Математичне забезпечення САПР Тема : Математичне забезпечення САПР. 1. Загальні поняття та вимоги до МЗ. 2. Способи отримання математичних моделей. 3. Постановка задач оптимізації. 4. Класифікація і характеристика методів оптимізації. 1. МЗ включає в себе мат. методи, мат. моделі та алгоритми. Мат. моделі описують взаємозв’язки параметрів об’єкту, а також дозволяють оцінити наслідки проектних рішень. Важливою перевагою мат. моделей є можливість одержати інформацію про об’єкт проектування без проведення натуральних експериментів. Основні вимоги до мат. моделей: 1) універсальність; 2) точність; 3) адекватність; 4) економічність. 1) Універсальність – мат. моделі – означає можливість її застосування для аналізу певної групи об’єктів. 2) Точність м.м. – оцінюється мірою співпадання даних, отриманих по м.м. із реальними даними. 3) Адекватність м.м. – здатність відображати властивості об’єкту із похибкою не вище заданої. 4) Економічність м.м. – характеризується затратами обчислюваних ресурсів на її реалізацію. До обч. ресурсів відносять: 1) час , який необхідний для реалізації мат. моделей. 2) об’єм машинної пам’яті. 2. Способи отримання мат.моделей. Існує три отримання м.м.: 1) Аналітичний; 2) Експериментально-аналітичний; 3) Експериментальний. Суть аналітичного способу отримання м.м. полягає в застосуванні класичних законів фізики, хімії та ін.наук. Суть експериментально-аналітичного методу полягає в обчисленні значень коефіцієнтів для насамперед відомої моделі. Для отримання мат. моделей експериментальний метод – 9.3. док. необхідно реалізувати сукупність експериментальних досліджень, серію дослідів тощо. Експериментальні дослідження можуть проводитись за класичним способом та за допомогою математичного планування експериментів. Недолік класичного методу – це велика кількість дослідів. Перевага – вища точність опису. Мат. програмування експерименту дозволяє побудувати мат. залежності (м.м.) при значно меншій кількості дослідів. Найширше для опису процесів та об’єктів д/о застосовуються: повнофакторні плани (ПФП); плани Бокса (В); а також центральні композиційні уніфориронтотабельні плани (УКУРП). Класичн. 52 = 25 ПФП N = 2R = 4 X1 X2 Y X1min X2min Y1 X1max X2min Y2 X1min X2min Y3 X1min X2min Y4 Y = b0 +b1 x1 +b2 x2 +b12 * x1 x2 Перевага – менша кількість дослідів. Недолік – точність опису гірша. Якщо модель 1-го порядку неадекватна, то переход. до планів Бокса , та до УКУРП. Реалізація цих планів дозволяє отримати мат. моделей у вигляді рівняння регресії 2-го порядку. де: y – значення вихідного параметра (критерія оптимізації); b 0 – значення вільного члена; bi – значення лінійних коефіцієнтів; bii – значення квадратних коефіцієнтів; bij – значення коефіцієнтів парної взаємодії; xi – значення вхідних факторів. 3. Загальна постановка задач оптимізації. 2 види м.м. 1) описового характеру; 2) оптимізаційні. Після побудови м.м. проектувальник здійснює її оптимізації: 1) вибір оптичного типу об’єкта; 2) вибір оптимальної конструктивної схеми; 3) оптимізацію параметрів об’єкту; 4) пошук оптимального управління об’єктом; 5) оптимізацію допусків та параметрів. Після побудови м.м. формуємо функцію мети (критерії оптимізації). Функція мети – кількісний показник, який дозволяє оцінити ефективність прийнятих рішень. Критерії (показники) оптимізації поділяються на 3 групи: 1) технічні; 2) техніко-економічні; 3) екологічні. 1 – надійність, енерго- та металомісткість, тривалість служби. 2 – продуктивність, собівартість, рентабельність і ін. 3 – оцінюють вплив проектованого об’єкту на довкілля. Після побудови функції мети формують обмеження на параметри (продуктивний облад.; габаритні розміри меблевих виробів, к.к.д., швидкодію та ін.). Після цього приступаємо до вибору методу оптимізації. Для оптимізації використовуються: 1) Класичні або аналітичні методи (диференційне числення, варіаційне числення, метод многочленів Лагранжа). 2) Методи мат. програмування: а) лінійне; б) нелінійне; в) динамічне; г) стохастичне програмування. (стохастична – випадковість в часі). Лінійне програмування – використовується в тих випадках, коли функція мети та обмеження мають лінійний характер (Simplex - метод). Нелінійне програмування – застосовується в тих випадках, коли функція мети або обмеження є нелінійним (методи сканування, градієнтні). Стохастичне програмування - …, коли маємо справу із випадковими факторами. Динамічне програмування