Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 26
Знакозмінні та знакопостійні ряди.
Абсолютна та умовна збіжність.
План. 1. Означення закономірного ряду. 2. Теорема Коші. 3. Абсолютна та умовна збіжність. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19. Теорема
. Якщо в ряді з додатними членами загальний член, починаючи з певного значення п
, задовольняє нерівність де q
– стале число, менше за одиницю, то ряд збігається. Коли ж навпаки, починаючи з певного значення п
, маємо то ряд розбігається. Доведення
. У першому випадку маємо, починаючи з певного значення п
, Отже, збіжність ряду й тут безпосередньо встановлюється порівнянням із спадною геометричною прогресією, знаменник якої q
.
Варто зауважити, що нерівність характеризує при цьому “швидкість” збіжностей даного ряду порівняно з геометричною прогресією. В другому випадку матимемо з певного моменту , отже, ряд напевне, розбігається, бо навіть основна необхідна умова збіжності не виконується. Наслідок
. Якщо існує , то при r
< 1 ряд напевне збігається. Випадок r
= 1 і тут взагалі є сумнівний. Доведення
. Взявши u
тут якесь число q
, проміжне між r
та 1 (
), ми з певного моменту матимемо – в першому випадку: Отже, ряж збігається; а в другому: отже, ряд розбігається. Часто питання про збіжність ряду, що має члени як додатні, так і від’ємні, можна звести до питання про збіжність знакододатного ряду. Розглянемо таку теорему. Теорема
. Ряди напевне збігається, якщо збігається ряд Доведення
. Для кожного можна знайти таке , при якому для і при буде:
Але тоді й поготів Але це й доводить теорему. Означення.
Збіжний ряд називається абсолютно збіжним. Якщо збігається також і ряд Розглянемо, наприклад, ряд (1) Він ні знакододатний, ні знакозмінний. Ряд (2) є знакододатний. Порівнюючи його з рядом (3) маємо Ряд (3) збіжний, як ряд Діріхле-Рімана при , отже, збіжним є ряд (2). Тоді за доведеною теоремою і за означенням ряд (1) є абсолютно збіжним. Оскільки ряд, члени якого – абсолютні значення членів будь-якого ряду є знако-додатний, то, очевидно, щоб дослідити, чи будь-який ряд є абсолютно збіжним, ми можемо використовувати ознаки збіжності, виведені для знакододатних рядів, замінивши у відповідних виразах члени даного ряду їх абсолютними значеннями. Так, ознака Даламбера збіжності ряду запишеться тоді у вигляді ознака Коші – у вигляді: і т.п. Означення
. Якщо ряд (*) збіжний, а ряд розбіжний, то даний ряд (*) називається умовно збіжним. Отже, ряд умовно збіжний, Так само ряд умовно збіжний, бо ряд є ряд Діріхле-Рімана, в якому Знакочергуючі ряди. Ознака Лейбніца.
План. 1. Означення знакочергуючого ряду. 2. Ознака Лейбніца. 3. Оцінка залишку знакочергуючого ряду, збіжного за ознакою Лейбніца. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди”. Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д.Подільчук. КДТЕУ. К, 1992 р. ст. 16-19. Означення
. Знакозмінними рядами називаються ряди виду: де - додатні числа. Теорема Лейбніца
. Якщо в знакозмінному ряді абсолютне значення загального члена монотонно прямує до нуля (тобто до того ж ), тоді знакозмінний ряд збігається, причому сума його має числове значення, проміжне між нулем та першим членом Доведення
. Розглянемо спочатку частинну суму парного порядку , причому запишемо її в двох різних виглядах: 1 . Помічаємо, що чим більше К, тим більше пар, але кожна пара додатна, отже, монотонно зростає при збільшенні К. 2 З другого боку Бачимо, що < , для всіх значень k > 1. Отже, обмежена зверху. Зіставляючи обидва факти, приходимо до висновку, що величина монотонна і разом з тим обмежена змінна, том вона, прямує до певної скінченої границі , при чому ця границя, очевидно, більша за а
1
– а
2
і не перевищує а1
: а
1
– а
2
< < а
1
. Отже, напевне 0 < < а
1
. Розглядаючи вже тепер частинну суму непарного порядку +1
, маємо: = + а
2к+1
. Отже, Остаточно приходимо до висновку, що існує єдина границя: (0 < S < a
1
), коли індекс n – будь-яке натуральне число як парне, так і непарне, що доводить теорему. Наслідок
. За умовою теореми Лейбніца остаточна S – Sn
= rn
менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів: , і має знак цього члена. Доведення
. Маємо: , Ряд в останніх дужках сам по собі є знакозмінний і задовольняє теорему Лейбніца, тому , причому Отже, якщо перший з відкинутих членів непарний, то представляє S з недостачею. Похибка має знак плюс. Якщо ж перший відкинутий член – парний, то , представляє S з надлишком. Похибка має знак мінус. В обох випадках, як бачимо, похибка має знак першого відкинутого члена і менша за абсолютним значенням, ніж абсолютне значення першого з відкинутих членів. Диференціювання та інтегрування
степеневих рядів.
План. 1. Знаходження сум степеневих рядів використовуючи почленне диференціювання та інтегрування. Л-ра: Методичні вказівки до вивчення теми “Ряди.” Укладачі: В.О.Борисенко, В.В.Левчук, В.С.Мартиненко, В.Д. Подільчук. КДТЕУ.К., 1992 р. ст. 22-23. Диференціювання степеневих рядів. Теорема
. Якщо степеневий ряд (1) має інтеграл збіжності (-р, р), то ряд , (2) утворений по членним диференціюванням ряду (1), має той самий інтервал збіжності (-р, р) і його сумою в цьому інтервалі є функція . Доведення
. Покажемо раніш, що коли ряд (1) збігається при певному значенні , то на кожному сегменті , де , ряд (2) збігається абсолютно й рівномірно. Для цього, досить виявити збіжність ряду (3) що відіграватиме роль мажоруючого ряду. Позначаючи , де , і беручи до уваги, що , маємо , де . Застосуємо до ряду (4) ознаку Даламбера: . Отже, ряд (4) збіжний, а тому збіжним є ряд (3). Звідси, випливає, що ряд (2) збігається абсолютно при кожному значені х інтервалу (-р, р), тобто інтервалу збіжності ряду (1). Якщо позначити, радіус збіжності ряду (2) через р’, то ми довели, що рр’. Доведемо тепер, що р’ не може бути ц більшим за р. Справді, в усякій точці х, в якій абсолютно збігається ряд (2), збігається також і ряд , а оскільки , то даний степеневий ряд (1) збігається абсолютно в точці х. Отже, З нерівностей і випливає що . Беручи до уваги теорему про диференціювання функціональних рядів, приходимо до висновку, що сума ряду (1) в усіх точках в середині спільного інтервалу збіжності рядів (1) і (2), тобто . Теорему доведено. Оскільки ми можемо застосувати доведену теорему і до про диференційованого ряду, а далі знову її застосувати і т.д., то можна зробити висновок про те, що сума степеневого ряду f(x) в інтервалі збіжності має похідні будь-якого порядку. Похідна f(
k)
(x) дорівнює сумі ряду, утвореного k-кратним поленим диференціюванням даного степеневого ряду. Інтегрування степеневих рядів. Теорема.
Степеневий ряд (5) з радіусом збіжності р можна почленно інтегрувати на будь-якому сегменті [-k, k], що міститься в інтервалі збіжності (-р, р) ряду (5), зокрема в інтервалі (-р, р): (6) і радіус збіжності ряду (6) дорівнює р. Доведення
|