Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 20
Содержание: Введение 3 1 История развития цепных дробей и их приложения 6 1.1 История появления и развития цепных дробей 6 1.2 Применение цепных дробей в теории чисел 9 1.3 Применение цепных дробей в аналитической теории 11 1.4 Приложения цепных дробей 13 2 Приближение действительных чисел рациональными дробями 17 2.1 Представление действительных чисел правильными цепными дробями 17 2.1.1 Разложение действительного числа в правильную бесконечную цепную дробь 17 2.1.2 Свертывания цепной дроби в обыкновенную дробь 20 2.2 Приближения действительных чисел подходящими дробями 23 2.2.1 Свойства подходящих дробей 23 2.2.2 Оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью 26 2.2.3 Доказательство теоремы Дирихле о диофантовых приближениях 31 3 Подходящие дроби в качестве наилучших приближений 36 3.1 Сравнение точности приближения подходящей дробью и любым соответствующим рациональным числом 36 3.2 Цепные дроби как аппарат отыскания наилучших приближений к заданному действительному числу 40 3.3 Алгоритм выделения наилучших приближений к заданному числу из множества рациональных чисел 44 Заключение 48 Литература 49 Приложение 1 52 Введение В вычислительной практике действительные числа заменяют рациональными, при этом рациональное число выбирают максимально простым в виде десятичной дроби с небольшим числом знаков после запятой или обыкновенной с небольшим знаменателем. В вопросах приближённого представления действительных чисел рациональными дробями большое значение имеет аппарат непрерывных (цепных) дробей. Бесконечной цепной, или непрерывной, дробью общего вида называют разложение где Также различают ветвящиеся цепные дроби:
Дроби такого вида широко применяются во многих вопросах вычислительной математики. В своей основе вопросы теории цепных дробей доступны учащимся основной школы. Её алгоритмы основаны на применении алгоритма Евклида, выделения целой части числа. Её задачи связаны с аппроксимацией действительных чисел и опираются на теорию рациональных и действительных чисел. Цель данной работы – изучить цепные дроби общего вида, рассмотреть возможные способы аппроксимации действительных чисел рациональными дробями и выбрать оптимальный, дающий наилучшие приближения. Задачи: 1. рассмотреть вопросы истории, касающиеся появления и развития цепных дробей, а также их приложений; 2. овладеть алгоритмами нахождения подходящих дробей для действительных чисел; 3. изучить основные свойства подходящих дробей цепной дроби; 4. рассмотреть различные способы оценки погрешности, возникающие при аппроксимации действительных чисел рациональными дробями; 5. выбрать наилучшие способы аппроксимации действительных чисел; 6. подобрать примеры для иллюстрации теоретических положений. Этапы исследования: 1. 2003-2004 : «Приближение действительных чисел цепными (непрерывными) дробями» 2. 2004-2005 : «Систематические цепные дроби как аппарат представления действительных чисел в школе» 3. 2005-2006 Выпускная квалификационная работа «Аппроксимация действительных чисел рациональными дробями». Опытная проверка разработанного факультатива была проведена в 8-ом классе лицея им. М.В.Ломоносова г. Йошкар-Ола в 2004-2005 учебном году. Данный курс подтвердили интерес учащихся к данной теме, хорошее усвоение теории и успешность её применения к решению задач. По результатам апробации была опубликована статья «Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике» [18]. Результаты исследований докладывались на научной студенческой конференции в 2005, 2006 году. Работа состоит из введения, трёх глав и заключения. Первая глава содержит вопросы истории появления и развития цепных дробей, в ней также рассматривается применение непрерывных дробей в теории чисел и аналитической теории, а также их приложения в других областях науки. Во вторую главу включены элементы теории цепных дробей: представление действительных чисел правильными цепными дробями, приближения действительных чисел подходящими дробями, оценка погрешности при замене действительного числа рациональной дробью. В третьей главе показывается, что подходящие дроби являются наилучшими приближениями действительного числа. Ссылки в работе, отмеченные квадратными скобками, указывают на источник под соответствующим номером в списке литературы, а ссылки, отмеченные круглыми скобками, относятся к материалу данной работы. 1. История развития цепных дробей и их приложения
1.1
История появления и развития цепных дробей
По некоторым сведениям цепные дроби применялись уже математиками Древней Греции. Например, алгоритм Евклида (III в. до н.э.) тесно связан с цепными дробями. Возможно, что при нахождении приближения к числу В 1858 году был найден в курортном городке на Ниле древний папирус, его называют также Папирусом Ахмеса по имени писца, переписавшего его в 1650 году до н. э. Если Архимед жил в III веке до нашей эры, то папирус Ринда относится, как минимум, к XVII; ведь Ахмес был только переписчиком, а автор (или, скорее, авторы этого труда) неизвестен, но он жил еще раньше. В папирусе Ринда содержится удивительная формула для вычисления площади круга: Известно, что китайский астроном Цзу Чун-чжи (V в. н.э.) показал, что π заключено между 3,1415926 и 3,1415927. он указал в качестве рационального приближения к π величину Из средневековых математиков близко подошёл к цепным дробям Омар Хайям (ок. 1048-1122). Он положил их в основу своей идеи реформы календаря. Продолжительность года по его приближениям составляла Но впервые цепные дроби как таковые появляются в «Алгебре» итальянского математика Рафаэль Бомбелли (1526-1572), вышедший в 1572 г. в статье, написанной в то время, когда в Италии и Франции впервые появились алгебраические понятия и обозначения. Бомбелли пришёл к цепным дробям, изучая извлечение квадратного корня из чисел. Первым известным использованием непрерывной дроби является приближённое выражение для Следующее по времени применение цепной дроби, причём опять-таки к извлечению квадратных корней принадлежит итальянскому математику Пьетро Антонио Катальди (1552-1626), им был предложен второй частный случай данной формулы: Катальди и Бомбелли пришли к цепным дробям, исходя из извлечения квадратного корня из чисел, а Даниель Швентер (1585-1636), немецкий математик, пришёл к цепным дробям путём приближённого представления обыкновенных дробей с большими числителями и знаменателями. Он раскладывал обыкновенную дробь в цепную, используя таблицу, с помощью весьма интересного способа [25]. Таким образом, он нашёл рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей. Но при этом Швентер рассматривал только правильные дроби – дроби, числители которых все равны единице, а все знаменатели являются натуральными числами. В середине XVII века английский математик Джон Валлис (1616-1703) первым по времени разложил трансцендентное число Следующий шаг в развитии теории цепных дробей был сделан Христианом Гюйгенсом (1629-1695). Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов Можно сказать, что цепными дробями занимались от случая к случаю, и первым, кто систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию, насколько это было возможно сделать в ту эпоху, был Леонард Эйлер (1707-1783). Он опубликовал свою первую работу в 1744 г., в которой рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби. Следует заметить, что сам термин «цепная дробь» появился лишь в XVIII веке, а до этого времени использовалось понятие «непрерывная дробь». Вторая работа Эйлера, вышедшая в 1750 г., фактически являлась её продолжением, в ней рассматривались вопросы о применении цепных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные цепные дроби, представление иррациональных чисел в цепные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей. Из его работ стало ясно, что непрерывные дроби могут применяться как в теории чисел, так и в анализе. Эйлеру также принадлежат и многие другие работы, связанные с изучением и применением цепных дробей. 1.2
Применение цепных дробей в теории чисел
Задачами, относящимися к теории чисел, являются разложения действительных чисел в правильные непрерывные дроби и аппроксимации действительных чисел с помощью цепных (непрерывных) дробей. Здесь наиболее важным является вопрос о степени приближения, которое обеспечивает n-я подходящая дробь и об оценке погрешности при замене действительного числа подходящей дробью. Большой вклад в теорию правильных непрерывных дробей внёс Жозеф Луи Лагранж (1736-1813), доказавший, что квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n) [8]. Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля Эварист Галуа (1811-1832) в своей первой опубликованной работе исследовал некоторые периодические правильные непрерывные дроби. Он дал определение двойственных периодических правильных непрерывных дробей [5, Гл.3, 3.3, С.71]. Жозеф Лиувилль (1809-1882) первым доказал существование трансцендентных чисел. В 1851 г. он отметил, что алгебраические числа не могут быть достаточно точно аппроксимированы рациональными числами. Он доказал, что для Результат, полученный Адольф Гурвицем (1859-1919) в 1891 заключается в том, что неравенство Оттенок теории меры придали этим результатам Борель и Феликс Бернштейн (1878-1956), которые доказали, что для почти всех х: 0<
x
<1
, последовательность {an
} не ограничена. А.Я.Хинчин (1894-1959) дал дальнейшее развитие этому направлению – он основал метрическую теорию непрерывных дробей [21]. 1.3
Применение цепных дробей в аналитической теории
Значительный вклад в аналитическую теорию внёс Эйлер. Им были получены разложения в непрерывные дроби для интегралов и степенных рядов, включая и расходящиеся, а также показал, как разложение Броункера для Методы, разработанные Фробениусом и Паде в конце XIX века для приближения аналитических функций подходящими дробями непрерывных дробей под общим названием аппроксимаций Паде, стали главным вычислительным средством в задачах статистической механики и физики твёрдого тела, быстро распространяясь на другие разделы теоретической физики. Гейне в 1846-1847 гг. занимался гипергеометрическими функциями. Проблемой сходимости непрерывных дробей для отношений этих функций – Риман, и более полно этот вопрос был рассмотрен Томе. Решение задача представления произвольных степенных рядов цепными дробями было начато Штерном в 1832 г. и Хейлерманом в 1846 и продолжено Фробениусом и Стилтьесом. Интерес к этой теме проявляли многие математики, их работы играли большую роль для науки. Ею также активно занимались и русские учёные: в XIX веке работы П.Л. Чебышева, А.А.Маркова (1856-1922), И.В.Слешинского и других математиков внесли значительный вклад в теорию цепных дробей. В Марийском педагогическом институте под руководством А.Н.Хованского в 50-60-е годы XX века работала аспирантура, в которой занимались исследованием аналитических вопросов цепных дробей. В последствии успешно защитили кандидатские диссертации и опубликовали ряд работ Г.В. Маурер [10, 11, 12, 13], Л.П. Шутова [26], C.С. Хлопонин [22, 23], В.К. Смышляев [19]. Таким образом, благодаря систематическому изучению Эйлером цепных дробей, многие математики, работающие в России и за её пределами, заинтересовались этим вопросом и продолжили его изучение в своих работах. Огромное количество работ, посвящённых теории цепных дробей, говорит о широких возможностях применения её к различным областям науки. 1.4
Приложения цепных дробей
Цепные и ветвящиеся цепные дроби обладают рядом уникальных свойств, обеспечивающих им широкое использование в теоретической и прикладной математике. Этим и объясняется повышенный интерес математиков к данной теории на протяжении нескольких веков. Применение цепных дробей при решении классической задачи древности о построении квадрата, равновеликого данному кругу (квадратура круга) сыграло свою роль при нахождении значения числа π. Проблема составления календаря тесно связана с цепными дробями. Впервые порядок в счёте времени попытался навести в I в. до. н.э. римский император Юлий Цезарь, но его календарь был не достаточно точен. По юлианскому календарю к XVI в. накопилась ошибка, составляющая уже около 10 суток. В результате чего была проведена следующая реформа календаря папой римским Григорием XIII, именем которого и называется действующая система календаря. Решением этой задачи занимались многие математики среди них и Омар Хайям, о его системе календаря было рассказано ранее. В 1864 г. русским астрономом И. Медлером была предложена ещё одна поправка к юлианскому календарю, основанная на нахождении уже четвёртой подходящей дроби к записи продолжительности астрономического года в виде цепной дроби. Решением ещё одной задачи XVII века занимался Х.Гюйгенс при построении планетария (С.8). В настоящее время в теоретическом плане непрерывные дроби играют существенную роль, так как позволяют усилить и развить результаты классической математики на случай многих аргументов, причём сам аппарат цепных дробей зачастую подсказывает формулировки такого рода обобщений, в частности, в теории чисел. Цепные дроби широко применяются в теории чисел: обобщены некоторые основные алгоритмы (алгоритм Евклида, Остроградского, Эйлера), найдено решение классической задачи об алгебраических иррациональностях высших степеней, найдены отдельные решения некоторых диофантовых уравнений и их систем. Цепные дроби дают большое преимущество в точности при приближённом нахождении корней квадратных уравнений; вычислении логарифмов чисел. Цепные дроби позволяют строить алгоритмы для вычисления корней алгебраических уравнений произвольной степени. В вычислительной практике используются при решении сравнений первой степени, также удобны в использовании дробно-рациональные аппроксимации функций одного аргумента цепными дробями с помощью формул Обрешкова или Тиле по методу Паде [24, Гл.3, §1, С.147]. Они также используются в теории сравнений. На базе цепных дробей построены некоторые эффективные методы решения алгебраических и трансцендентных уравнений, неопределённых уравнений вида Цепные дроби используются для нахождения приближенных представлений функций. Эти приближения, являющиеся дробно-рациональными функциями от независимых переменных успешно заменяют данную функцию в тех областях изменения аргумента, где, например, разложение этой функции в степенной ряд расходится и где, следовательно, приближения в виде многочленов в большинстве случаев неприменимы. При использовании дробно-рациональных приближений отпадает необходимость вычислять высокие степени аргумента и появляется возможность вычислять значения отдельных функций. Теория матричных ветвящихся цепных дробей позволяет решить следующие задачи: извлечение квадратного корня, корня третьей, четвёртой степени и корня любой рациональной степени с помощью матриц, решение уравнений с помощью матриц второго порядка, решение уравнений высших степеней с помощью матриц. (Матричные рекуррентные уравнения применяются в задачах экономики, физики, плазмы и др.) [24, Гл.4, С. 176]. В настоящее время цепные дроби находят всё большее применение в вычислительной технике, так как позволяют строить эффективные алгоритмы для решения ряда задач на ЭВМ. Помимо теоретического использования правильных цепных дробей существуют и практические приложения цепных дробей. Среди всего их множества можно отметить следующие: · Решение обратных задач теплопроводности [6]; · Исследование механических колебаний в валопроводах различных энергетических установок [20]; · Синтез устройств частотной селекции на функциональных времязадающих элементах [3]; · Исследование устойчивости, исследование установившихся и переходных процессов, стабилизация систем, исследование и обеспечение качества систем, исследование случайных процессов, оптимизация параметров и ряд других проблем в технике, в частности, в автоматике, радиоэлектронике, приборостроении и др.[1]. Литература 1. Боднарчук, П.И. Успехи и задачи теории цепных и ветвящихся цепных дробей / П.И. Боднарчук, В.Я. Скоробогатько // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 5 – 8 2. Бухштаб, А.А. Теория чисел / А.А. Бухштаб. – Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1966. – 384 с. 3. Гапоненко, Н.П. Цепные дроби в синтезе устройств частотной селекции на функциональных времязадающихся элементах / Н.П.Гапоненко, Н.Н.Рябец // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 48 – 49. 4. Глейзер, Г.И. История математики в средней школе. Пособие для учителей / Г.И. Глейзер. - М.: Просвещение, 1970. - 461с., ил. 5. Джоунс, У. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения / У. Джоунс, В. Трон; Перевод с англ. В. Е. Кондрашова, С. Б. Королёва и И. Г. Турундаевской; под ред. И. Д. Софронова - М.: Мир, 1985. – 416 с. 6. Зотов, Е.Н. Решение обратных задач теплопроводности с помощью цепных дробей / Е.Н.Зотов, Н.П.Пучков, Ю.С. Шаталов // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 56 – 57. 7. Кудреватов, Г.А. Сборник задач по теории чисел / Г.А. Кудреватов. - М.: Просвещение, 1970. – с. 8. Ламберт, И.Г. Предварительные сведения для ищущих квадратуру и спрямление круга. / И.Г. Ламберт // О квадратуре круга: сб. научных трудов / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 169-198 9. Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 5: Цепные дроби. – М.: Советская энциклопедия, 1985. 10. Маурер, Г.В. Решение одного дифференциального уравнения Риккати с помощью цепных дробей / Г.В. Маурер // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 76 – 77. 11. Маурер, Г.В. О разложении в цепные дроби некоторых предельных случаев функции Гейне. / Г.В. Маурер // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. –– С. 211-221. 12. Маурер, Г.В. О решениях некоторых диофантовых уравнений второй степени. / Г.В. Маурер // Вторая Всероссийская школа-коллоквиум по стохастическим методам: тезисы докладов. – М.: ТВП, 1995. 13. Маурер, Г.В. Решение некоторых неопределённых уравнений второй степени с помощью цепных дробей общего вида / Г.В. Маурер // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. – С. 431-442. 14. Михелович, Ш.Х. Теория чисел / Ш.Х. Михелович. - Изд. 2-е, перераб. и доп. - М.: Высшая школа, 1967. – 336 с. 15. Нивен, А. Числа рациональные и иррациональные / А. Нивен; перевод с англ. В.В. Сазонова; под ред. И.М. Яглома - М.: Мир, 1966. - 199с. 16. Пичурин, Л.Ф. За страницами учебника алгебры: книга для учащихся 7-9 классов ср. школы / Л.Ф. Пичурин – М.: Просвещение, 1990. – 237с. 17. Рудио, Р. Обзор истории задачи о квадратуре круга от древности до наших дней. / Р. Рудио // О квадратуре круга / под ред. акад. С.Н.Бернштейна. – М.: Государственное технико-теоретическое издательство, 1934. – С. 9-94 18. Семёнова, Е.Д. Изучение цепных дробей на факультативных занятиях по математике./ Е.Д. Семёнова, О.Г. Куклина // Педагогика будущего: сборник научных трудов аспирантов и студентов. Вып. 2 / под ред. Г.В. Рокиной. - Йошкар-Ола. - 2005. – С.305-308 19. Смышляев, В.К. Сходимости сжатых цепных дробей. Аналитическая геометрия треугольника вопросы теории цепных дробей / В.К. Смышляев // Учёные записки МГПИ им. Н.К.Крупской: Т. 26.– Йошкар-Ола, 1965. –С.443-444 20. Терских, В.П. Цепные дроби – математические модели колеблющихся цепных систем / В.П. Терских // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 34 – 40. 21. Хинчин, А.Я. Цепные дроби. / А.Я. Хинчин – М.: ГИФ – МЛ, 1961, 112с. 22. Хлопонин, С.С. Области сходимости цепных дробей / С.С. Хлопонин // Цепные дроби их применения: сб. научных трудов / под ред. В.Я. Скоробогатько. Институт математики АН УССР. - Киев, 1976. - С. 96 – 97. 23. Хлопонин, С.С. Сходимость цепных дробей. / С.С. Хлопонин // Волжский математический сборник: труды математических кафедр педагогических институтов Поволжья / КГПИ – вып. 5. – Казань: Издательство казанского университета, 1966. – С. 354 - 362. 24. Хованский, А.Н. Приложение цепных дробей и их обобщений к вопросам приближённого анализа / А.Н. Хованский. - М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1956. – 204 с. 25. Хованский, А.Н. Работы Л.Эйлера по теории цепных дробей / А.Н. Хованский // Историко-математические исследования. – Вып. 10. – С.305-326.
|