Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 25
|
: к
/
=. 8. Рівняння прямої, що проходить через дану точку (х1
,у1
)
: у-у1
=к(х-х1
)
9. Рівняння прямої, що проходить через дві точки (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
: 10. Рівняння прямої, що відтинає відрізки а
і в
на осях координат: 11. Загальне рівняння прямої: Ах+Ву+С=0, (А2
+В2
¹
0).
12. Відстань від точки (х1
,у1
)
до прямої Ах+Ву+С=0:
d
=
13. Рівняння кола з центром (х0
,у0
)
і радіусом R
: (х-х0
)2
+(у-у0
)2
=
R2
14. Канонічне рівняння еліпса з півосями а
і в
: (1) Фокуси еліпса F(c;0)
i F/
(-c;0)
, де с2
=а2
-в2
15. Фокальні радіуси точки (х,у)
еліпса (1): r=a-Ex; r/
=a+Ex,
де Е=
- ексцентриситет еліпса. 16. Канонічне рівняння гіперболи з півосями а
і в
: (2) 2 нерівностями a
£
x
£
b, y1
(x)
£
y
£
y2
(x), z1
(x, y)
£
z
£
z2
(x, y)
де yi
(x)
, zі
(x, y), (і=1, 2)
– неперервні функції, то потрійний інтеграл в прямокутних координатах від неперервної функції f(x, y z)
можна обчислити за формулою: . Для заміток.
І. Аналітична геометрія на площині.
1. Паралельне перенесення системи координат: х
'
=х-а, у
'
=у-в,
де О
'
(а;в)
- новий початок, (х;у)
- старі координати точки, [
х
'
;у
'
]
- її нові координати. 2. Поворот системи координат (при нерухомому початку): х=
х
'
cos
a
-
у
'
sin
a
; y=
x
'
sin
a
+
y
'
cоs
a
,
де (х,у)
- старі координати точки, [х'
,у'
]
- її нові координати, a
- кут повороту. 3. Відстань між точками (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
: d=
4. Координати точки, що ділить відрізок з кінцями (х1
,у1
)
і (х2
,у2
)
в даному відношенні l: x=
y=
. При l=1, маємо координати середини відрізка: х
=у
=. 5. Площа трикутника з вершинами (х1
,у1
), (х2
,у2
)
і (х3
,у3
)
: S
=. 6. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом: у=кх+в,
де к=
tg
j
(кутовий коефіцієнт) - нахил прямої до осі Ох
, в - довжина відрізка, що відтинає пряма на осі Оу
. 7. tg
q
=
- тангенс кута між прямими з кутовими коефіцієнтами к
і к/
.
Умова паралельності прямих: к/
=к
. 1 24. Параметричні рівняння еліпса з півосями а
і в
: x=a cos t, y=b sin t.
25. Параметричні рівняння циклоїди: x=a(t-sin t), y=a(1-cos t)
. II.
Диференціальне числення функцій
однієї змінної.
1. Основні теореми про границі: а) б) Зокрема, в) 2. Чудові границі: а) б) 3. Зв'язок між десятковими та натуральними логарифмами: lg x=
М ln x,
де М=
lg e=0,43429…
4. Приріст функції у=
f(x),
що відповідає приросту
аргументу х
: 5. Умова неперервності функції у=
f(x)
: Основна властивість неперервної функції: 6. Похідна Геометрично y /
=
f /
(x)
- кутовий коефіцієнт дотичної до 4 XI. Подвійні та потрійні інтеграли.
1. Подвійним інтегралом від функції f(x, y)
, розповсюдженим на область S
, називається число: , (1) де (хі
, уі
) є
D
Si
(
і=1, 2,…
n)
і d
– найбільший діаметр комірок D
Si
. Якщо f(x, y)
³
0
, то геометрично інтеграл (1) являє собою об’єм прямого циліндроїда, побудованого на основі S
і обмеженого зверху поверхнею z=f(x, y)
. 2. Якщо область інтегрування S
стандартна відносно осі Оу
і визначається нерівностями a
£
x
£
b
, y1
(x)
£
y
£
y2
(x)
, де y1
(x),y2
(x)
– неперервні функції, то подвійний інтеграл в прямокутних декартових координатах від неперервної фуункції f(x, y)
виражається формулою: . 3. Подвійний інтеграл в полярних координатах j
і r
, де x=r cos
j
, y=rsin
j
має вигляд: Якщо область інтегрування S
визначається нерівностями:a
£
j
£
b
, r1
(
j
)
£
r
£
r2
(
j
),
то 4. Якщо r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластини S
, то її маса є (2) 25 (фізичний зміст подвійного інтегралу). Зокрема, при r
=1
отримуємо формулу площі пластинки 5. Статистичні моменти пластинки S
відносно координатних осей Ох,Оу
виражаються інтегралами: , де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки S.
6. Координати центра мас пластинки S
визначаються за формулами: , , (3) де m
– маса пластинки. Для однорідної пластинки в формулах (2), (3) приймаємо r
=1
. 7. Моменти інерції пластинки S
відносно координатних осей Ох
і Оу
виражається інтегралами: , , де r
=
r
(х, у)
– поверхнева густина пластинки. 8. Потрійним інтегралом від функції f(x, y z),
розповсюдженим на область V
, називається число: , (4) де (
xi
, yi
, zi
) є
D
Vi
(i=1, 2, 3,…n)
, d
– найбільший діаметр комірок D
Vi
. Якщо f(x, y z)
є густиною в точці (x, y z),
то потрійний інтеграл (4) являє собою масу, що заповнює об¢єм V
. 9. Об¢єм тіла V
дорівнює: . 10. Якщо область інтегрування V
визначається 26 Фокуси гіперболи F(c;0)
і F/
(-c;0)
, де с2
=а2
+в2
17. Фокальні радіуси точки (х,у)
гіперболи (2): r=
±
(Ex-a), r/
=
±
(Ex+a),
де Е=
- ексцентриситет гіперболи. 18. Асимптоти гіперболи (2): у=
. 19. Графік оберненої пропорційності ху=с (с
¹
0)
- рівностороння гіпербола з асимптотами х=0, у=0.
20. Канонічне рівняння параболи з параметром р
: у2
=2рх
Фокус параболи: F(p/2, 0)
:рівняння директриси: х=-(р/2)
; фокальний радіус точки (х,у)
параболи: r=x+(p/2)
. 21. Графік квадратного тричлена у=Ах2
+Вх+С
- вертикальна парабола з вершиною
22. Полярні координати точки з прямокутними координатами х
і у
: r
tg
j
=
Прямокутні координати точки з полярними координатами r
і j
. x=
r
cos
j
, y=
r
sin
j
.
23. Параметричні рівняння кола радіуса R
з центром в початку координат: x=R cos t, y=R sin t.
(t
- параметр) 3 f
¢
/
(x0
)=0
або f
¢
/
(x0
)
не існує. б) Достатні умови екструмуму функції f(x)
в точці x0
: 1) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢
/
(x0
-h1
)f
¢
/
(x0
+h2
)<0
при довільних досить малихh1
>0
і h2
>0
, або 2) f
¢
/
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
)
¹
0
12. - Графік функції y=f(x)
вгнутий (або випуклий вниз) якщо f
¢¢
/
(x)>0
i випуклий (випуклий вверх), якщо f
¢¢
/
(x)<0.
- Необхідна умова точки перегинy графіка функції y=f(x)
при x=x0
: f
¢¢
/
(x0
)=0
або f
¢¢
/
(x0
)
не існує. - Достатня умова точки перегину при х=х0
: f
¢¢
(x0
)=0, f
¢¢
/
(x0
-h1
)f
''
(x0
+h2
)<0
при будь-яких досить малих h1
>0, h2
>0.
13. Якщо функція f(x)
неперервна на відрізку [
a
,
b
]
і f(
a
)f(
b
)<0,
то корінь x
рівняння f(x)=0
наближено можна обчислити за формулами: а) (метод хорд) б) , де f
¢
(
a
)
¹
0; f(
a
)-f
¢
(
a
)>0
(метод дотичних). 14. Диференціал незалежної змінної х
: dx=
∆
x
. Диференціал функції у=
f(x):dy=y
¢
dx
. Зв’язок приросту ∆
y
функції з диференціалом dy
функції: ∆
y=dy+
a
∆
x
, де a
→0
при ∆
х→0
. Таблиця диференціалів функцій
. 1) dun
=nun-1
du
; 7) d(ctg u)=-
2) dau
=au
ln a du (a>0); deu
=eu
du
; 8) d(arcsin u)
= 3)d(loga
u)=
; 9) d(arccos u)=
- 6 9. Таблиця 2
. Характер частинного розв¢язку z-неоднорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=f(x)
(p
i q
- сталі) в залежності від правої частини f(x).
1 f
(x)=aemx
(a,m
- сталі) 1) m2
+pm+q
¹
0
, 2) m2
+pm+q=0
: a) p2
-4q>0
, b) p2
-4q<0
. z=Aemx
, --------- z=Axemx
, z=Ax2
emx
. 1) p2
+(q-
w
2
)2
¹
0
, 2) p=0, q=
w
2
. z=Acos
w
x+Bsin
w
x,
z=x(Acos
w
x+Bsin
w
x)
f(x)=ax2
+bx+c
(a,b,c
– сталі) 1)
q
¹
0,
2) q=0, p
¹
0
. z=Ax2
+Bx+C,
z=x(Ax2
+Bx+C).
A, B, C
– сталі невизначенні коефіцієнти. Х.Криволінійні інтеграли.
1. Криволінійний інтеграл першого роду від неперервної функції f(x, y)
, взятий по кусково гладкій кривій К
:x=x(t)
, y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, дорівнює (1) Якщо крива К
задана рівнянням у=у(х) (
a
£
x
£
b
)
, то 23 Аналогічно визначається криволінійний інтеграл першого роду для випадку просторової кривої К
. Якщо f(x, y
)
є лінійна густина лінії К
, то інтеграл (1) являє собою масу лінії К
. 2.Криволінійний інтеграл другого роду від пари неперервних функцій Х(х, у), У(х, у)
, взятий по кусково гладкому шляху К
:x=x(t), y=y(t) (t
є
[
a
,
b
])
, визначається за формулою: (2) Якщо шлях К
задано рівнянням у=у(х) (х є
[
a
,
b
]
)
, то . Фналогічно визначається криволінійний інтеграл другого роду для просторової кривої К
. Фізично інтеграл (2) являє собою роботу змінної сили F={X(x, y), Y(x, y)}
вздовж шляху К
. 3. Якщо виконується умова Х(х, у)
dx+Y(x, y)dy=dU(x, y)
, то інтеграл (2) незалежить від шляху інтегрування К
і , (3) де (х1
,у1
)
– початкова точка шляху і (х2
,у2
) – кінцева точка шляху. Фізично інтеграл (3) являє собою роботу сили, що має потенціал U(x, y)
. 24 графіка функції у=
f(x)
в точці з абсцисою х
. Правила і формули диференціювання:
а) C
¢
=0;
б) (U+V-W)
¢
=U
¢
+V
¢
-W
¢
;
в) (CU)
¢
=CU
¢
;
г) (UV)
¢
=U
¢
V+V
¢
U;
д)
е) є) ; и) (х
n
)
¢
=
n xn-1
, x
¢
=1;
і) (
sin x
)
¢
=cos x;
ї) (
cos x
)
¢
=-sin x;
й) (
tg x
)
¢
=sec2
x;
к) (
с
tg
х
)
¢
=-cosec2
x;
л)м) (а
x
)
¢
=ax
ln a, (ex
)
¢
=ex
.
н) (а
rcsin x
)
¢
=
o) (arccos x)
¢
=
; п) (
arctg x
)
¢
=
р) (arcctg x)
¢
=
7. Теорема Лагранжа про кінцеві прирости диференційовної функції: f(x2
)-f(x1
)=(x2
-x1
)f
¢
/
(
x
),
де x
є (х1
,х2
).
8. Функія у=
f(x)
зростає, якщо f
¢
/
(x)>0
,і спадає, якщо f
¢
(x)<0
. 9. Правило Лопіталя для невизначеностей виду
або : якщо границя з права існує. 10. Локальна формула Тейлора: f(x)=f(x0
)+f
¢
/
(x0
)(x-x0
)+…+
де f(n)
(x)
існує в деякому повному околі точки х0
. 11.а) Необхідна умова екстремуму функції f(x)
в точці x0
: 5 6) . 7) 8) 9) . 10) . 11) . 12) де a
¹
0
. 13) 14) 3. Основні методи інтегрування. а) метод розкладу: , де f(x)=f1
(x)+f2
(x)
б) метод підстановки: якщо x=
j
(t)
, то в) метод інтегрування частинами: 4. Формула Ньютона-Лейбніца: якщо f(x)
- неперервна і F
¢
(x)=f(x)
, то . 5. Визначений інтеграл, як границя інтегральної суми: 8 де , (
n=1, 2,…
)
. IX.
Диференціальні рівняння.
1. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними. X(x)Y(y)dx+X1
(x)Y1
(y)dy=0
має загальний інтеграл: (1) Особливі розв¢язки, що не входять в інтеграл (1), визначаються з рівнянь: Х1
(х)=0
і У1
(у)=0.
2. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку: P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0
, де P(x, y)
і Q(x, y)
– щднорідні неперервні функції одинакового степеня, розв¢язуються за допомогою підстановки y=u
*
x
(u
– нова функція). 3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку: a(x)y
¢
+b(x)y+c(x)=0
можна розв¢язати за допомогою підстановки y=u
*
v
, де u
– не нульовий розв¢язок однорідного рівняння a(x)y
¢
+b(x)y=0
, а v
– нова функція. 4. Інтегровані випадки диференціального рівняння другого порядку: а) якщо y
¢¢
=f(x)
, то загальний розв¢язок: ; б) якщо y
¢¢
=f(у)
, то загальний інтеграл: ; в) якщо y
¢¢
=f(у
¢
)
, то загальний інтеграл рівняння можна 21 знайти з співвідношення: , де у
¢
=р
. 5. Випадки пониження порядку для диференціального рівняння другого порядку: а) якщо у
¢¢
=
f(x, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(х)
, отримуємо: ; б) якщо у
¢¢
=
f(у, y
¢
)
, то приймаючи у
¢
=р(у)
, отримуємо: . 6. Загальний розв¢язок лінійного однорідного диференці-ального рівняння другого порядку: у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=0
має вигляд у=С1
у1
+С2
у2
, де у1
і у2
– лінійно незалежні частинні розв¢язки. 7. Загальний розв¢язок лінійного неоднорідного диференці-ального рівняння другого порядку: у
¢¢
+р(х)у
¢
+
q(x)y=f(x)
має вигляд , де - загальний розв¢язок відповідного неоднорідного рівняння; z
– частинний розв¢язок даного неоднорідного рівняння. 8. Таблиця 1
. Загальний вигляд розв¢язків однорідного рівняння у
¢¢
+ру
¢
+
qy=0
(p
i q
- сталі) в залежності від коренів характеристичного рівняння k2
+pk+q=0
. 22 (a>0,a
¹
1); d(ln u)=
4) d(sin u)=cos u du
; 10) d(arctg u)=
; 5) d(cos u)= -sin u du
; 11) d(arcctg u)=
6) d(tg u)=
12) df(u)=f
¢
(u)du
. 15.Малий приріст диференційованої функції: f(x+
∆
x)-f(x)
»
f
¢
(x)
∆
x
16. Диференціал другого порядку функції у=
f(x)
, де х
- незалежна змінна (
d2
x
)=0
: d2
y=у
''
dx2
. III. Інтегральне числення.
1. Якщо dy=f(x)dx
, то y=
(незвичайний інтеграл). 2. Основні властивості незвичайного інтеграла: а) б) в) (А¹0) г) Таблиця найпростіших невизначених інтегралів
. 1) (
m
¹
-1
)
. 2) , (при х
<
0
i при x
>0
). 3) ; 4) (a
>0, a
¹
1
)
. 5) . 7 де h=(b-a)/n, x0
=a, xn
=b, y=f(x), yi
=f(x0
+ih), (i=0,1,2,…,n)
. 11. Формула Сімпсона: де h=(b-a)/2.
12. Невласний інтеграл: 13.Площа криволінійної трапеції обмеженої неперервною лінією у=
f(x) (f(x)
³
0)
, віссю Ох
і двома вертикалями х=а
, х=
b (a<b)
: . 14. Площа сектора обмеженого неперервною лінією r
=
f(
j
)
(r
i j
- полярні координати) і двома промінями j
=
a
,
j
=
b
(
a
<
b
):
. 15. Довжина дуги гладкої кривої y=f(x)
в прямокутних координатах х
і у
від точки х=а
до точки х=
b (a<b)
: . 16. Довжина дуги гладкої кривої r
=f(
j
)
в полярних координатах j
і r
від точки j
=
a
до точки j
=
b
(
a
<
b
)
: , 17. Довжина дуги гладкої кривої х=
j
(t)
y
=
y
(t)
, задано параметрично(t0
<T)
: 18.Об’єм тіла з відомим поперечним перерізом S(x)
: 10 9. Ряд Маклорена.
10. Розклад в степеневі ряди функцій: а) , при ê
x
ú
< 1
; б) ln(1+x) = , при –1
<x
£
1
; в) , при ê
x
ú
£
1
; г) , при ê
x
ú
<
+
¥
; д) , при ê
x
ú
<
+
¥
; е) , при ê
x
ú
<
+
¥
; ж) , при ê
x
ú
< 1
. 11. Ряд Тейлора
. 12. Ряди в комплексній області: . 13. Абсолютна збіжність рядів з коиплексними членами. Якщо ряд збігається, то ряд 19 також збігається (абсолютно). 14. Формули Ейлера:
, . 15. Тригонометричний ряд Фур
¢
є
кусково-гладкої функції f(x)
періоду 2
l
має вигляд: , (1) де , (
n=0, 1, 2,…
)
; , (
n=1, 2,…
)
. (коефіцієнти Фур¢є функції f(x)
). Для функції f(x)
періоду 2
p
маємо , де , (
n=0, 1, 2,…
)
. В точках розриву функцій f(x)
сума ряду (1) дорівнює 16. Якщо 2l
– періодична функція f(x)
парна, то , де , (
n=0,1, 2,…
)
. Якщо 2l
– періодична функція f(x)
непарна, то , 20 де і 6. Основні властивості визначеного інтегралу (розглядувані функції неперервні): а) ; б) в) г) д) е) ж) 7. Теорема про середнє: якщо f(x)
- неперервна на [a,b]
, то , де а
<c<b
. 8. Формула інтегрування частинами у визначеному інтегралі: 9. Формула заміни змінної у визначеному інтегралі: де а=
j
(
a
),
b
=
j
(
b
)
. 10. Формула трапецій: , 9 z=r(cos
j
+isin
j
)
, де r=
ê
z
ú
;
j
=Arg z
5. Теореми про модуль та аргумент: а) ê
z1
+z2
÷
£
ê
z1
ú
+
ê
z2
ú
; б) ê
z1
z2
÷
£
ê
z1
ú
ê
z2
ú
, Arg z1
z2
=Arg z1
+Arg z2
; в) Arg =Arg z1
-Arg z2
; (z2
¹
0)
; г) ê
zn
÷
=
ê
z
ú
n
; Arg zn
=n Arg z
(n
- ціле). | |||||||||||||||||||||||||||||||||