Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 15
Муниципальное общеобразовательное учреждение Школа-интернат лицей-интернат «Б и н о м Н ь ю т о н а»
Работу выполнил: ученик 11 класса «А» Зыбко Иван
Руководитель Еремина
Людмила Александровна
Калининград 2008 год С о д е р ж а н и е.
Стр.
Понятие бинома Ньютона.
3-4
Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.
5-6
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона». 7
Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона (нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона») 8-10
Понятие бинома Ньютона.
Биномом Ньютона называют разложение вида:
Но, строго говоря, всю формулу нельзя назвать биномом, так как «бином» переводится как «двучлен». Кроме того, формула разложения была известна еще до Ньютона, Исаак Ньютон распространил это разложение на случай n<0 и n – дробного. Цель
изучения бинома Ньютона – упрощение вычислительных действий. Компоненты
формулы «бином Ньютона»: - правая часть формулы – разложение бинома; - Практическая значимость треугольника Паскаля заключается в том, что с его помощью можно запросто восстанавливать по памяти не только известные формулы квадратов суммы и разности, но и формулы куба суммы (разности), четвертой степени и выше. Например, четвертая строчка треугольника как раз наглядно демонстрирует биномиальные коэффициенты для бинома четвертой степени:
Альтернатива треугольнику Паскаля: 1) перемножить почленно четыре скобки:
2) вспомнить разложение бинома Ньютона четвертой степени:
- общий член разложения бинома n-й степени: где Т – член разложения; Свойства бинома и биномиальных коэффициентов.
1. 2. Число всех членов разложения на единицу больше показателя степени бинома, то есть равно 3. Сумма показателей степеней a
и b
каждого члена разложения равна показателю степени бинома, то есть n
Доказательство Рассмотрим Сумма показателей степеней a
и b
: Ч.т.д. 4. Биномиальные коэффициенты членов разложения, равноотстоящих от концов разложения, равны между собой: 5. Сумма биномиальных коэффициентов всех членов разложения равна Доказательство Пусть o левая часть равна o правая часть равна Тогда: Ч.т.д. 6. Сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах и равна
7. Правило Паскаля: 8. Любой биномиальный коэффициент, начиная со второго, равен произведению предшествующего биномиального коэффициента и дроби
Типовые задачи по теме «Бином Ньютона».
К типовым (стандартным) заданиям по данной теме можно отнести задачи на вычисление, среди которых: 1. Найти член (номер члена) разложения бинома 2. Вывести бином по известным членам разложения (по известной сумме) 3. Вычислить сумму биномиальных коэффициентов разложения бинома и другие. Продемонстрируем на примере. Пример 1
В биномиальном разложении Решение Так как в разложении мы ищем член не содержащий х
, то Тогда Ответ: Задачи, сводящиеся к использованию формулы бинома Ньютона
(нестандартные задачи по теме «Бином Ньютона»).
К нестандартным заданиям по данной теме можно отнести такие, в которых нет явного намека на необходимость использования бинома. Однако в итоге, решение сводится к нему и выглядит очень интересным. Пример 1
Доказать, что для любых
Доказательство Пусть Так как Переформулируем требование: Доказать, что
Так как
Это означает, что Ч.т.д.
Пример 2
Доказать, что при любом натуральном n
число Доказательство 1 способ: Ч.т.д. 2 способ: Начнем рассматривать бином в общем виде: Тогда Ч.т.д.
Пример 3
Решить уравнение Решение Осуществим замену: Тогда уравнение перепишем: Применим формулу бинома к левой части уравнения:
В итоге Ответ:
|