Главная Учебники - Разные Лекции (разные) - часть 11
VII
зональная научно-практическая конференция «Шаг в будущее»
Направление:
Математика Название работы:
«
Задачи на смеси и их практическое применение» Автор:
Ветошкина Юлия, ученица 9 а класса Место выполнения работы:
МОУ ООШ № 21 г. Оленегорска Научный руководитель:
Прокопенко Надежда Ивановна, 2008 г
.
СОДЕРЖАНИЕ
1. Введение
Цели и задачи исследования
: 1. Выяснить существуют ли другие (неизвестные нам) способы решения задач на смеси, если да, то изучить и применить при решении задач. 2. Исследовать, как меняются формулы для нахождения количества «чистого» вещества и процентного содержания «чистого» вещества в полученной смеси после «п» переливаний в зависимости оттого, что дано в начале: смесь или «чистое» вещество. 3. Систематизировать задачи по уровню сложности. Почему мы выбрали данную тему?
1. Задачи на смеси ежегодно включают в варианты ЕГЭ 11 класса, а теперь и в 9 классе, но многие ученики не приступают к решению, так как испытывают сложности при решении этих задач. 2. Тема «Задачи на смеси» имеет практическую направленность. Собираясь в школу, мы пьем чай (не задумываясь о концентрации сахара в чае, однако кладем столько сахара, чтобы не пересластить), летом мы ходим за грибами, затем их сушат и мы понимаем, что чем дольше их сушить, тем меньше в них остается воды, и при этом количество «сухого» вещества не меняется. Врач выписывает рецепт, и мы идем в аптеку, где готовят лекарство (смесь). Когда начинается эпидемия гриппа, технички моют пол, добавляя хлорку в воду для того, чтобы «убивать» микробы (если хлорки положить больше нормы, то можно отравиться). Мы пьем воду, которую предварительно обработали (на «Водоканале» воду очищают от примесей и обеззараживают). Наши родители работают на ГОКе и их зарплата зависит от %-ного содержания железа в добытой руде. И т. д. 3.
Мы выбрали тему «Задачи на смеси» еще и потому, что нас заинтересовали задачи на переливание: Из сосуда, где находится
p
%-ный раствор вещества, отливают а
литров смеси и доливают
a
литров воды. Какова доля вещества после
n
переливаний и сколько вещества в полученной смеси?
Мы вывели формулы В чем практическая значимость нашей работы?
По справочникам и учебным пособиям мы выбрали задачи на смеси и, решив, распределили их по блокам. А поскольку в ходе работы мы узнали новый способ решения задач на смеси – «старинный
», то, изучив его, смогли решить задачи несколькими способами. В конце каждой задачи мы указали, начиная с какого класса можно ее решать. Это позволит учителю одну и ту же задачу (или ей подобную) включать в 5 классе (или в 6 классе) при изучении темы, а потом её же включить при повторении в 9 классе. Так как задачи решены различными способами, то ученики имеют возможность сравнивать способы решения, выбирать наиболее рациональный, кроме того, ученики повторяют, как найти часть от числа и число по части, прямую и обратную пропорциональность, решение уравнений и другое. Практическая значимость работы
заключается в возможности использования полученных в ходе исследования данных для работы на уроках. 2. Различные способы решения задач
Говоря о смесях, растворах, сплавах – будем употреблять термин «смесь» – независимо от ее вида (твердая, жидкая, сыпучая и т.д.). Смесь состоит из «чистого вещества» и примеси. Что такое чистое вещество – определяем в каждой задаче отдельно. Долей (a)
чистого вещества в смеси называется отношением количества чистого вещества (m)
в смеси к общему количеству смеси (М).
Например. В колбе 140 мл. 10%-ного раствора марганцовки. Долили 60 мл 30%-ного раствора марганца. Определить %-ное содержание марганца в полученном растворе.
m М a Было 0,1× 140 = 14 (мл) 140 мл 0,1 Добавили 0,3 × 60 = 18 (мл) 60 мл 0,3 Стало 32 мл 200 мл ? Поменяем условие задачи: Сколько нужно взять 10%-ного раствора марганцовки и 30%-ного раствора, чтобы получить 200 мл. 16%-ного раствора марганца. 1 способ.
m М a 0,1 × х мл Х мл 0,1 0,3(200 – х) мл (200 – х) мл 0,3 (0,1 + 0,3×(200 – х)) мл (200 – х) мл 0,16 0,1х + 0,3(200 – х) = 0,16 × 200 0,1х + 60 – 0,3х = 32 0,2х = 28 х = 140 10%-ного раствора надо взять 140 мл, 30%-ного раствора 60 мл. 2 способ.
10% взяли х мл, 30% - y мл; получили 200 мл, где 200 × 0,16 = 32 (мл) марганца, то Получили: х = 140, y = 60 Решим эту задачу «старинным
» способом: Друг под другом пишут содержания веществ (в задаче это %-ное содержание марганца) имеющихся растворов, слева от них и примерно посередине – содержание вещества в растворе, который должен получиться после смешивания. Соединим записанные числа черточками, получим схему Теперь из большего числа вычитаем меньшее, т.е. 16 – 10 = 6; 30 – 16 = 14 30 6 Из схемы делается заключение, что 10%-ного раствора надо взять 14 частей, а 30%-ного раствора – 6 частей. Значит, в 200 мл: 14 + 6 = 20 (частей) 200 : 20 × 14 = 140 (мл) – 10%-ного раствора 200 : 20 × 6 = 60 (мл) – 30%-ного раствора 3. Задачи на изменение концентрации
3.1. Имеется бутылка 20%-ного раствора кислоты и бутылка 40%-ного раствора кислоты.
1) Смешали 200 г из
I бутылки и 300 г из
II. Сколько «чистой» кислоты содержится в смеси? Определить % - ное содержание кислоты в полученном растворе.
m M a 0,2 × 200 = 40 (г) 200 0,2 0,4 × 300 = 120 (г) 300 0,4 160 г 500 160
500 160 г чистой кислоты в смеси 2) Взяли 300 г из
I бутылки. Сколько надо долить из
II, чтобы получить 32%-ный раствор?
m M a 0,2 × 300 = 60 (г) 300 0,2 0,4 × х = 120 (г) Х 0,4 (60 + 0,4х) г (300 + х) г 0,32 60 + 0,4х = 0,32(300 + х) 60 + 0,4 х = 96 + 0,32х 0,08х = 36 х = 450 Надо долить 450 г II-го раствора. 3) Верно ли, что если из
II бутылки берут на 50% больше, чем из
I, то смесь всегда оказывается 32%-ным раствором кислоты?
m M a 0,2х л х л 0,2 0,4 × 1,5х л = 0,6х (л) 1,5х л 0,4 0,8х л 2,5х л 0,8х
2,5х 3.2. Вода содержит 18% сахара. Сколько килограммов пресной воды нужно добавить к 40 кг сладкой воды, чтобы содержание сахара составило 15%? (с 5 кл.)
1 способ.
Решение: Пусть х – количество воды, которую надо добавить. m M a 0,18 · 40=7,2 кг 40кг 0,18 0,15 · (40+х) (40+х)кг 0,15 Так как количество сахара не изменилось, то 0,15 · (40+х)=7,2 6 + 0,15х = 7,2 0,15х = 1,2 х = 8 Значит, нужно добавить 8кг пресной воды. Ответ: 8 кг пресной воды 2 способ.
0 3 в 40 кг 15 частей 40 : 15 × 3 = 8 (кг) 3.3. Сколько граммов раствора марганцовки, концентрация которой 35%, надо добавить к 325 г воды, чтобы концентрация составила 10%? (с 6 кл.)
Решение: m M a исходный раствор 0,35х х г 0,35 вода 325г полученный раствор 0,35х (х+325)г 0,1 Получили уравнение: 0,1·(х+325)=0,35х 0,1х+32,5=0,35х 0,1х – 0,35х= -32,5 -0,25х= - 32,5 х = 32,5:0,25 х = 130 Значит, 130г надо добавить. Ответ: 130г. 2 способ 0 25 325 : 25 × 10 = 130 (г) 3.4 Сколько граммов воды нужно добавить к 5% - ой йодной настойке массой 100г, чтобы ее концентрация уменьшилось до 1%?(С 5 кл)
Решение: Пусть х – количество воды, которую надо добавить. m M a I раствор 5г 100г 0,05 вода х г II раствор 5г (х+100)г 0,01 Получили уравнение: 0,01·(х+100) = 5 0,01х + 1 = 5 0,01х = 4 х = 400 Значит, 400 г воды надо добавить. Ответ: 400 г. 2 способ
0 4 100 : 1 × 4 = 400 (г) 3 способ
1) 100 × 0,05 = 5 (г) йода 2) 5 г это 1% 3) 500 – 100 = 400 (г) 3.5 Кусок сплава массой 36 кг содержит 45 % меди. Какую массу меди нужно добавить к этому куску, чтобы полученный сплав содержал 60%?( с 6 кл)
Решение: 45 = 45% 36 · 0,45 = 16,2 Пусть масса меди, которую надо добавить в сплав х кг, тогда (36 + х) кг – масса сплава после добавления меди, (16,2 + х) кг – масса меди в сплаве после добавки. Зная, что медь в сплаве после добавки составила 60%, составим и решим уравнение: 16,2 + х ———— = 0,6 36 + х 16,2 + х = (36 + х)·0,6 16,2 + х = 21,6 + 0,6х х – 0,6х = 21,6 -16,2 0,4х = 5,4 х=13,5 Ответ: 13,5 кг меди нужно добавить. 2 способ
60 3.6. Какую массу воды надо добавить к раствору сода + вода массой 90кг, содержащему 5% соды, чтобы получить раствор, содержащий 3% соды?(с 5кл)
Решение: Пусть х – количество воды, которую надо добавить. m M a вода х кг вода+сода 4,5 кг 90 кг 0,05 сода 4,5 кг (90 + х) кг 0,03 Получили уравнение: (90 + х)· 0,03 = 4,5 2,7 + 0,03х = 4,5 0,03х = 1,8 х = 60 Значит, 60 кг воды нужно добавить. Ответ:60 кг воды нужно добавить. 2 способ
0 2 90 г : 3 × 2 = 60 (г) 3 способ
1) 90 × 0,05 = 4,5 (кг) 2) 4,5 кг это 3% 4,5 : 0,03 = 150 (кг) 3) 150 – 90 = 60 (кг) 3.7. Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды нужно добавить к 40 кг морской, чтобы содержание соли в полученной воде составило 2%?(с 5 кл)
Решение: В 40 кг. морской воды 40· 0,05 = 2(кг) соли и в полученном растворе 2 кг соли. То 2 : 0,02 =100(кг). m M a 2 кг 40 кг 0,05 2 кг 100 кг 0,02 100 – 40 = 60 (кг) пресной воды нужно добавить. Ответ: 60 кг. 2 способ
0 3 40 кг : 2 × 3 = 60 (кг) 3 способ
m М a 40 × 0,05 = 2 (кг) 40 кг 0,05 х кг 0 2 кг (40 + х) кг 0,02 2 = 0,02 × (40 + х) 2 = 0,8 + 0,02х 0,02х = 1,2 х = 60 3.8. В морской воде содержится 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 55 кг морской для получения 4% раствора. ( с 5 кл)
Ответ: 13,75 кг. 3.9. Было 12 кг воды. В нее добавили несколько кг сахара и получили 4% раствор. Какое количество сахара было добавлено в воду?( с 6 кл)
Решение: Пусть х – количество сахара, которое добавили. m M a 12кг + х кг х кг ——————————————————————————————— х кг (12 + х)кг 0,04 (12 + х)· 0,04 = х 0,48 + 0,04х = х 0,96х = 0,48 х = 0,5 Значит, 0,5 кг сахара добавили. Ответ: 0,5кг 2 способ
100 4 12 кг : 96 × 4 = 0,5 (кг) 3.10. В апельсиновом соке содержится 12% сахара. Сколько воды нужно добавить к 5л сока, чтобы содержание сахара стало 8%? ( с 5 кл)
Решение: Пусть х – количество воды, которую надо добавить. m M a 5·0,12 = 0,6 кг 5л 0,12 0,6 кг (5+х) 0,08 Получили уравнение: 0,08·(5+х) = 0,6 5+х = 0,6:0,08 5+х = 7,5 х = 7,5 – 5 х =2,5 Значит, 2,5 л воды надо добавить. Ответ: 2,5л. 2 способ
0 4 5 л : 8 × 2 = 2,5 (л) 3 способ
1) 5 л × 0,12 = 0,6 (л) 2) 0,6 л это 8% 0,6 : 0,08 = 7,5 (л) 3) 7,5 л – 5 л = 2,5 (л) 3.11. Соляная кислота содержит 16% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 60 кг соляной кислоты, чтобы содержание соли стало 10%? (с 5 кл)
Ответ: 3,6кг. 3.12. К 15л 10%-ного раствора соли добавили 5%-ный раствор соли и получили 8%-ный раствор соли. Какое количество литров 5%-ного раствора добавили?
(с 6 кл)
Решение: Пусть добавили х л 5%-ного раствора соли. Тогда нового раствора стало (15 + х)л, в котором содержится 0,8·(15 + х)л соли. В 15л 10%-ного раствора содержится 15·0,1 = 1,5л соли, в х л 5%-ного раствора содержится 0, 05х л соли. Составим и решим уравнение: 1,5 + 0,05х = 0,08· (15 + х) 1,5 + 0,05х = 1,2 + 0,08х 0,05х – 0,08х = 1,2 – 1,5 0, 03х = 0,3 х = 10 Значит, 10л 5%-ного раствора добавили. Ответ: 10л. 2 способ
m М a 0,1 × 15 = 1,5 (л) 15 л 0,1 0,05х л Х л 0,05 (1,5 + 0,05х) л (15 + х) л 0,08 1,5 + 0,05х = 0,08 (15 + х) х = 10 3 способ
5 2 15 л : 3 × 2 = 10 (л) 3.13. Имеется кусок сплава меди с оловом массой 12 кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо прибавить к этому сплаву, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди? ( с 5 кл)
Решение: Т.к масса меди и в имевшемся, и в новом сплаве одна и та же, то можно записать след. уравнение: (12 + х ) 0,4 =12·0,45
Решив его, получим х = 1,5. Значит, к исходному сплаву надо добавить 1,5 кг олова. Ответ:1,5кг. 2 способ 100 5 12 : 40 × 5 = 1,5 (кг) 3 способ 1) Определим, сколько меди в 12 кг. 2) 5,4 кг это 40% 5,4 : 0.4 = 13,5 (кг) вес нового сплава 3) 13,5 – 12 = 1,5 (кг) 3.14 В 5%-ный раствор соли добавили 55г соли, после этого раствор стал 10%-ным. Сколько грамм 5%-ного раствора было?( с 6 кл.)
m M a 0,05 х г х г 0,05 (0,05х+55)г (х+55)г 0,1 Получили уравнение: 0,05х+55=0,1·(х+55) 0,05х+55=0,1х+5,5 0,1х-0,05х=55-5,5 0,05х=49,5 х=990 Значит, было 990г 5%-ного раствора. 2 способ
10 100 5% раствора 90 частей в 55 г 5 частей, то 55 : 5 × 90 = 990 (г) Ответ: 990г. 3.15.Имеется творог двух сортов: « жирный» содержит 20% жира, «нежирный» содержит 5% жира. Определить процент жирности полученного творога, если смешали:
а) 2 кг «жирного» и 3 кг «нежирного» творога.
б) 3 кг «жирного» и 2 кг «нежирного» творога. (с 5кл)
1 способ
40 – 2х = 3х – 15 5х = 55 Х = 11
60 – 3х = 2х – 10 5х = 70 х = 14 2 способ
m М a 2 × 0,2 = 0,4 (кг) 2 кг 0,2 3 × 0,05 = 0,15 (кг) 3 кг 0,2 0,4+0,15=0,55 (кг) 5 кг ? m М a 0,6 3 0,2 0,1 2 0,05 0,7 5 ? 3 способ
4. Задачи на «высушивание»
4.1. Собрали 8 кг свежих цветков ромашки, влажность которых 85%. После того как цветки высушили их влажность стала составлять 20%. Чему равна масса цветков после сушки?(с 5кл)
Решение: Так как сухого вещества в 8 кг равно 15%, то сухого вещества 0,15х8=1,2кг. После сушки сухое вещество равно 80%, т.е. 1,2:0,8=1,5 кг. Ответ: 1,5 кг. 4.2. Из 22кг свежих грибов получается 2,5кг сухих грибов, содержащих 12% воды. Каков процент воды в свежих грибах? (с 5кл)
Решение: Свежие грибы всего 22кг % - ? Сухие грибы всего 2,5кг 12% воды 88% сухого вещества 2,5 ×0,88 = 2,2кг – сухое вещество 2,2 : 22 × 100% = 10% сухого вещества содержится в свежих грибах. 100% - 10% = 90% воды в свежих грибах Ответ: 90% 4.3.Свежие яблоки содержат 80% воды, а сухие 10%. Сколько надо взять свежих яблок, чтобы получить из них 6кг сухих? (с 5кл)
Если в сухих яблоках 10% воды, то сухое вещество составляет 90%. Найдем сколько кг сухого вещества содержится в 6кг сухих яблоках. 6 × 0,9 = 5,4 кг Такое же количество сухого вещества было в свежих яблоках, причем оно составляет 20% от количества свежих яблок. То есть 5,4 это 20% 5,4 : 0,2 = 27кг Ответ: 27кг. 4.4.Если из 10кг абрикос получается 8кг кураги, содержащей 12% воды, то сколько процентов воды содержат свежие абрикосы? (с 5кл)
Решение: 42% = 0,42 100% - 42% = 58% 58%= 0,58 0,58 × 8 = 4,64(кг) – сухое вещество 4,64 : 10 ×100% = 46,4 % 100% - 46,4% = 53,6% Ответ:53,6% 4.5.Только что добытый каменный уголь содержит 2% воды, а после двухнедельного пребывания на воздухе он содержит 12% воды. На сколько килограммов увеличилась масса добытой тонны угля после того, как уголь две недели пролежал на воздухе?(с 5кл)
Решение: Только что добытый уголь 2% воды 98% сухого вещества Уголь после 2-х недель 12% воды 88% сухого вещества 1т = 1000кг 1000 × 0,98= 980 кг- сухого вещество в добытом угле 980 кг это 88% 980 : 0,88 »1114(кг) – масса угля после 2-х недель 1114-1000=114 (кг)- увеличилась масса Ответ: на 114 кг 4.6 В свежих грибах 70% влаги, а в сушеных 10%. Сколько кг свежих грибов надо собрать для того, чтобы получить 30кг сушеных? (с 5кл)
Решение: m M λ 27кг 30кг 0,9 сухие 27кг 27: 0,3=90кг 0,3 свежие (остается) 90кг Ответ: 90кг свежих грибов надо для того, чтобы получить 30кг сушеных. 4.7.Свежие грибы содержат 90% воды, а сухие – 1,2% воды. Сколько получится сухих грибов из 22кг свежих грибов? (с 5кл)
Решение: В 22кг свежих грибов содержится 10% сухого вещества, т.е. 0,1 × 22 = 2,2кг Когда грибы подсушили, то сухое вещество стало составлять 88% 2,2 кг это 0,88 2,2 × 0,88 = 2,5кг Ответ: из 22кг свежих грибов получится 2,5 кг сухих. 4.8 Трава при высыхании теряет около 28% своего веса. Сколько было накошено травы, если из неё было получено 1,44 т сена? (с 5кл)
Решение: Х кг – 100% 1,44 кг – 72% 0,72Х = 1,44 Х = 2 Значит, было накошено 2т травы Ответ: 2 тонны. 4.9. Хранившееся на складе зерно имело влажность 20%. После просушивания влажность его стала 15%. Какова стала масса зерна, если при первоначальной влажности она была равна 51т? (с 5кл)
Решение: m M a 51 ·0,8=40,8 т 51т 0,8 (100%-20%) 40,8 т ? 0,85 (100%-15%) Значит, масса зерна стала 40,8:0,85 = 48т. Ответ:48т. 2 способ
m М a 51 × 0,8 m 51 m 0,8 m 0,85 × x m X m 0,85 51 × 0,8 = 0,85 × x x = 48 4.10 .Сколько кг воды надо выпарить из 0,5 т целлюлозной массы, содержащей 85% воды, чтобы получить массу с содержанием 25% целлюлозы? (с 6кл)
Решение: m M a 0,5·15=0,75т 0,5т 0,15 0,25(0,5 - х) (0,5 - х)т 0,25 Получили уравнение: 0,5·0,15 = 0,25·(0,5 - х) 0,015 = 0,125 – 0,25х 0,25х = 0,05 х = 0,2 Значит, 0,2 т воды надо выпарить. 2 способ
0,5 m = 500 кг 1) В 500 кг целлюлозной массы 500 × 0,15 = 75 (кг) 2) 75 кг это 25% 75 : 0,25 = 300 (кг) вес полученной массы 3) 500 – 300 = 200 (кг) Ответ:200 кг. 4.11. Из 60%-ного водного раствора спирта испарилась половина воды и 2
/3
спирта. Каково % содержание спирта в получившемся растворе? (с 6кл)
Пусть вес раствора был х гр, в нем 60% спирта, т.е. (0,6·х) г и 40% воды, т.е. 0,4х г. Осталось 0,6х·1
/3
=0,2х(г) спирта и 0,4х·1
/2
=0,2х(г)-воды 0,2х ———— ·100%= 2
/4
·100%=50% 0,2х+0,2х Ответ:50%. 4.12. Пчелы перерабатывают цветочный нектар в мед, освобождая его от воды. Исследования показали, что нектар обычно содержит 84% воды, а полученный из него мед – только 20%. Сколько килограммов нектара приходится перерабатывать пчелам для получения одного килограмма меда? (с 5кл)
Решение: В 1 кг меда 80% «чистого вещества», то есть 1·0,8=0,8(кг) 0,8 кг составляет 100%-84%=16% «чистого вещества», которое находится в нектаре, значит надо переработать 0,8:0,16=5(кг) Ответ: 5 кг. 5. Задачи на смешивание
5.1 При смешивании 5%-ного раствора кислоты с 40%-ным раствором кислоты получили 140г 30%-ного раствора. Сколько грамм каждого раствора было взято?
(с 6кл)
Решение: I способ
m M a 0,05х х 0,05х 0,4(140-х) 140–х 0,4 0,05х + 0,4(140-х) 140 0,3 Получили уравнение: 0,05х+0,4(140-х)=140·0,3 0,35х=14, х=40 Ответ :40г и 100г. II способ
Пусть взяли х г 5%-ного раствора , в котором находится 0,05х г кислоты и у г 40%-ного раствора, где находится 0,4у г кислоты. В 140г нового раствора содержится 30% кислоты, т. е. 140·0,3=42 г Получили {х+у=140 0,05х+0,4у =42 х=140 –у 0,05(140-у)+0,4у=42, 7-0,05у+0,4у=42 у=100 х=40 III способ
Смешали 5%-ный раствор кислоты и 40%-ный раствор. 30-5=25 40 Получили: 5%-ного раствора надо взять 10 частей; 40%-ного – 25 частей. Значит, 140г это 35 частей 140:35·10=40г – 5%-ного 140:25·10=100г – 40%-ного (140-40=100г) Ответ: 40г и 100г. 5.2.Один раствор содержит 20% соли, а второй – 70%. Сколько литров первого и второго растворов нужно взять, чтобы получить 100л 50%-ного соляного раствора? (с 5кл.)
m M a 0,2х л х л 0,2 0,7(100-х)л (100-х)л 0,7
(0,2х+0,7(100-х))л 100кг 0,5 Получили уравнение: 0,2х+0,7(100-х)=100·0,5 0,2х+70-0,7х=50 -0,5х=-20 х=40 Значит, I раствора взяли 40кг, II-60кг. Ответ: 40кг и 60кг 2 способ
100 л : (30 + 20) = 2л 2 × 30 = 60 (л) – надо взять 20%-ного 2 × 20 = 40 (л) надо взять 70%-ного 5.3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято? (с 6кл)
Решение: Состояние смеси m(г) M (г) a I 0,3x x 0,3 II 0,1(600-x) 600-x 0,1 I+II 0,3x+0,1(600-x) 600 0,15 Получили уравнение: 0,3x+0,1(600-x)= 600·0,15 х=150 Значит, 150г 30%-ного раствора и 600-150=400г 10%-ного раствора. Ответ:150г и 450г. 5.4. Смешали клубничный сироп, содержащий 40% сахара, и содержащий 20% сахара малиновый сироп. В итоге получили сироп из смеси ягод, содержащий 25% сахара. Какое количество каждого сиропа было изначально, если масса ягодного сиропа 360г. (с 6кл)
m(сахар) M a Клубничный сироп 0,4х г Х г 0,4 Малиновый сироп 0,2(360-х) (360-х) г 0,2 Ягодный сироп 0,4+0,2(360-х) г 360 г 0,25 0,4х+0,2(360-х)=360×0,25 0,4х+72-0,2х=90 0,2х+72=90 0,2х=18 х=90 90 г-масса клубничного сиропа 360-90=270 (г) – масса малинового сиропа Ответ: изначально было 90 г клубничного и 270 г малинового сиропа 5.5 Имеется руда из двух пластов с содержанием меди в 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» получить 20т с содержанием меди 8%?(с 6кл)
Решение: 1способ
m M a 1 0,06х х 0,06 2 2,2-0,11х 20-х 0,11 2,2-0,05х 20 0,08 2,2-0,05х=20×0,08 2,2-0,05х=1,6 0,6=0,05х х=12. Значит, 12т «бедной» руды надо взять. 2способ
11%=0,11 8%=0,08 6%=0,06 Пусть х т «бедной» руды содержит 0,06хт меди, то 0,11×(20-х) т меди – «богатой» руды 20 т содержит 20×0,08 т меди Составим и решим уравнение: 0,06х+0,11×(20-х)=20×0,08 0,06х+2,2-0,11х=1,6 -0,05х+2,2=1,6 -0,05х=-0,6 х=12 Ответ: 12т 5.6. Имеется 36 л раствора 3% азотной кислоты. Сколько литров раствора 6% азотной кислоты надо влить в сосуд, чтобы после добавления воды получить 54 л раствора 5% азотной кислоты?
Решение: Пусть х литров надо влить в сосуд m М λ было 1,08л 36 0,03 прибавили 0,06 х х 0,06 стало 1,08 +0,06 х 36 +х Стало, после прибавления воды 2,7л 54л 0,05 Т.к. после прибавления воды чистое вещество в растворе не изменилось, то: 1,08 + 0,06 х = 2,7л 0,06 х = 2,7 – 1,08 0,06 х = 1,62 х = 27 Значит 27л 6%-ной азотной кислоты надо влить в сосуд. Ответ: 27л 5.7. Требуется приготовить 1кг 15%-ного раствора аммиака из 25%-ного раствора. Сколько необходимо для этого взять граммов 25%-ного раствора аммиака и воды?
Решение: m M a 0,15 1кг 0,15 0,15 0,6кг 0,25 Значит, нужно взять 0,6 кг=600 г раствора, и 1000 г-600 г=400 г воды. Ответ: 600г раствора, 400г воды. 2 способ
1000 : (15 + 10) – 15 = 600 (г) – аммиака 1000 : 25 × 10 = 400 (г) – воды 6. На переливание
6.1. В сосуде, объем которого А
л, находится
p
%-ый раствор соли. Из сосуда выливают а
л воды, после чего раствор перемешивают. Эта процедура повторяется
n
раз. Какова доля соли после
n
перемешиваний?
m M a 0,01р × А А 0,01р 1) A – a + a
2) A – a + a
3) A – a + a = A
Следовательно, после n
перемешиваний доля соли станет а соли станет 6.2. Проверим как изменится формула, если в сосуде А л чистого раствора спирта. Отливают а
л и доливают а
л воды. Какова доля спирта после
n
переливаний?
m M a А
л А
л 1 1) А
л – а
л А
л – а
л + а
л
2) (А – а + а
) л 3) Спирта после трех переливаний (А – а + а
) л Значит, после n
переливаний будет 6.3. Из сосуда, наполненного 20 л спирта, отливают 1 л и дополняют сосуд водой, потом отливают 1л смеси и опять дополняют сосуд водой; так поступают в третий, в четвертый и т.д. раз. Сколько спирта в сосуде после 10 отливаний?
Применим формулу: 6.4. Из полного бака, содержащего 729 л кислоты, отлили а
л и долили бак водой. После перемешивания отлили а
л раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была повторена 6 раз, раствор в баке содержал 64 л кислоты. Найти а
.
729 – а
= 2 × 35
; 729 – а
= 486; а
= 243 6.5. Сколько литров чистого спирта останется в сосуде, если из 50 л 80%-ного его раствора 20 раз отлили по 1 л раствора, каждый раз добавляя 1 л воды? (с 8 кл)
Применим формулу 6.6 В сосуде объёмом 10 литров содержится 20 % раствор соли. Из сосуда вылили 2 л смеси и долили воды, после чего раствор перемешивается. Эта процедура повторяется 2 раза. Определить концентрацию соли после первой процедуры и после второй процедуры. (с 7 кл)
Решение: Первоначальное количество соли рассчитывается по формуле pV:100 , где p – первоначальный % (в нашем случае – 20%) V – объём(10 л ) 20×10:100=2 кг соли первоначально было в растворе. После того, как вылили 2 л смеси, соли осталось V×p:100-a×p:100, где а – объём вылитого (2 л) 10×20:100-2×20:100=2-0,4=1,6 кг соли, а её концентрация после добавления воды стала равной 16 %. Вторая процедура: 10×(16:100)-2×(16:100)=1,6 – 0,32=1,28 (кг соли, оставшейся в растворе) После добавления воды концентрация стала 12,8% х=1,28×100:10=12,8% Ответ: после первой процедуры соли было 16%, после второй процедуры соли стало 12,8% 2 способ
Воспользуемся формулой: если n = 1, то если n = 2, то 6.7. В первый сосуд, вместимостью 6 л налито 4 л 70%-ного раствора спирта, во второй сосуд той же вместимости налито 3 л 90%-ного раствора спирта. Сколько литров раствора нужно перелить из второго сосуда в первый, чтобы в первом сосуде получился
p%-ный раствор спирта? При каких
p задача имеет решение? (с 8
кл.)
Решение: m M a I 0,7·4=2,8(л) 4л(из 6л) 0,7 II 0,9·3=2,7(л) 3л(из 6л) 0,9 Из II перелили в I p% раствор Пусть перелили а л раствора из II сосуда в I сосуд, причем 0<a£2 Тогда в I сосуде стало (a+4)л смеси, где чистого вещества (спирта) станет 2,8л+0,9·а л 2,8+0,9а ———— · 100%=p% а+4 2,8+0,9а р ———— = —— ; 280+90а=ар+4р; 90а-ар=4р-280; а+4 100 а(90-р)=4р-280 4р-280 а = ——— - столько литров раствора перелили 90-р 4р-280 0< ———— £ 2 90-р По смыслу задачи р<90, то 90-р>0. Тогда получим, что 0<4р-280£2(90-р) 4p-280£2(90-p) 4p-280£180-2p 6p£460 p£76 2
/3
Þ70<p£76 2
/3
6.8 Из сосуда ёмкостью 54 л наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили сосуд водой, потом опять вылили столько же литров смеси. Тогда в оставшейся в сосуде смеси оказалось 24л чистой кислоты. Сколько кислоты вылили в первый раз? (с 8 кл.)
Решение: I способ
Пусть в I раз было вылито х л кислоты. Тогда в сосуде осталось (54-х)л кислоты. Значит, в 1л смеси содержится (54-х):54 кислоты (концентрация раствора) Во II раз из сосуда вылили х л смеси, в этом количестве содержится (54-х):54·х л кислоты. Таким образом, в I раз было вылито х л кислоты, во II – (54-х):54·х л кислоты, а всего за два раза вылито 54-24=30(л) кислоты. х+(54-х):54·х=30 х1
=18 х2
=90 не удовлетворяет условию задачи Значит, в I раз вылито 18л кислоты. II способ
m M aбыло 54л 54л 1 1 раз (54-х)л (54-х+хH2
O
)л (54-х):54 2 раз (54-х)л-(54-х):54·х л (54-х+хH2
O
)л Получили уравнение: (54-х)л-(54-х):54·х=24 (54-х) (54-х)
=24
54 (54-х)²=54·24 (54-х)²=1296 |54-х |=36 54-х=36 или 54-х=-36 х=18 или х=90 (не удовлетворяет условию задачи) Значит, в I раз вылито 18л кислоты. Ответ:18л 6.9. Сосуд ёмкостью 8л наполнен смесью кислорода и азота, причем на долю кислорода приходится 16% емкости сосуда. Из этого сосуда выпускают некоторое количество смеси, дополняют сосуд азотом и вновь выпускают такое же количество смеси, после чего опять дополняют сосуд азотом. В результате кислорода в сосуде стало 9%. Сколько литров смеси выпустили из сосуда в первый раз? (с 8кл)
Решение: Предположим, что каждый раз выпускали х л азота и выпускали х л азота. После первого выпуска в сосуде осталось (8-х)·0,16л кислорода, которые растворились в 8л смеси (после второго выпуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна (8-х)·0,16
8 , т.е. (8-х)·0,02. После второго выпуска х л смеси в сосуде осталось (8-х)л смеси с концентрацией кислорода, равной (8-х)·0,02, т.е. (8-х)·(8-х)·0,02 л кислорода, которые растворились в 8л смеси(после второго впуска азота). Концентрация кислорода на этом этапе равна (8-х)²·0,02:8, а процентное содержание (8-х)²·0,02:8·100. Получили уравнение: (8-х)²·0,02:8·100=9 х=14 или х=2 не удовлетворяет условию задачи Значит, в первый раз выпустили 2 л смеси. Ответ: 2 л. 7. Задачи на добавление
7.1. 40кг раствора соли разлили в два сосуда так, что во втором сосуде чистой соли оказалось на 2кг больше, чем в
I сосуде. Если во
II сосуд добавить 1кг соли, то количество соли в нем будет в 2 раза больше, чем в
I сосуде. Найти массу раствора, находящегося в
I сосуде.(с 7кл.)
Решение: I 40кг II у кг (40-у)кг х% соли х% соли II + 1кг соли, то будет соли в 2р. больше, чем в I у·0,01·х<(40-у)·0,01х на 2кг (40-у)·0,01х-0,01ху=2 (40-у)·0,01х+1=2·0,01ху 0,4х-0,01ху-0,01ху=2 0,4х-0,01ху-0,02ху=-1 0,4х-0,02ху=2 0,4х-0,03ху=-1
0,01ху=3 ху=300 х=300:у 4 300 300 2 300 —— · —— - 0,01·у · —— - —— ·у· —— = -1 10 у у 100 у 120:у-9=-1 120:у=8 у=15 Значит, 15 кг – масса раствора, находящегося в I сосуде. Ответ: 15 кг. 7.2 Сплав меди с серебром содержит серебра на 1845г больше, чем меди. Если бы к нему добавили некоторое количество чистого серебра, по массе равное 1/3 массы чистого серебра, первоначально содержащегося в сплаве, то получится новый сплав, содержащий 83,5% серебра. Какова масса сплава и каково первоначальное процентное содержание в нем серебра? (с 7кл)
Решение: Пусть в сплаве х г серебра, то меди (х-1845)г. Значит, вес сплава (2х-1845)г. Добавили 1
/3
х г серебра, масса нового сплава (21
/3
х-1845)г, в котором 11
/3
х г серебра. Значит, в новом сплаве доля серебра: 11
/3
х
21
/3
х-1845 или 0,835 4
/3
х
=0,835;
х=2505 7
/3
х Масса сплава 2·2505-1845=3165(г) 2505 167 —— · 100%= —— · 100%=79,1% 3165 211 Ответ: 79,1. 7.3.Сплав меди и цинка содержал меди на 640г больше, чем цинка. После того, как из сплава выделили 6:7 содержащейся в нём меди и 60% цинка, масса сплава оказалась равной 200г. Сколько весил сплав первоначально? (с 7 кл)
Решение: Пусть в сплаве было х г цинка и (х + 640) г меди. Так как в сплаве осталось 1/7 часть содержащейся в нём меди и 2/5 части цинка, то составим и решим уравнение: 1/7 (х + 640) + 2/5х = 200 (5/1:7×х) + (91×3/7) + (7/2:5×х) = 200 19/35×х = 108×4/7 Х = (760×35) : (7×19) Х = 200 Значит, цинка было 200г, меди 840г, то сплав весил 200г + 840г = 1040г или 1кг 40г Ответ: 1кг 40г 7.4. Два раствора, из которых первый содержал 800 г. безводной серной кислоты, а второй -600г. безводной серной кислоты соединили и получили 10кг. нового раствора серной кислоты. Определить вес каждого из растворов вошедших в смесь, если известно, что процент содержания безводной серной кислоты в первом растворе на 10 больше, чем процентное содержание кислоты во втором. (с 8кл)
m М a 0,800 кг Х кг
0,600 (10 – х) кг
8(10 – х
) – 6х
= х
(10 – х
) 80 – 8х
– 6х
= 10х
– х
2
х
2
– 24х
+ 80 = 0 х = 12 ± 8 х
1
= 4 х
2
= 20 не удовлетворяет смыслу задачи (х
< 10). Значит, I раствор весит 4 кг, а II – 6 кг. 7.
5. Имелось 2 разных сплава меди. Процентное содержание меди в
I сплаве на 40% меньше чем во
II. После того как их сплавили вместе, получили сплав, содержащий 36% меди. Определить процентное содержание меди в
I и во
II сплавах,, если известно, что меди в
I сплаве было 6 кг, а во
II – 12 кг. (с 8 кл)
1 способ
m М a 6 кг
х% 12 кг
(х + 40)% 18 кг
36% Значит, в I сплаве было 20% меди, во II – 60%. 2 способ
I II a
кг b
кг х
% меди (х
+ 40)% меди 7.6. В сплаве олова и меди содержалось 11 меди. После того как в сплав добавили 7,5 кг олова, содержание олова повысилось на 33%. Какова первоначальная масса сплава? (с 8 кл).
Пусть первоначальная масса сплава х
кг, в нем 11 кг меди и (х
– 11) кг олова. m М a (х
– 11) кг х
кг
(х
– 11 + 7,5) кг = (х
– 3,5) кг (х
+ 7,5) кг
Значит, первоначальная масса сплава 12,5 кг. Ответ: 12,5 кг. 8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Выводы: 9. Список литературы
|