параметров колебательного контура: резонансную частоту f0 , добротность Q, сопротивление Zoe , полосу пропускания контура по уровню 0,707 (-3 дБ) 2∆f0,7 , а также оценить возможные погрешности этих параметров, обусловленные случайными погрешностями измерения элементов контура. Рисунок а Найти Zoe L, мкГн 44 C, пФ 54 r, Ом 32 R, Ом - ±δL 3.2 ±δC 0.4 ±δr 1.4 ±δR 2.5 Решение: 1. Требуется определить сопротивление Zoe : Резонансная частота Сопротивление Погрешность Задача 5. С помощью осциллографа методом калиброванной шкалы измеряется максимальное значение напряжения в виде последовательности однополярных прямоугольных импульсов. Размах осциллограммы импульса равен h при коэффициенте отклонения, равном K ОТК . Определить максимальное значение напряжения, относительную и абсолютную погрешности измерения, если погрешность калибровки шкалы и измерения размаха осциллограммы равны соответственно ±δК (%) и ±∆h (мм). Погрешностью преобразования, обусловленной нелинейностью амплитудной характеристики осциллографа, пренебречь. Можно ли использовать осциллограф с верхней граничной частотой полосы пропускания f в для исследования данного напряжения, если длительность импульса равна τн , а время нарастания фронта импульса равно τф = a τн ? h, мм 54 δК , % 4 τн , мкс 20 f в , МГц 1.5 ∆h, мм 0.5 K ОТК , В/см 1 a 0.01 Решение: 1. Амплитуду сигнала определяем из соотношения: k о - коэффициент отклонения, В/дел., L А - размер амплитуды, в делениях, В/см Относительная погрешность измерения амплитуды dk о - относительная погрешность коэффициента отклонения, dВА - относительная визуальная погрешность. см 2. Для того, чтобы осциллограф можно было использовать для исследования, полоса пропускания должна удовлетворять соотношению: