Аналітична геометрія на площині на тему: Аналітична геометрія на площині Пряма лінія на площині найчастіше задається у вигляді рівняння y = k × x + b (2.3) де k=tg a ‑ нахил цієї прямої до осі O X (рис 2.3,а). Часткові випадки розташування прямої (y=kx , x=a , y=b ) показані, відповідно, на рис.2.3б-г. y y y y b b x 1350 x x x a а б в г Рис.2.3 Загальне рівняння прямої на площині має вигляд Ax + By + C = 0 (2.2) Якщо B ¹0 , то рівняння (2.2) можна перетворити у (2.1). Приклади . Побудувати графіки прямих y =1-x та 2x -y +2=0. У першому прикладі k=tg a = -1, отже a=1350 (рис. 2.4,а). В другому прикладі маємо y =2x +2 , отже, k=tg a = 2 (рис. 2.4,б). y y 2x -y +2=0 y =1-x 2 1 a=1350 1 x -1 x а б Рис. 2.4 Наведемо ще деякі з рівнянь, які задають пряму на площині. Пряма, яка проходить через дві задані точки (x 1 ;y 1 ) та (x 2 ;y 2 ): , (2.3) або, що те саме, . (2.3¢) Пряма, яка проходить через задану точку (x 1 ;y 1 ) паралельно до заданої прямої y=ax+b : y-y 1 =a (x-x 1 ) (2.4) Пряма, яка проходить через задану точку (x1 ;y1 ) перпендикулярно до заданої прямої y=ax+b : (2.5) Рівняння прямої у відрізках (2.6) Переходи від одного вигляду рівняння прямої до іншого виконують за допомогою нескладних перетворень. Приклад . Загальне рівняння прямої має вигляд 2x-y +2=0. Перейдемо до рівняння прямої у відрізках: -2x+y =2, . Перейдемо до рівняння з кутовим коефіцієнтом: y =2x +2. Візьмемо на нашій прямій дві точки, наприклад, (x 1 ;y 1 )=(-1;0) та (x 2 ;y 2 )=(0;2),і побудуємо рівняння прямої, яка проходить через ці дві точки: . Наведемо ще декілька формул щодо прямих на площині. Кут між прямими y =a 1 x +b 1 та y =a2 x +b 2 обчислюється за формулою Прямі y =a 1 x +b 1 та y =a 2 x +b 2 отже, є паралельними, якщо a 1 =a 2 , та перпендикулярними, якщо a 1 ×a 2 = -1. Точка перетину прямих є розв’язком системи рівнянь . Відстань від точки M (x 1 ;y 1 ) до прямої Ax+By+C =0 визначають за формулою . Приклад . Попит Q (кількість товару, що буде куплено) на товар залежно від його ціни p на ринку задається формулою p=p (Q )=500-10Q . Пропозицію Q (кількість товару, що потрапить на ринок) залежно від ціни задає формула p =p (Q )=50+5Q . Зобразити графічно криві попиту та пропозиції і визначити ціну рівноваги. Маємо такий графік (рис.2.5). p 500 Пропозиція p * Попит 50 Q * Q Рис. 2.5. Ціну рівноваги p * (а також рівноважний випуск Q * ) визначаємо як точку перетину прямих попиту та пропозиції, тобто розв’язуємо систему лінійних рівнянь . Помноживши друге рівняння на 2 і додавши до першого, отримаємо p * =200 та Q * =30 . Приклад . Нехай ринкова ціна за одиницю деякого виробу становить p =10. Витрати, пов’язані з випуском кожної одиниці цього виробу в деякій фірмі, V c =5 (змінні витрати). Постійні витрати фірми становлять F c =40. Визначити обсяг виробництва Q , за якого фірма матиме прибуток. Загальні витрати фірми на виготовлення Q одиниць продукції описуються залежністю T c = F c + Q × V c = 40+5Q . Доход фірми від виготовлення і реалізації Q одиниць продукції становить T R = p ×Q =10Q . Визначимо такий випуск Q * , за якого доход фірми збігається з її витратами: T R = T C , 10Q = 40+5Q , Q * = 8 . Отже, прибуток (різниця між доходом і витратами) в цій моделі починається при Q * >8 і далі необмежено зростає (рис. 2.6). T c ,T R T R (доход)=10Q T c (витрати)=40+5Q 40 Q * =8 Q Рис. 2.6. Розглянемо також основні криві другого порядку та їхні рівняння. Це такі криві, рівняння яких містять змінні x 2 і/або y 2 . Рівняння кола з центром у точці (a ;b ) та радіусом r має вигляд (x-a )2 +(y-b )2 =r 2 . У частковому випадку (коло одиничного радіуса з центром у початку координат) це рівняння спрощується: x 2 +y 2 =r 2 . Рівняння еліпса (геометричного місця точок, сума відстаней до яких від двох заданих точок є сталою) записується так (рис. 2.7): A (x;y ) c F 1 F 2 Рис. 2.7. Точки F 1 (-c ;0) та F 2 (c ;0) називаються при цьому фокусами . Виконуються такі властивості: - для довільної точки A на еліпсі ; - c 2 =a 2 -b 2 . Рівняння гіперболи (геометричного місця точок (x;y ), для яких різниця відстаней до фокусів F 1 та F 2 є сталою) має вигляд (рис. 2.8): Для гіперболи виконуються такі властивості: - для довільної точки A на гіперболі ; - c 2 =a 2 +b 2 . y A (x ;y ) x F 1 (-c ;0) F 2 (c ;0) Рис. 2.8. Рівняння параболи (геометричного місця точок, однаково віддалених від заданої точки і заданої прямої ) є таким (рис. 2.9): y = 2px B A (x ;y ) p /2 p /2 F Рис. 2.9. Тут для довільної точки A (x ;y ) параболи y = 2px виконується рівність , де ‑ відстань від точки A до прямої .