Формула Н ютона Лейбінца Міністерство освіти України Коломийське В П У-17 На тему: Формула Ньютона – Лейбніца. Учня групи № 15 Лінькова А.М. Коломия 2002р. Безпосередньо за означенням інтеграли легко обчислювати лише для най- простіших функцій, таких, як y = k x , y = x ² Для інших функцій, наприклад тригонометричних, оьчислення границь сум ускладнюється. Виникає запитання: чи не можна обчислювати інтеграли іншим способом? Такий спосіб був знайдений лише у ХVII ст. англійським вченим Ісааком Ньютоном (1643 – 1727) і німецьким математиком Готфрідом Лейбніцом (1646 – 1716). Строге доведення формули Ньютон – Лейбніца дають у курсі матема-тичного аналізу. Ми лише проілюструємо правильность формули геометрич-ним міркуванням. . Нагадаємо задачу про площу криволінійної трапеції. Було встановленно, що S f x dx a b = ò , ( ) що Виберемо довільну точку x є [ a; b] і проведемо через неї пенпендикуляр хК до осі Ох . Площа фігури а А К х змінюється зі змінною х . Позначемо цю функцію че- рез S ( x ) і покажемо, що існує її похідна причина, при- чому S΄ ( x )=ƒ( x ) , де y =ƒ( x ) – підінтегральна функція, графік якої обмежує криволінійну трапецію. Інакше кажечи, покажемо, що S ( x ) є первісною для ƒ( x ) . Надамо змінній x приросту Δ x , вважаючи ( для спрощення міркування), що Δ x > 0 . Тоді й фенкція S ( x ) набуде приросту Δ S ( x ) . У курсі математичного аналізу доводиться, що неперервна на відрізку [ a ; b ] функція y =ƒ( x ) досягає на цьому найбільшого і найменшого значень. Оскільки підінтегральна функція y =ƒ( x ) є неперервною на відрізку [ x , x + Δ x ] , то вона досягає на цьому відрізку найменшого і найбільшого значень. Отже, m Δ x < Δ S ( x ) < M Δ x Поділивши всі частини цієї нерівності на, одержимо За непервністю функції y =ƒ( x ) lim m =lim M = ƒ(x) D ® D D = D ® D D = ¢ ¢ = lim 0 ( ) ( ). lim 0 ( ) ( ), ( ) ( ), тоді x S x S f x x S x x S x то S x f x тобто Δ x→0 Δ x→0 Але Оскільки функція є однією з первісних функції y=ƒ(x ) . Позначимо через F ( x ) будь-яку первісну для функції y =ƒ( x ) . За основною властивістю первісної будь-які первісні для однієї і тієї самої функції можуть відрізнятися лише сталим додатком C . Тому S ( x ) = F ( x )+ C . (1) При x = a криволінійна трапеція вироджується у відрізок a A , тому S ( x ) = 0 . Підставивши у рівність (1) замість х число а , а замість S ( x ) число 0 , одер-жимо C = - F ( a ) . Після підстановки замість C у рівність (1) його значення маємо S ( x ) = F ( x )- F ( a ). (2) Коли x = b , то площа криволінійної трапеції дорівнює числу S = S ( b ) . Крім того, за цією умови рівність (2) матиме вигляд S ( b ) = F ( b )- F ( a ). Раніше було встановлено, що площа криволінійної трапеції дорівнює b значенню ∫ ƒ(x) dx. Тому можна зробити висновок, що a b ∫ ƒ(x) dx = F ( b )- F ( a ). (3) a ) x a b ( Це і є формула Ньютона-Лейбніца, яка показує, що значення інтегралу на відрізку [ a ; b ] дорівнює різниці значень первісної підінтегральної функції при x = b i x = a . F Різницю F(b)-F(a) позначають. Тому рівність (3) можна записати так: = ( ) ( ) f x dx F x b b ò a a