Модальні групи на тему: Модальні групи (структурні властивості) Різноманітні дослідження багатьох математиків [3-4] присвячені вивченню зв’язків між будовою групи G і будовою решітки її підгруп LG. Встановлено, що будова цієї решітки суттєво впливає на будову самої групи G. Привертають особливу увагу групи G для яких решітка підгруп LG належить фіксованому многовиду решіток a. Клас всіх таких груп позначимо t(a). Зрозуміло, що клас t(a) замкнений відносно підгруп і гомоморфних образів. В подальшому клас груп t(a) називається групоїдом. Так як перетин довільного сімейства групоїдів є групоїдом, то сукупність Г всіх групоїдів відносно включення утворює повну решітку. Відображення y: a ® t(a) є гомоморфізмом решітки всіх многовидів решіток L на решітку групоїдів Г. Як доведено в [1], гомоморфізм y не є ізоморфізмом. Фундаментальні результати для класа модулярних груп t(М), класа дистрибутивних груп t(D) та ін. викладено в монографії [5]. Многовид модальних решіток Un введений Йонсоном [6]. Згідно з означенням, група G Î t(Un ) тоді і тільки тоді, коли решітка її підгруп задовольняє включення: T(Ai + Aj ) Ì , де і, j = 1,…, n; причому і ¹ j. Якщо l < m, то очевидно t(Ul ) Ì t(Um ). Зрозуміло також, що t(U2 ) = t(D). Опис класів t(U3 ) і t(U4 ) дано в роботах [1–2]. В даній роботі дається характеристика абелевих груп і неабелевих спеціальних груп групоїда t(U5 ). 1 . Опис групоїда t ( U 3 ). Група G є модальною тоді і тільки тоді, коли вона має таку будову: G – локально циклічна група; G Î {Q, B}, де Q – група кватерніонів, а В – нециклічна група 4-ого порядку; G = A ´ B*, де А Î {Q, B} і В* – локально циклічна група, кожний елемент якої має непарний порядок. Із цього результату, зокрема, випливає включення t(U3 ) Ì t(M), тоді як многовиди решіток U3 і М неможливо порівняти. Кожна 3-модальна група задовольняє тотожність [x, y2 ] = 1. 2. Опис групоїда t ( U 4 ). Істотним в описі 4-модальних груп є наступний крітерій, який має місце для довільного параметра n. Група G – модальна тоді і тільки тоді, коли для довільного елемента t Î і t Ï , порядки k1 ,…, kn елемента t, відносно підгруп Аі ,…, An , взаємно прості в сукупності, причому хоча б два з них відмінні від нуля. Абелева група G є модальною (4-модальною) тоді і тільки тоді, коли вона належить до одного з наступних типів: G – локально циклічна група; G Î {В, С}, де В – нециклічна група 4-ого порядку або прямий добуток циклічної групи 4-го порядку на групу 2-го порядку, а С – нециклічна група 9-го порядку; G = В ´ С ´ K, де K – локально циклічна періодична група, причому (B, K) = (C, K) = 1. Всяка 4-модальна група G задовольняє тотожність [x2 , y2 ] = 1. Опис 4-модальних неабелевих груп, які задовольняють тотожність [x, y2 ] = 1, дається наступним твердженням. Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні: G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2 ] = 1; G = Q ´ C ´ K, де K – локально циклічнагрупа, (Q, K) = (C, K) = 1 і C або K можуть бути і одиничними групами. Групу S3 (m) виду: <k, b | k3 = 1, kb = bk –1 , >, будемо називати узагальненою симетричною групою. Маємо наступний опис неабелевих модальних груп, параметру n = 4. Групи із класу t(U4 ) мають наступну будову: G = Q ´ C ´ B, де B – локально циклічна періодична група, (C, B) = (Q, B) = 1 і C або B можуть бути і одиничними групами; G = A ´ S, де А – абелева періодична модальна група, а S – узагальнена симетрична група, причому (A, S) = 1. 3. Будова деяких груп із класу t ( U 5 ). Довільна група G, із вказаного класу, задовольняє тотожність [x6 , y6 ] = 1. Крім того, для довільних елементів x, y Î G Î t(U5 ) має місце рівність х×у6 ×х –1 = у6 l , де число l залежить від елементів х і у. Для абелевих модальних груп справедлива наступна теорема. Теорема 1 . Абелева група G є модальною тоді і тільки тоді, коли G – локально циклічна група; G Î {C, D}, де С – нециклічна група 9-го порядку, D Î {B2 ´ B2 , B4 ´ B2 , B8 ´ B2 , B4 ´ B4 , E(2, 8)} і Bl – циклічна група l -го порядку; G = C ´ D ´ T, де Т – локально циклічна періодична група, причому (С, Т) = (D, T) = 1. Якщо в періодичній модальній групі G = <a, b> елемент c = [a, b] ¹ 1 міститься в центрі групи G, то G містить: або групу кватерніонів Q, або групу діедра D8 , або групу Т3 , де Т3 має вигляд: <u, v | u8 = 1, v2 = 1, uv = vu5 >. Опис спеціальних модальних груп дається наступною теоремою. Теорема 2 . Для неабелевої періодичної групи G наступні умови рівносильні: G – модальна і задовольняє тотожність [x, y2 ] = 1; G = A ´ B, де А – абелева, модальна і періодична, а В Î {Q, Q*, D8 , T3 }, причому (А, В) = 1. Тут Q* = Q ´ {1, u}, де u2 = 1; Е(2, 8) – елементарна абелева група 8-го порядку. Література 1. Мельник И.И. Строение модальных групп. // Деп. ВИНИТИ.–1981.–№ 3270–С.1–17. 2. Мельник И.И. Некомутативные модальные групы. // Деп. УкрНИИНТИ.–1983.–№ 9679 К–С.1–17. 3. Черников С.Н. Групы с заданными свойствами системы подгруп. М:Наука.–1980.–384с. 4. Аршинов М.Н., Садовский Л.Е. Некоторые теоретико-структурные свойства групп и полугрупп. // УМН.–1972.–Вып.6, 168, ХХІІ.–С.134–180. 5. Судзуки М. Строение группы и строение структуры ее подгрупп. М:Изд.ин.лит.–1960.–158с. 6. Jonsson B. Equational classes of lattices. Math. Scand.–1968.–22.–P.187–196. 7. Ore O. Structures and group theory.1. Duke Math. J.–1937.–3.–P.149–173. 8. Jwasawa K.